แนะนำตัว/ เอาโจทย์มาฝาก

[morning_glory]

สวัสดีครับ ผมเพิ่งเข้ามาที่เว็บนี้ครั้งแรก
ดีใจที่ได้เจอชุมนุมของคนที่ชอบคณิตศาสตร์เหมือนๆ กัน

ผมชื่อ กรกฎ เชาวะวณิช เคยไปแข่งโอลิมปิกคณิตศาตร์ ปี 36-37
หากมีเพื่อนๆ รุ่นเดียวกันอยู่ในเว็บนี้ ก็ทักทายกันหน่อยนะครับ
ปัจจุบันผมทำงานแล้ว อยู่ที่มหาวิทยาลัยชินวัตร ช่วงหลังๆ รามือไป
จากการคิดโจทย์ (มัวแต่ไปหัดเขียนโปรแกรมอยู่)
ยังไงๆ ก็ขอฝากเนื้อฝากตัวด้วยนะครับ

ผมเอาโจทย์ข้อนึงมาฝาก เป็นโจทย์ที่คิดไว้ตั้งแต่สมัย ม.ปลาย
ลองๆ คิดกันเล่นๆ นะครับ
สมมติ เรามี function f(x) = a^x เป็น function exponential
เราก็จะได้ inverse f = log x (base a) เป็น function logarithms
คำถามมีอยู่ว่า ถ้าวาดกราฟของสอง function นี้แล้ว จะมีโอกาสที่
จะสัมผัสกันพอดีหรือไม่ และจะเป็นเช่นนั้น a จะต้องมีค่าเท่าไหร่

ยินดีต้อนรับครับ พี่กรกฎ

เนื่องจาก f(x) และ f^-1(x) สมมาตรรอบ y = x ดังนั้นหากกราฟทั้งสองจะแตะกัน มันจะแตะกับ y = x ด้วย
เพราะว่าความชันของ f(x) ที่จุด x ใดๆคือ [ln(a)] a^x จะมีค่าเป็น 1 ก็ต่อเมื่อ x = -ln(ln(a)) / ln(a)
เพราะว่าความชันของ f^-1(x) ที่จุด x ใดๆคือ 1/(x ln(a)) จะมีค่าเป็น 1 ก็ต่อเมื่อ x = 1 / ln(a)
ณ จุดที่กราฟแตะกันจะได้ -ln(ln(a)) / ln(a) = 1 / ln(a)
จึงได้ a = e^1/e

[gon]

สวัสดีครับ. ทักทายช้าไปหน่อย ไม่รู้ว่าคุณกรกกฏจะกลับเข้ามาดูหรือเปล่า. ถ้ากลับมาดูรบกวนแสดงความคิดเห็นหน่อยนะครับ. จากประสบการณ์ที่คุณกรกฏได้เป็นตัวแทนประเทศไทย 2 ปีซ้อน ขอถามความคิดเห็นส่วนตัวว่า เห็นด้วยหรือไม่กับระบบการคัดเด็กมาอบรมในอดีตของ สสวท. ซึ่งจะคัดเด็กมาประมาณ 25 คน เพื่อเข้าค่ายอบรมรอบแรกเดือนตุลาคม และ ... ผมไม่รู้ว่าทางส่วนคนที่เกี่ยวข้องกับเรื่องนี้จะมีความคิดอย่างไร เพราะต่อมาในปีการศึกษา 2546 (มั้ง)ระบบการสอบผ่านของ สสวท.ก็จะยกเลิกทั้งหมด โดยสอบผ่านศูนย์ สอวน. แทน ซึ่งจะคัดเด็กในรอบแรกๆ จำนวนค่อนข้างมากกว่าแบบเดิมของสสวท. แล้วให้ความรู้สุดท้ายค่อย ๆ คัดจนไปจนจบ

โดยส่วนตัวของคุณกรกฎ คิดว่า ความสามารถของบุคคลนั้น สิ่งใดที่น่าจะมีผลสำคัญกว่ากันระหว่าง 1.ความสามารถที่ตัวเด็กเองมีอยู่แล้ว กับ 2.การให้โอกาสเด็กที่อาจจะมีแวว(ซึ่งก็ไม่รู้ว่าแต่ละคนจะมีมากน้อยเพียงใด)ได้รับการอบรมอย่างยาวนานพอสมควร ถ้าดูจากผลงานที่ผ่านมาตั้งแต่ปี 2532 - 2545 ของเด็กไทยเราในทุก ๆ วิชาจะพบว่าวิชาคณิตศาสตร์ก็ยังคงเป็นวิชาที่ยังไม่สามารถได้เหรียญทองเลย โดยเฉพาะถ้าดูจากสถิติการทำของแต่ละคน จะพบว่าถ้าเป็นข้อที่เรียกว่ายากหรือหินที่สุดในปีนั้น ๆ คะแนนของเด็กเราจะได้ 0 กันทุกคนเลย.(ถ้าไม่ใช่ทั้งหมดแสดงว่าผมดูมาผิด) กล่าวง่าย ๆ ก็คือคุณกรกฏคิดว่าการที่เรานำเด็กที่ถึงแม้ว่าอาจจะมีศักยภาพสูงกว่าคนอื่น ๆ แต่ไม่ถึงระดับที่จะพัฒนาตัวเองในช่วงระดับมัธยมปลายไปอบรมจะเป็นการเสียเวลาหรือไม่ ? (ผมพูดในแง่ที่ว่า ถ้าสมมติว่าเป้าหมายของเราคือเหรียญทองเท่านั้น) ทำไมประเทศจีนในช่วงหลังจึงได้ครองเป็นเจ้าเหรียญทองมาตลอด นั่นเป็นเพราะเขามีประชากรที่สูงกว่าเรามาก ถึงมีเด็กที่มีความสามารถในระดับสูงจำนวนมากกว่าใช่หรือไม่ ?

ถ้าเราจะดูจากระบบการศึกษาหลักสูตรปี 2542 ซึ่งจะเริ่มใช้อย่างจริงจังในทุกโรงเรียนเดือนพฤษภาคมปี 2546 นี้ ในระดับมัธยมปลายจะเห็นว่าเนื้อหาบางอย่างได้ถูกเพิ่มเข้าไป เช่น ทฤษฎีจำนวน, เวกเตอร์ในระนาบ 3 มิติ นั่นจะหมายความว่า ผู้ที่จัดหลักสูตรกำลังปูพื้นฐานเด็กเราในระดับที่สูงกว่าเดิมที่เป็นอยู่ จากประสบการณ์ที่ผมได้สอนพิเศษเด็กมาค่อนข้างนานพอสมควรคือประมาณเกือบ 8 ปีแล้ว ในแรกเริ่มผมคิดว่าความสามารถของคนเราน่าจะเพิ่มได้เรื่อย ๆ ถ้าได้รับการอบรมที่ดีและยาวนาน แต่เมื่อผ่านไปนาน ผมพบว่าจะมีเฉพาะเด็กบางกลุ่มเท่านั้นที่สามารถเพิ่มศักยภาพได้ ในระดับสูง ในส่วนเด็กคนอื่น ๆนั้นจะได้ในขีดจำกัดที่ต่างกัน กล่าวตรง ๆ ก็คือ เด็กที่ควรจะไปได้แคไหนก็จะไปได้แค่นั้น ที่สำคัญเด็กที่คิดว่าจะมีความสามารถในระดับสูง หลาย ๆ คนกลับไปยึดติดกับการมุ่งเพื่อจะสอบ Entrance แทนที่จะมุ่งพัฒนาศักยภาพส่วนตัวให้สูงที่สุด (ซึ่งตรงนี้เป็นเรื่องที่ยากต่อการแก้ปัญหาจริง ๆ เพราะต้องแก้หลาย ๆ จุดมาก่อนมาก ๆ)

ผมจึงอยากที่จะถามคุณกรกฎว่า ในส่วนตัวนั้นคิดเห็นอย่างไร เห็นด้วยหรือไม่ที่ว่าคนมีความสามารถต่างกันย่อมมีความสามารถต่างกันอยู่แล้ว (นี่ผมหมายถึงความสามารถในระดับสูง ไม่ใช่แค่การมุ่งที่จะสอบในระดับโรงเรียนหรือสอบ Entrance)

โดยส่วนตัวผมเห็นด้วยกับระบบการศึกษาระบบใหม่ ที่มุ่งให้ความรู้พื้นฐานให้สูงขึ้น เพราะผมคิดว่าน่าจะมีเด็กที่อาจจะมีความสามารถบางอย่างแฝงเร้นซ่อนอยู่ และ การได้รับความรู้ที่เป็นระบบหรือสูงขึ้น อาจจะมีผลในภายหลังอย่างมาก ถึงแม้ไม่ใช่แค่การสอบหรือได้เหรียญอะไรซึ่ง ผมคิดว่าที่จริงแล้วก็ไม่ใช่เรื่องที่สำคัญอะไรไปมากกว่า การที่คนๆนั้นได้ทำในสิ่งที่ตัวเองชอบและเป็นประโยชน์ต่อทั้งตัวเองและผู้อื่นน่าจะดีที่สุด

สำหรับท่านอื่นที่มีความคิดเห็นหรือมีประสบการณ์ที่เคยผ่านมาก็ลองคุยกันด้วยนะครับ. เพราะปัญหานี้ผมเคยขบคิดมานานมากแล้ว. ยังไม่ได้ข้อสรุปเลย (หรือหาข้อสรุปไม่ได้ )

หลายคนคงยังไม่รู้จักกับ กรกฎ หรือที่เพื่อนๆ รู้จักกันในนามป๋อง หรือ glory ในฐานะเพื่อนเก่าคนหนึ่งของ กรกฎ ผมขออนุญาต แนะนำประวัติอันยิ่งใหญ่ดังนี้

สอบเข้ามหาวิทยาลัยได้ที่ 1 ประเทศไทย คณะวิศวกรรมศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย (รุ่น 78 อันเป็นยุคที่คณะวิศวฯ รุ่งเรืองที่สุด ในความเห็นของผมยุครุ่งเรื่องที่สุดคือ 77-78-79 คำว่ารุ่งเรืองหมายถึง ได้รับความนิยมในการเลือกสอบเข้า จากบรรดายอดฝีมือในม.ปลายทั้งหลาย เดี๋ยวนี้คงถูกคณะแพทย์แซงไปเรียบร้อยแล้ว) อยู่ภาควิชาวิศวกรรมไฟฟ้า (ซึ่งถ้าคิดต่อไปอีกหน่อยก็จะรู้ว่า เป็นรุ่นพี่โดยตรงของ webmaster คนหนึ่ง ซึ่งคงได้เดินชนกันจนเบื่อสมัยเรียนอยู่) เรียนจบด้วยเกียรตินิยมอันดับ 1 แบบสบายๆ เรียกว่าเรียนไปนั่งสมาธิไปก็ไม่ผิดนัก เพราะ glory เคยบวชธรรมทายาทด้วย

เป็นตัวแทนคณิตศาสตร์โอลิมปิคสองสมัย ครั้งแรกได้รับรางวัลชมเชย ครั้งที่สองได้เหรียญทองแดง จัดว่าเป็นยอดฝีมือทางด้านคณิตศาสตร์อันดับต้นๆ ของประเทศไทย คิดว่าใน web นี้คนที่เป็นอัจฉริยะทาง math ในระดับเดียวกับ glory มีเพียงคุณ <*> ซึ่งเป็นอดีตตัวแทนโอลิมปิคประเทศไทยอีกคนเท่านั้น

ยินดีที่ได้พบเพื่อนเก่าอีกครั้งครับ glory เคยสงสัยเหมือนกันว่าตอนนี้คุณทำอะไรอยู่ ถ้าผมแนะนำตัวคุณผิดไปบ้าง คุณเข้ามาแก้เองนะ

จากเพื่อนเก่าคนหนึ่ง

อ้อ! อีกอย่าง ตอนที่ glory สอบได้ที่ 1 ประเทศไทยนั้น สอบ 6 วิชา ทำไป 512/600 (ข้อสอบ Entrance ระบบเก่า วัดกันด้วยฝีมือในห้องสอบล้วนๆ ไม่มีการเอาเกรดที่โรงเรียนมาช่วย) น้องๆ คนไหนอยากเอาอย่างเชิญได้เลยนะครับ

เพื่อเป็นการแสดงความยินดีกับ web นี้ ที่ได้จอมยุทธอันดับหนึ่งแห่งแผ่นดินอย่าง morning_glory มาร่วมเล่นสนุกด้วย เลยขอ post โจทย์ แจกทุกๆ คนดังนี้ (เนื่องจากผมไม่ได้เป็นสมาชิก เลย post ไม่ได้ ใครใจดีช่วยเอาไป post ให้ทีก็แล้วกัน ตั้งชื่อกระทู้ว่า "โจทย์ของ TAMREF")

กำหนดให้ x,y,z เป็นจำนวนเต็ม จงพิจารณาสมการต่อไปนี้

x/y + y/z + z/x = k

1.) ถ้า k=1 สมการมีคำตอบหรือไม่ ถ้ามีจงหาคำตอบทั้งหมด ถ้าไม่มีจงอธิบาย
2.) ถ้า k=2 สมการมีคำตอบหรือไม่ ถ้ามีจงหาคำตอบทั้งหมด ถ้าไม่มีจงอธิบาย
3.) ถ้า k=3 สมการมีคำตอบหรือไม่ ถ้ามีจงหาคำตอบทั้งหมด ถ้าไม่มีจงอธิบาย

หวังว่าคงไม่ง่ายไปให้ทุกท่านหัวร่อเยาะ และคงทำให้ทุกคนเกิดความครื้นเครงได้บ้าง

ถ้าว่างจะมา post โจทย์ให้ใหม่

ผ่านไปหนึ่งวัน ยังไม่มีคนเข้ามาตอบ
ขอแก้ไขโจทย์หน่อยนะ ให้ x, y, z เป็น จำนวนเต็มบวก

อ้อ! อีกอย่าง Webmaster ทั้งสองคน ควรเรียก morning_glory ว่า "พี่"กรกฎ อย่างเต็มปาก เพราะเขาเป็นรุ่นพี่คณะคุณนะ

ถ้าผมบอกเพิ่มเติมว่าคุณพี่ <*> เป็นรุ่นพี่โรงเรียนมัธยมของคุณ Top จะมีใครเชื่อผมไหมเนี่ย ?

[Faith]

ผมคิดว่า k = 1 จะทำให้สมการไม่มีคำตอบ ... แหะๆๆๆ ถูกหรือปล่าวครับ ส่วน k = 2 และ 3 ขอคิดดูก่อน

[nithi_rung]

ถ้า x,y,z เป็นจำนวนเต็มบวก x/y, y/z, z/x ก็ต้องเป็นจำนวนจริงบวก
จากอสมการเอเอ็ม-จีเอ็ม ก็จะได้ (x/y)+(y/z)+(z/x)ณ3x[(x/y)(y/z)(z/x)]^(1/3)=3 โดยจะเป็นสมการเมื่อ x/y=y/z=z/x นั่นคือ x=y=z
ดังนั้น ถ้า k=1หรือ 2 แล้วสมการจะไม่มีคำตอบ
ถ้า k=3 จะได้ว่า x,y,z เป็นจำนวนเต็มใด ๆ ที่ x=y=z ถูกเปล่าครับ