ทรงกลมในทรงกรวย

[คุณครูจอมเวท เนกิมะ!! ^^]

ช่วยผมหน่อยเน้อคร้าบ...
ถ้าโจทย์กำหนดมาให้ว่าทรงกลมอยู่ในทรงกรวยแล้วบอกเส้นผ่านศูนย์กลางทรงกรวยกับความสูงของกรวยมาให้ จะหาปริมาตรทรงกลมได้ยังไงครับ
ป.ล. เพื่อนผมบอกว่าเคยอ่านเจอที่ไหนแว้บๆ เห็นว่าให้หาปริมาตรทรงกรวย $\div$ 2 ก็ได้ปริมาตรทรงกลมเลย (ง่ายขนาดนั้นเลยหรอ )
___________________________
สู้ต่อไป! คนอ่อนคณิตศาสตร์อย่างพ้ม!!

[t.B.]

หาปริมาตรทรงกลมโดย หารัศมีทรงกลมก่อนโดยใช้สมบัติรัศมีจะตั้งฉากกับเส้นสัมผัสแล้วใช้พีทากอรัสถึงจะหาได้
ส่วนที่บอกว่าปริมาตรทรงกรวยหาร2 นั้นไม่จริงครับ

[คุณครูจอมเวท เนกิมะ!! ^^]

ลองตั้งโจทย์แล้วแสดงวิธีคิดให้ผมดูหน่อยจิคับ (ยังงงๆอยู่)
ขอบคุณมั่กๆคับ

[t.B.]

เช่น ให้รัศมีทรงกรวย(R) 5 และสูงตรง 12 หาปริมาตรทรงกลมแนบใน (ดูรูปประกอบ)
การที่เราจะหาปริมาตรทรงกลมได้ เราต้องหารัศมีทรงกลม(r) ก่อน
จากรูป ให้ $k=x+y$ ; k=สูงเอียง
จากสมบัติเส้นสัมผัสวงกลม จะได้ $y=R=5$
จากนั้นหา $x$ จากพีทากอรัสดังรูป
$x^2+r^2=(12-r)^2$
$x^2=144-24r$
$\therefore x=\sqrt{144-24r}$
$\therefore k=x+y=\sqrt{144-24r} +5 --(1)$
จากรูปเราสามารถ k ได้อีกวิธีหนึ่งคือ ใช้พีทากอรัสกับรัศมีที่ฐานกับสูงตรง จะได้สูงเอียง
ดังนั้น $k^2=5^2+12^2$
$k^2=169$
$k=13,-13$
เนื่องจากความยาวไม่ติดลบ k=13
แทนเข้าไปในสมการ(1)
$k=\sqrt{144-24r} +5$
$13=\sqrt{144-24r} +5$
$8=\sqrt{144-24r}$
ยกกำลังสองทั้งสองข้าง
$64=144-24r$
$24r=80$
$r=\frac{10}{3} $
ดังนั้นปริมาตรทรงกลมคือ $\frac{4}{3} \pi r^2$ แทนค่า r ลงไปก็จะได้ปริมาตรมาครับ

ปล.กรณีนี้เป็นกรณี ทรงกลมแนบในกรวยตรงนะครับ ถ้ากรวยเอียงก็อีกเรื่องหนึ่ง

[gon]

นี่ปัญหาระดับอุดมศึกษา้เลยหรือครับนี่

ุถ้ามีวงกลมแนบในสามเหลี่ยม เราจะพิสูจน์ได้ไม่ยากว่า $$\Delta = rs \quad \quad (*)$$
เมื่อ
$\Delta$ แทน พื้นที่สามเหลี่ยม
r แทน รัศมีวงกลมที่แนบในสามเหลี่ยม
s = semi perimeter = ครึ่งหนึ่งของเส้นรอบรูปของสามเหลี่ยม

ถ้าให้ d แทน เส้นผ่านศูนย์กลางของกรวยกลมตรง และ h แทนส่วนสูงตรงของกรวย จาก (*) จะได้ว่า $$\frac{1}{2}dh = r\frac{1}{2}(\sqrt{d^2 + 4h^2} + d)$$
ดังนั้น $$r = \frac{dh}{\sqrt{d^2 + 4h^2} + d}$$
เมื่อได้รัศมีของวงกลม ก็หาปริมาตรทรงกลมได้จากสูตร $$V = \frac{4}{3}\pi r^3$$ ครับ.