แยกตัวประกอบได้เสมอ...?

[Mathophile]

พอดีมีโจทย์ข้อนึงที่น่าสนใจมากและผมยังคิดไม่ออกครับ เลยนำมาให้ทุกคนได้ลองคิดกันครับ ดูเผินๆ แล้วเหมือนโจทย์ Algebra แต่ลองคิดแล้ว ผมว่ามันไปทาง Number Theory มากกว่า เลยตั้งกระทู้ไว้ที่นี่ครับ

พิจารณาพหุนาม $x^2 \triangle 5x \nabla 6$ จะพบว่าไม่ว่าจะแทน $\triangle , \nabla$ ด้วยเครื่องหมาย + หรือ - จะสามารถแยกตัวประกอบได้ในรูปผลคูณของพหุนามดีกรีหนึ่งที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็มได้เสมอ
จงหาคู่อันดับ $(m,n)$ ทั้งหมดที่ทำให้พหุนาม $x^2 \triangle mx \nabla n$ มีคุณสมบัติดัวกล่าว

[beginner01]

ขุดกระทู้หน่อยครับ ผิดถูกยังไง กรุณาแนะนำด้วยครับ
ก่อนอื่นสังเกตว่าถ้า $x^2-ax+b=(x-\alpha)(x-\beta)$ เมื่อ $a,b,\alpha,\beta\in\mathbb{Z}$ แล้ว $x^2+ax+b=(x+\alpha)(x+\beta)$ ก็จะแยกตัวประกอบเป็นผลคูณพหุนามดีกรี 1 ที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็มได้
ในทำนองเดียวกัน ถ้า $x^2-ax-b$ แยกตัวประกอบได้ $x^2+ax-b$ ก็จะแยกได้เช่นกัน
ดังนั้นเป็นการเพียงพอที่จะพิจารณาเฉพาะ $x^2-ax+b$ และ $x^2-ax-b$ ว่าแยกตัวประกอบได้ทั้งคู่ โดยที่ $a,b\in\mathbb{N}$

สังเกตว่ารากของสมการ $x^2-ax+b=0$ คือ $\displaystyle x=\frac{a\pm\sqrt{a^2-4b}}{2}$ และรากของสมการ $x^2-ax-b=0$ คือ $\displaystyle x=\frac{a\pm\sqrt{a^2+4b}}{2}$
สังเกตอีกว่า ถ้า $\sqrt{a^2-4b}$ เป็นจำนวนเต็มแล้ว $a$ กับ $\sqrt{a^2-4b}$ จะมี parity เดียวกัน
$\therefore$ ถ้า $\sqrt{a^2-4b}\in\mathbb{Z}$ แล้ว $\displaystyle\frac{a\pm\sqrt{a^2-4b}}{2}\in\mathbb{Z}$
ในทำนองเดียวกัน ได้ว่า ถ้า $\sqrt{a^2+4b}\in\mathbb{Z}$ แล้ว $\displaystyle\frac{a\pm\sqrt{a^2+4b}}{2}\in\mathbb{Z}$

ดังนั้นเป็นการเพียงพอที่จะพิจารณาเพียง $\sqrt{a^2-4b},\sqrt{a^2+4b}\in\mathbb{Z}$
ให้ $\sqrt{a^2-4b}=m$ และ $\sqrt{a^2+4b}=k$ เมื่อ $k,m\in\mathbb{N}\cup \left\{0\right\}$
จะได้ $a^2-4b=m^2$ และ $a^2+4b=k^2$
$\therefore 2a^2=m^2+k^2$ และ $k\geq m$

จาก http://www.mathcenter.net/forum/showthread.php?t=5918
สังเกตว่า $k,m$ มี parity เดียวกัน
$\therefore\displaystyle\left(\frac{k+m}{2}\right)^2+\left(\frac{k-m}{2}\right)^2=a^2$
สังเกตว่า $k+m>k-m$
$k+m=l(4uv), k-m=l(2v^2-2u^2),a=l(u^2+v^2)$ เมื่อ $l,u,v\in\mathbb{N},v>u;(u,v)=1,2uv>v^2-u^2$
หรือ $k+m=l(2v^2-2u^2), k-m=l(4uv),a=l(u^2+v^2)$ เมื่อ $l,u,v\in\mathbb{N},v>u;(u,v)=1,v^2-u^2>2uv$

$\therefore$ ไม่ว่าในกรณีใดจะได้ $k=l(v^2-u^2+2uv)$ และ $a=l(u^2+v^2)$

จาก $a^2+4b=k^2$ ได้ว่า
$l^2(u^4+2u^2v^2+v^4)+4b=l^2(v^4+u^4+4u^2v^2-2u^2v^2-4u^3v+4uv^3)$
$4b=l^2(4uv^3-u^3v)$
$\therefore b=l^2uv(v^2-u^2)$

$\therefore a=l(u^2+v^2),b=l^2uv(v^2-u^2)$
เมื่อ $l\in\mathbb{Z}$ $u,v\in\mathbb{N}, ((u,v)=1,v>u)\vee (u=v)$ (กรณี $u=v$ ที่ต้องเพิ่มเข้าไปก็คือ $x^2\pm ax=0$ นั่นเอง)