ช่วยหน่อยนะครับ : โจทย์พหุนาม

[deekrab]

$P(m)=\dfrac{1}{m^2}$ สำหรับ $m=1,2...,6$ $P(m)$ เป็นพหุนามดีกรี $5$ จงหาค่าของ $P(7)$

[t.B.]

ให้ $P(m)=am^5+bm^4+cm^3+dm^2+km+q=\frac{1}{m^2} $
แทน $m=1,2,..,6$ จะได้ 6 สมการ 6 ตัวแปร ใช้เมตริกซ์ช่วยในการแก้สมการก็น่าจะประหยัดเวลาในการแก้สมการหาค่า $a,b,c,d,k,q$ ได้บ้างนะครับ แล้วก็แทน $m=7$ ก็จะ $P(7)$ ได้
ปล.อาจจะมีวิธีที่ถึกน้อยกว่านี้

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ deekrab

$P(m)=\dfrac{1}{m^2}$ สำหรับ $m=1,2...,6$ $P(m)$ เป็นพหุนามดีกรี $5$ จงหาค่าของ $P(7)$

ให้ $Q(x)=x^2P(x)-1$ จะได้ว่า $Q(x)$ เป็นพหุนามกำลัง $7$ ที่มีสัมประสิทธิ์หน้าเทอม $x$ เป็นศูนย์
จากเงื่อนไขโจทย์จะได้ว่า $1,2,3,4,5,6$ เป็นรากของ $Q(x)$ ดังนั้น

$Q(x)=a(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)(x-6)(x-b)$
แต่ $Q(0)=-1$ เราจึงได้ $ab=\dfrac{1}{6!}$
เนื่องจากสัมประสิทธิ์หน้าเทอม $x$ เป็นศูนย์เราจะได้ว่า
$$6!+b\Big(\frac{6!}{1}+\frac{6!}{2}+\frac{6!}{3}+\frac{6!}{4}+\frac{6!}{5}+\frac{6!}{6}\Big)=0$$
ดังนั้น $b=-\dfrac{20}{49}$
เพราะฉะนั้น $x^2P(x)-1=-\dfrac{49}{20\cdot 6!}(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)(x-6)(x+\dfrac{20}{49})$
แทนค่า $x=7$ จะได้ $P(7)=-\dfrac{7}{20}$

[Ipod]

ใช้วิธีการบวกผลต่างไปเรื่อยๆจะได้ค่าไปเรื่อยๆเลยครับ
1
0.25
0.111111111
0.0625
0.04
0.027777778
-0.35
-2.2375
-7.955555556
-21.41
-48.5
-97.52638889
-179.6
-309.05
-503.8322222
-785.9375
-1181.8
-1722.705556
-2445.2
-3391.4975
-4609.888889
-6155.15
(เรียงตั้งแต่ P(1) ไปเรื่อยๆ)