อสมการ

[dektep]

$a,b,c > 0$ and $a+b+c=1$ prove that
$$\sum_{cyclic} \frac{a^2}{2a+b+c} \ge \frac{3}{8}(\frac{a+b+c}{3}+\frac{a^2+b^2+c^2}{a+b+c})$$

[dektep]

hint

Vornicu-Schur

[Punk]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ dektep

$a,b,c > 0$ and $a+b+c=1$ prove that
$$\sum_{cyclic} \frac{a^2}{2a+b+c} \ge \frac{3}{8}(\frac{a+b+c}{3}+\frac{a^2+b^2+c^2}{a+b+c})$$

ขอเสนอพิสูจน์แบบ Calculus ละกันครับ

อสมการสมมูลกับ
\[
\frac{3}{8}(a^2+b^2+c^2)+\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1}\leq\frac{7}{8}
\]
โดย $a+b+c=1$ ให้ $F(a,b,c)=LHS$, $g(a,b,c)=a+b+c$ สมการ Lagrange multiplier $\nabla F=\lambda\nabla g$ คือ
\[
\Big\langle\frac{3}{4}a+\frac{1}{(a+1)^2},\frac{3}{4}b
+\frac{1}{(b+1)^2},\frac{3}{4}c+\frac{1}{(c+1)^2}\Big\rangle=\lambda\langle1,1,1\rangle
\]
แก้สมการได้ $a=b=c$

ดังนั้นค่าสูงสุดของ $F(a,b,c)$ เกิดขึ้นได้แค่บนขอบของโดเมน $g(a,b,c)=1$ หรือที่จุด $(\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3})$

เนื่องจาก $F(\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3})=\frac{7}{8}$ และ $F_\max=\frac{7}{8}$ บนขอบ (เมื่อ $a=1$ หรือ $b=1$ หรือ $c=1$) ดังนั้นอสมการข้างบนเป็นจริงตามต้องการ

[nut_sk129]

Prove
แทน a+b+c=1:7/3>=a^2+b^2+c^2
ซึ่งเป็นจริงจาก 7/3>=(a+b+c)^2>=a^2+b^2+c^2

[Uranus Hunter]

Vornicu-Schur คืออะไรครับ ผมงงมานานแล้ว

[dektep]

ลองดูที่นี่ครับ
http://www.mathlinks.ro/viewtopic.ph...ttach&id=10141