โจทย์ 5th TUGMOs

[seemmeriast]

โจทย์จากการแข่งขัน TUGMOs ครั้งที่ 5 ข้อนี้เป็นข้อยากที่สุดในรอบแรก ไม่มีใครตอบถูกเลยแม้แต่คนเดียว

ให้ x, y, z เป็นจำนวนจริงใดๆ จงหาค่าต่ำสุดที่เป็นไปได้ของ

$\frac{x^{2}}{(3x-2y-z)^{2}} + \frac{y^{2}}{(3y-2z-x)^{2}} + \frac{z^{2}}{(3z-2x-y)^{2}}$

[t.B.]

ขอเดาว่า $\frac{1}{9} $

[gools]

คิดว่าน่าจะเป็น $\frac{5}{49}$ ครับ
เป็นสมการเมื่อ $\{x,y,z\}=\{a,-2a,0\}, \forall a \in \mathbf{R}-\{0\}$

[gnopy]

ผมคิดว่าได้ 2 ครับ ไหงมานสูงกว่า พวกพี่ๆหละครับ

[nooonuii]

คิดได้เหมือนน้อง gools ครับ แต่ยังไม่แน่ใจว่าจะพิสูจน์ยังไง

[RoSe-JoKer]

คุณ Seemmeriast ช่วยดูวิธีพิสูจน์ข้อนี้ให้ทีนะครับ
Solution by Seemeriast