เพื่อนที่เรียนตรีคณิต โท ปรัชญา ถามมาครับ ช่วยที

[Walk_on]

1. ภายในวงกลม 1 วง (รัศมียาวเท่าไหร่ก็ได้) มีรัศมี กี่เส้น
- ข้อนี้ผมก็ตอบเพื่อนไปว่า หาค่าไม่ได้ เพราะมันมีมากจนไม่สามารถนับได้ หรือตอบว่า อินฟินิตี้
เพื่อนก็ย้อนมาว่า อินฟินิตี้ คือ "หาค่าไม่ได้ถูกไหม" หรือ ไปเรื่อยๆไม่มีที่สิ้นสุด แล้วมันก็พูดต่อว่ามันจะไม่มีที่สิ้นสุดได้ไง ในเมื่อมันก็ยังมีอาณาเขตอยู่ภายในวงกลม ซึ่งมีอาณาเขตชัดเจน
- ผมพยายามหาข้อพิสูจน์ไปอ้างอิง แต่ก็ยังหาไม่ได้สักที ใครมีข้อพิสูจน์ข้อนี้ได้บ้าง แล้วจิงๆแล้ว มันหาค่าได้ไหม ว่ารัศมีมีกี่เส้น
2. ให้ A = {0 , 0.000...1 , 0.000...2 , 0.000...3 , ... , 0.999... , 1 }
A เป็น เซตจำกัด หรือ เซตอนันต์? (เหมือนข้อ 1 )
- ข้อนี้ผมก็ตอบเพื่อนว่า มันเป้นเซตอนันต์ เพราะว่า มันเป็นเซตที่ไม่สามารถนับได้
มันก็บอกว่า "มันมีขอบเขตไหม" ผมก็ตอบ " มี แต่ไม่สามารถบอกได้ว่ามีกี่ตัว จึงเป็นอนันต์"
มันก็ย้อนเหมือนข้อ 1 "มันจะไม่มีที่สิ้นสุดได้ไง ในเมื่อยังไงๆมันก็ต้องสิ้นสุดที่ 1"
เจอ เลข + ปรัชญา ท้อจิงๆครับ ช่วยทีๆๆ ไม่รู้จะเอาอะไรไปเถียงมัน ขอข้อพิสูจน์ที
3. ผมพิสูจน์ เรื่อง ลบ คูน ลบ แล้ว ได้ บวกให้มันดูแบบนี้
- ให้ a<0 , b<0
แสดงว่า -a > 0 , -b > 0
งั้น -a และ -b เป็นจำนวนบวก เพราะ มันมากกว่า 0
ก็จะได้ว่า (-a)(-b) > 0
จึงสรุปว่า ลบ คูณ ลบ เป็น บวก เพราะ จำนวนบวก(-a) คูณ จำนวนบวก(-b) ต้องได้บวก
มันก็ย้อนอีกว่า รู้ได้ไงว่า จำนวนบวก คูณ จำนวนบวกถึงได้ มากกว่า 0 หาข้อพิสูจน์ให้ที
ใครมีข้อพิสูจน์ที่ คนเรียนปรัชญาจายอมรับได้มั่งคร้าบบ

รบกวนแค่นี้แหละคร้าบบ

[nongtum]

เท่าที่อ่าน ผมเข้าใจว่าเขาอาจจะสับสนเกี่ยวกับเซตอนันต์นับได้ หรือเซตอนันต์นับไม่ได้มังครับ
เพราะเท่าที่ดู เขาจะอ้างว่า bound sets=finite sets ทั้้้้้้้้้้้้้้้้้้้งๆที่จริงไม่จำเป็น

ผมขอลองอธิบายดูละกัน

อย่างข้อแรก วงกลมมัน bound อยู่ในพื้นที่ก็จริง แต่ที่เราสนใจคือจำนวนเส้นรัศมี ไม่ใช่ความยาวรัศมี
ซึ่งระหว่างเส้นรัศมีสองเส้นที่ต่างกันใดๆ สามารถสร้างรัศมีอีกเส้นแทรกได้เสมอ เป็นเช่นนี้เรื่อยๆ
ทั้งนี้อย่าลืมว่าที่จริงแล้ว ในแง่เรขาคณิต เส้นไม่มีความกว้าง

ข้อสอง ผมไม่แน่ใจว่าคุณอยากให้ 0.000...1 มี 0 หน้า 1 กี่ตัว
แต่ไม่ว่าจะมีกี่ตัว ท้ายที่สุดก็มี bijection จากกลุ่มสมาชิกด้านบนไปยังสับเซตของ $\mathbb{N}$ ซึ่งหมายถึงมันนับได้ แถมเป็นเซตจำกัดอีกต่างหาก
ฉะนั้น ต้องหาตัวอย่างอื่นเพื่อแสดงว่า [0,1] เป็นเซตนับไม่ได้ครับ
ผมขอแนะให้ไปหารายละเอียดเรื่องนี้ในหนังสือ fundamental maths หรือ axiomatic set theory ละกัน

ข้อสาม สมมติว่า $a>0,\ b>0$ แต่ $ab\le 0$
เห็นได้ชัดว่า $ab\ne0$ ดังนั้น โดยไม่เสียนัยสมมติให้ $a>0$
ดังนั้นเมื่อคูณ $ab\le 0$ ตลอดด้วย $1/a>0$ ก็จะได้ $b\le0$ ขัดแย้งกับสมมติฐานตอนต้นครับ

[nooonuii]

จะถกคณิตศาสตร์กับนักปรัชญาต้องสร้างกรอบความรู้ขึ้นมาก่อนครับ

เำำพราะปรัชญาเป็นวิชาที่กว้างมาก ดิ้นไปได้เรื่อยๆ

กรอบความรู้ที่ว่าคือ สัจพจน์ และ นิยาม ทางคณิตศาสตร์

ซึ่งเป็นข้อตกลงที่เรานำมาอ้างได้โดยไม่ต้องพิสูจน์

1,2 คำว่าอนันต์ ในทางคณิตศาสตร์หมายความว่าอย่างไร

ต้องอธิบายให้ชัดเจนเพื่อให้เห็นว่า อนันต์ กับ ไม่มีขอบเขต นั้นต่างกัน

3. ต้องพิสูจน์ว่า $(-1)\times (-1) = 1$ ก่อน โดยใช้สัจพจน์ของระบบจำนวนจริง ที่เรียกว่า สนาม(Field)

ในส่วนของ บวก คูณ บวก ได้ บวก อันนี้ก็เป็นหนึ่งในสัจพจน์ของจำนวนจริงบวกครับ

[Walk_on]

ขอขอบคุณทั้ง 2 คำตอบมากนะครับ ทำให้รู้อะไรได้มากจริงๆ เดี๋ยวผมคงต้องไปหา หนังสือที่แนะนำมาให้แล้ว
ส่วนในโจทย์ข้อ ที่ 2 ขอเปลี่ยนโจทย์ใหม่เป็นดังนี้แล้วกันครับ

ให้ A = {1 , 1/2 , 1/4 , 1/8 , 1/16 , ... , 0}
แล้ว A เป็นเซ็ตจำกัดหรือเซตอนันต์

ส่วนในข้อของ วงกลม นั้น คำ Keyword คือ เส้นรัศมี2เส้นที่ต่างกันจะสามารถสร้าง รัศมี แทรกระหว่างนั้นได้เสมอ ใช่ไหมครับ
ผมคิดว่าคำนี้น่าจะใช้อ้างได้พอสมควร ดังนั้นบทสรุปจึงไม่สามารถนับได้ว่ามีกี่เส้นถูกไหมครับ เพราะว่าในทางเรขาคณิตแล้ว เส้นไม่มีความกว้าง
แต่ถ้าเค้าสวนมาว่า "แล้ว ในทางชีวิตจริง เวลาเราลากเส้น แล้วจะไม่มีความกว้างได้ไงล่ะ" ผมจะบอกเค้าว่าอย่างไรดีครับ
(ต้องเข้าใจด้วยนะครับ ว่าเค้าเป็นพวกปรัชญา เค้าจะหาข้อขัดแย้งมาได้เสมอ ผมจึงต้องพยายามดักทุกทาง)

ส่วนการพิสูจน์ (-1)(-1) = 1
ถ้าไม่ลำบากช่วยพิสูจน์ให้ดูหน่อยได้ไหมครับ หรือว่า แนะนำแหล่งข้อมูลที่บอกการพิสูจน์ เรื่องนี้ทีครับ

ขอขอบคุณล่วงหน้ามากครับ
ป.ล.เข้ามาเว็บนี้ รู้เลยว่าเราไม่ได้เก่งคณิตศาสตร์เลยสักนิดเดียว

[nongtum]

ลำดับในเซต A นิยามได้ดังนี้ $a_0=0,\ a_n=1/2^{n-1},\ \forall n\in\mathbb{N}-\{ 0\}$ ซึ่งเป็นลำดับอนันต์ แต่ $A\subset [0,1]$
ดังนั้นตัวอย่างนี้ไม่สามารถใช้แสดงว่า [0,1] นับไม่ได้ครับ

ข้อวงกลม ถ้าเขาจะอ้างว่าลากรัศมีไล่ไปเรื่อยๆจนวงกลมถูกระบายไปหมด ก็ทำได้ แต่ในแต่ละเส้นที่ลาก มันอาจมีรัศมีเส้นเล็กๆอีกหลายเส้นก็ได้
ซึ่งเป็นจุดหนึ่งที่คณิตศาสตร์ต่างจากความเป็นจริงไำงครับ

ข้อสาม การจะแสดงว่า (-1)(-1)=1 สามารถแสดงได้โดยใช้ความรู้เรื่องจำนวนตรงข้ามในระดับ ม.2 ครับ(น่าจะอยู่ในระดับชั้นนี้ตามหลักสูตรปัจจุบัน) ลองไปหาดูนะครับ

[nooonuii]

Theorem $(-1)\times (-1)=1$

Proof : $(-1)\times (-1) + (-1) = (-1)\times (-1) + (-1)\times 1$ (เอกลักษณ์การคูณ)

$=(-1)\times [(-1)+1]$ (กฎการแจกแจง)

$=(-1)\times 0$

$=0$

บวกทั้งสองข้างด้วย $1$

$(-1)\times (-1) =1$

[pakdee]

1.ตอบว่าจำนวนเส้นของรัศมีจะต้องเท่ากับจำนวนมุมของวงกลมครับ คือวงกลมจำนวนมีมุมเท่าใดรัศมีก็มีจำนวนเส้นมากเท่านั้นครับ

[ลูกชิ้น]

จำนวนมุม คือ ขนาดของมุม หรือ ความมากน้อยของมุมล่ะครับ
แล้ว วงกลมจำนวน คืออะไรอ่ะครับ

ผมคิดว่าถ้าจะให้เพื่อนปรัชญาเข้าใจข้อ 1
ต้องให้เค้าคิดได้ก่อนว่าวงกลมเล็กกับวงกลมใหญ่ สามารถสร้างรัศมีได้จำนวนเท่ากันหรือไม่
ซึ่งมันสร้างจากจุดเดียวกัน มันหมายความว่าถ้าสร้างได้ไม่ว่าจะจำกัดหรืออนันต์ก็จะสร้างได้จำนวนเท่ากัน

จากนั้นก็ วาดวงกลมเล็ก อยู่ในวงกลมใหญ่ โดยจุดศูนย์กลางเป็นจุดเดียวกัน
แล้วให้เพื่อนสร้างรัศมีของวงกลมเล็ก แต่เวลาสร้าง ให้ต่อเส้นออกมาถึงเส้นรอบวง ของวงกลมใหญ่
คิดว่ามาถึงตอนนี้นักปรัชญาคงเข้าใจ ว่าสร้างเส้นรัศมีได้ไม่จำกัด

[Puriwatt]

ข้อ 1. น่าจะลองถามนักปรัชญากลับว่า จุดบนเส้นรอบวงมีอยู่กี่จุด (นั่นละคำตอบ)
เพราะคำตอบของข้อนี้เกิดจากนิยามของคำว่าเส้นนั่นเอง

"แล้ว ในทางชีวิตจริง เวลาเราลากเส้น แล้วจะไม่มีความกว้างได้ไงล่ะ" ผมจะบอกเค้าว่าอย่างไรดีครับ
ผมว่าคุณน่าลองถามเขาว่า เขาเข้าใจความหมายของจุดในทางคณิตศาสตร์ว่าอย่างไร มีความกว้าง, ยาว, สูง หรือไม่
ถ้าเขาตอบว่ามีขนาดในมิติใดมิติหนึ่งละก็ ผมว่าคุณควรทบทวนแล้วว่าควรคบต่อหรือไม่ ถ้าคิดจะคบต่อก็ควรคุยเรื่องอื่นเถอะ
เพราะจะเสียเวลาและเกิดความสับสนในนิยามต่างๆไปเปล่าๆ ยกเว้น คุณชอบถกความคิดเห็นที่แตกต่าง
ผมว่าคุณคงได้พบกับคนแบบเดียวกันกับ ฑีฆนัขะ(ผู้มีเล็บยาว) แห่งยุคนี้เข้าแล้วละครับ