ข่วยหน่อยน้าคับ

[deekrab]

กำหนดให้ $n$ เป็นจำนวนเต็มบวก จงแสดงว่า $(n+1)(n+2)...(2n)$ เป็นพหุคูณของ $2^n$

[nongtum]

ข้อนี้ทำได้อย่างน้อยสองวิธีครับ

1. โดยอุปนัยบน $n=1,2,\dots$

2. โดยการหาผลต่างของจำนวนเลขชี้กำลังของ 2 ที่เป็นไปได้ของ $(2n)!$ และ $n!$ ครับ
ถ้าสงสัยว่าทำยังไง ลองสังเกตการหาเลขชี้กำัลังของสามใน 19! ตามตัวอย่างนี้:

ใน 19! มีเลขที่ 3 หารลงตัว อยู่ 6 ตัว คือ 3,6,9,12,15,18
ใน 19! มีเลขที่ 3² หารลงตัว อยู่ 2 ตัว คือ 9,18
ใน 19! ไม่มีเลขที่ 3ⁿ, n>2 หารลงตัว

ดังนั้น เลขชี้กำลังของสามใน 19! จึงเป็น 6+2+0=8

[nooonuii]

$(n+1)(n+2)\cdots (2n)=\dfrac{(2n)!}{n!}$

$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad = \dfrac{1\cdot 3\cdot 5\cdots (2n-1)\cdot 2\cdot 4\cdot 6\cdots (2n)}{n!}$

$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad = \dfrac{1\cdot 3\cdot 5\cdots (2n-1)\cdot 2^n\cdot n!}{n!}$

$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad = 2^n\cdot 1\cdot 3\cdot 5\cdots (2n-1)$

[deekrab]

ขอบคุนน้าคับสำหรับแนวคิด มีอีกข้านึงคับ
กำหนดให้ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนเต็มบวก จงแสดงว่า ถ้า $4ab-1$ หาร $(4a^2-1)^2$ ลงตัวแล้ว $a=b$

[nongtum]

คำถามใน #4 เป็นข้อสอบ IMO ข้อห้าที่เวียดนามครั้งที่แล้วครับ
http://www.mathcenter.net/forum/showthread.php?t=3019
แนวคิด โปรดตามลิงค์ที่หัวกระทู้

[Uranus Hunter]

ข้อ "กำหนดให้ n เป็นจำนวนเต็มบวก จงแสดงว่า (n+1)(n+2)...(2n) เป็นพหุคูณของ $2^n$"

โดย Induction จะดูสะดวกกว่าครับ

ถ้า $2^k | \frac {(2k)!}{k!}$
แล้ว $ \frac {(2k+2)!}{(k+1)!} = \frac {(2k)!}{k!} (2k+1)(2)$

ซึ่ง $2^{k+1} | \frac {(2k)!}{k!} (2k+1)(2)$

ทำให้การอุปนัยเสร็จสมบูรณ์