Vasc's problem

[tatari/nightmare]

กำหนดให้ $a,b,c,d$ เป็นจำนวนจริงบวกซึ่งสอดคล้องสมการ $a^2+b^2+c^2+d^2=1$
จงพิสูจน์ว่า $$\sqrt{1-a}+\sqrt{1-b}+\sqrt{1-c}+\sqrt{1-d}\geq \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+\sqrt{d}$$

หมายเหตุ: จาก Mathematical Reflection ผมอยากดูวิธีของคนใน board ครับ

[dektep]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ tatari/nightmare

กำหนดให้ $a,b,c,d$ เป็นจำนวนจริงบวกซึ่งสอดคล้องสมการ $a^2+b^2+c^2+d^2=1$
จงพิสูจน์ว่า $$\sqrt{1-a}+\sqrt{1-b}+\sqrt{1-c}+\sqrt{1-d}\geq \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+\sqrt{d}$$

หมายเหตุ: จาก Mathematical Reflection ผมอยากดูวิธีของคนใน board ครับ

ยกกำลังสองทั้งสองข้าง $$\sqrt{1-a}+\sqrt{1-b}+\sqrt{1-c}+\sqrt{1-d}\geq \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}+\sqrt{d}$$
$$\leftrightarrow 4+2\sum_{cyc}\sqrt{(1-a)(1-b)} \geq 2\sum_{cyc}\sqrt{ab}+2(a+b+c+d)$$

จาก Cauchy ; $$4(a^2+b^2+c^2+d^2) \geq (a+b+c+d)^2 \rightarrow a+b+c+d \leq 2
\therefore 2(a+b+c+d) \leq 4$$
จาก $\sqrt{(1-a)(1-b)} \geq \sqrt{cd}$ จะได้ว่า $$2\sum_{cyc}\sqrt{(1-a)(1-b)} \geq 2\sum_{cyc}\sqrt{ab}$$
ดังนั้น $$4+2\sum_{cyc}\sqrt{(1-a)(1-b)} \geq 2\sum_{cyc}\sqrt{ab}+2(a+b+c+d)$$
ปล.แล้วคุณ tatari ใช้วิธีไหนหละครับ

[God Phoenix]

อย่างนี้คิดที่ละคู่ก็ได้หนิครับ
$2\sqrt {(1-a)(1-b)} \geq 2\sqrt {cd}$,$a+b+c+d \leq 2$

$(1-a)+(1-b)+2\sqrt {(1-a)(1-b)} \geq c+d+2\sqrt {cd}$

$\sqrt {1-a}+\sqrt {1-b} \geq \sqrt {c}+\sqrt {d}$

[Spotanus]

พิจารณา $f\left(x\right)=\sqrt{1-\sqrt{x}}-\sqrt{\sqrt{x}}$
ดังนั้น $f\left(x\right)=\frac{1-2\sqrt{x}}{\sqrt{1-\sqrt{x}}+\sqrt{\sqrt{x}}}$
โดยเมเจอไรเซชั่น ทำให้ได้ว่า $f\left(x\right)\geq\frac{1-2\sqrt{x}}{2}$
ให้ $S=\{a^{2},b^{2},c^{2},d^{2}\}$ ดังนั้น โดยพาวเวอร์มีน
$$\sum_{x\in S}f\left(x\right)=2- \sum_{x\in S}\sqrt{x}\geq 0$$