400!

[faa]

จำนวนเต็มบวก k ที่มากที่สุดที่ทำให้ $10^k$ หาร 400! ลงตัว
คือ $k=[\frac{400}{5}]$+$[\frac{400}{5^2}]$+ $[\frac{400}{5^3}]$+ $[\frac{400}{5^4}]$ = 80+16+3+0=99
จะรู้ได้อย่างไรว่าต้องหยุดที่ $5^4$ ครับ และถ้าถามว่ามี 0ทั้งหมดกี่ตัว จะต้องตอบกี่ตัวครับ
และ 100! จะหยุดอยู่ที่ $5^3$ มีหลักการอย่างไรครับ

[MirRor]

ต้องหยุดเมื่อ ตัวตั้งน้อยกว่าตัวหาร

ส่วนคำถามต่อไปนั้นรอให้ผู้รู้มาตอบครับ

[faa]

ขอบคุณมากครับเข้าใจแล้ว และอีกคำถามช่วยตอบด้วยนะครับ

[Maphybich]

$\displaystyle{400!=2^{\frac{400}{2}+\frac{200}{2}+\frac{100}{2}+\frac{50}{2}+\frac{24}{2}+\frac{12}{2}+\frac{6}{2}+\frac{2}{2}} \times 3^{\frac{399}{3}+\frac{132}{3}+\frac{42}{3}+\frac{12}{3}+{3}{3}}\times 5^{\frac{400}{5}+\frac{80}{5}+\frac{15}{5}}\times \cdots}$

เพราะฉะนั้น $400!$ มี 0 อยู่ 99 ตัว

[teamman]

สำหรับข้อ 2 ที่ถามนั้นก็ใช้หลักการเดียวกับ ข้อ 1 คับ
100! จะมีศูนย์อยู่
เท่ากับ $\frac{100}{5} + \frac{100}{5^2}+ \frac{100}{5^3}$
= 20+4+0 เท่ากับ 24 ตัว คับ
ผมพูดอย่างนี้ละกันคับ เราจะรู้ได้ว่าต้องหยุดที่ตัวไหนก็ต่อเมื่อเราหารไปเรื่อย แล้วพบว่า คำตอบที่ได้ น้อยกว่า 0 เราก็จะหยุดตรงนั้นคับ จากกรณีนี้จะได้ว่า จะต้องหยุดที่ $5^3$ เพราะว่า $5^3$ หาร 100 แล้วคำตอบที่ได้น้อยกว่า 0 คับ
และที่สำคัญถ้าหารแล้วได้เศษเราก็ปัดเศษทิ้งไปได้เลยคับ

[Julian]

ผมว่าผมทดลองทำให้มันดูง่ายๆ หน่อยดีกว่า

$400! มี 0 ข่วงท้ายทั้งสิ้นกี่ตัว$ เราจะดดังนี้

นำ $\frac{400}{5} ได้ 80$

นำ $\frac{80}{5}อีก ได้ 16 $

นำ $\frac{16}{5}อีก ได้ 3 เศษ 1 $

จะเห็นว่ามันเหลือเศษแล้วแล้วก้อหารไม่ได้อีกแล้ว ปัดเศษไป

แล้วเอาผลหารที่ได้มาบวกกัน คือ 80 + 16 +3 = 99 ตอบ

[faa]

ขอบคุณครับคิดว่าเข้าใจแล้วครับ

[กรza_ba_yo]

ขอโจทย์เเบบนี้เยอะเลยนะคับ หากใครมี

[Onasdi]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ faa

จำนวนเต็มบวก k ที่มากที่สุดที่ทำให้ $10^k$ หาร 400! ลงตัว
คือ $k=[\frac{400}{5}]$+$[\frac{400}{5^2}]$+ $[\frac{400}{5^3}]$+ $[\frac{400}{5^4}]$ = 80+16+3+0=99
จะรู้ได้อย่างไรว่าต้องหยุดที่ $5^4$ ครับ และถ้าถามว่ามี 0ทั้งหมดกี่ตัว จะต้องตอบกี่ตัวครับ
และ 100! จะหยุดอยู่ที่ $5^3$ มีหลักการอย่างไรครับ

จริงๆแล้วจะคิดว่าเราไม่ได้หยุดก็ได้ครับ เพราะว่าถ้าเราลองทำต่อไปก็จะได้ 0 มาบวกเพิ่มไปเรื่อยๆ ซึ่งไม่มีผลอะไร

[Puriwatt]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Onasdi

จริงๆแล้วจะคิดว่าเราไม่ได้หยุดก็ได้ครับ เพราะว่าถ้าเราลองทำต่อไปก็จะได้ 0 มาบวกเพิ่มไปเรื่อยๆ ซึ่งไม่มีผลอะไร

ถูกต้องแล้วครับ

แต่ผมเข้าใจเอาว่าคนที่สอนคุณ faa คงจะบอกว่าหยุดคิดได้แล้ว

เพราะว่าถ้าเราลองทำต่อไปก็จะได้ 0 มาบวกเพิ่มไปเรื่อยๆ ซึ่งไม่มีผลอะไรครับ

[[SIL]]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ faa

จำนวนเต็มบวก k ที่มากที่สุดที่ทำให้ $10^k$ หาร 400! ลงตัว
คือ $k=[\frac{400}{5}]$+$[\frac{400}{5^2}]$+ $[\frac{400}{5^3}]$+ $[\frac{400}{5^4}]$ = 80+16+3+0=99
จะรู้ได้อย่างไรว่าต้องหยุดที่ $5^4$ ครับ และถ้าถามว่ามี 0ทั้งหมดกี่ตัว จะต้องตอบกี่ตัวครับ
และ 100! จะหยุดอยู่ที่ $5^3$ มีหลักการอย่างไรครับ

ผมขอต่อยอดให้กระจ่างแล้วกัน
สมมติ 100! ก่อนละกันว่ามี 7 กี่ตัวในนี้
$100! = 1\times2\times3\times...\times100$
ตัวทีมี 7 เป็นตัวประกอบคือ 7,14,21,...,98 ใน 100! อ่ะครับแล้วเราจะรู้ได้อย่างไรว่ามีกี่ตัวก็ใช้สูตรหาพจน์ที่ n ของลำดับเลขคณิตธรรมดาๆ อ่ะครับ
7+(n-1)(7) = 98
n = 14
จะเห็นว่าถ้าหาตัวที่ 7 หารลง 1 ครั้ง ย้ำ!หารลงเพียง 1 ครั้ง จะมีทั้งสิ้น 14 ตัวครับแต่ถ้าหาร 7 ลง 2 ครั้งมันหมายความว่าอย่างไร มันก็คือการหาร $7\times7= 49$ ลงตัวนั่นเอง และจะพบว่าใน 100! เนี่ยจะมีตัวหาร 7 ลงตัว 2 ครั้งเพียง 2 ตัวคือ 49 ตัวที่ 2 จะเป็น 98 แต่ตัวที่ 3 คือ 147 มันเกิน 100 เราจะไม่นับเพราะเราคูณเลขถึงแค่ 100 จึงสรุปว่ามีแค่เพียง 2 ตัวที่หาร 7 ลง 2 ครั้ง
แล้วถ้าหาร 7 ลง 3 ครั้งล่ะคำตอบคือไม่มีครับเพราะการหาร 7 ลง 3 ครั้งนั้นคือต้องหาร $7\times7\times7 = 343$ลงตัวซึ่งมันเกิน 100 ไปแล้ว
$\therefore$ 100! มี 7 อยู่ 14+2 = 16 ตัวครับ

ทั้งหมดที่พล่ามมาจึงเป็นที่มาของการหาว่า n! มี k อยู่กี่ตัว ลองใช้วิธีหารไปเรื่อยๆน่ะแหละดูว่า 100! จะมี 7 กี่ตัว
100 หารด้วย 7 ได้ 14.กว่าๆ
14.กว่า หารด้วย 4 ได้ 2.กว่าๆๆ
2.กว่าๆ หารด้วย 7 ได้ 0.กว่าๆๆๆ
จะได้ 100! มี 7 อยู่ 14+2=16 ตัวครับ

[MirRor]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ [SIL]

สมมติ 100! ก่อนละกันว่ามี 7 กี่ตัวในนี้
$100! = 1\times2\times3\times...\times100$
ตัวทีมี 7 เป็นตัวประกอบคือ 7,14,21,...,98 ใน 100! อ่ะครับแล้วเราจะรู้ได้อย่างไรว่ามีกี่ตัวก็ใช้สูตรหาพจน์ที่ n ของลำดับเลขคณิตธรรมดาๆ อ่ะครับ
7+(n-1)(7) = 98
n = 14
จะเห็นว่าถ้าหาตัวที่ 7 หารลง 1 ครั้ง ย้ำ!หารลงเพียง 1 ครั้ง จะมีทั้งสิ้น 14 ตัวครับแต่ถ้าหาร 7 ลง 2 ครั้งมันหมายความว่าอย่างไร มันก็คือการหาร $7\times7= 49$ ลงตัวนั่นเอง และจะพบว่าใน 100! เนี่ยจะมีตัวหาร 7 ลงตัว 2 ครั้งเพียง 2 ตัวคือ 49 ตัวที่ 2 จะเป็น 98 แต่ตัวที่ 3 คือ 147 มันเกิน 100 เราจะไม่นับเพราะเราคูณเลขถึงแค่ 100 จึงสรุปว่ามีแค่เพียง 2 ตัวที่หาร 7 ลง 2 ครั้ง
แล้วถ้าหาร 7 ลง 3 ครั้งล่ะคำตอบคือไม่มีครับเพราะการหาร 7 ลง 3 ครั้งนั้นคือต้องหาร $7\times7\times7 = 343$ลงตัวซึ่งมันเกิน 100 ไปแล้ว
$\therefore$ 100! มี 7 อยู่ 14+2 = 16 ตัวครับ

ขอบคุณสำหรับวิธีคิดที่หลากหลายครับ

[กรza_ba_yo]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ [SIL]

ผมขอต่อยอดให้กระจ่างแล้วกัน
สมมติ 100! ก่อนละกันว่ามี 7 กี่ตัวในนี้
$100! = 1\times2\times3\times...\times100$
ตัวทีมี 7 เป็นตัวประกอบคือ 7,14,21,...,98 ใน 100! อ่ะครับแล้วเราจะรู้ได้อย่างไรว่ามีกี่ตัวก็ใช้สูตรหาพจน์ที่ n ของลำดับเลขคณิตธรรมดาๆ อ่ะครับ
7+(n-1)(7) = 98
n = 14
จะเห็นว่าถ้าหาตัวที่ 7 หารลง 1 ครั้ง ย้ำ!หารลงเพียง 1 ครั้ง จะมีทั้งสิ้น 14 ตัวครับแต่ถ้าหาร 7 ลง 2 ครั้งมันหมายความว่าอย่างไร มันก็คือการหาร $7\times7= 49$ ลงตัวนั่นเอง และจะพบว่าใน 100! เนี่ยจะมีตัวหาร 7 ลงตัว 2 ครั้งเพียง 2 ตัวคือ 49 ตัวที่ 2 จะเป็น 98 แต่ตัวที่ 3 คือ 147 มันเกิน 100 เราจะไม่นับเพราะเราคูณเลขถึงแค่ 100 จึงสรุปว่ามีแค่เพียง 2 ตัวที่หาร 7 ลง 2 ครั้ง
แล้วถ้าหาร 7 ลง 3 ครั้งล่ะคำตอบคือไม่มีครับเพราะการหาร 7 ลง 3 ครั้งนั้นคือต้องหาร $7\times7\times7 = 343$ลงตัวซึ่งมันเกิน 100 ไปแล้ว
$\therefore$ 100! มี 7 อยู่ 14+2 = 16 ตัวครับ

ทั้งหมดที่พล่ามมาจึงเป็นที่มาของการหาว่า n! มี k อยู่กี่ตัว ลองใช้วิธีหารไปเรื่อยๆน่ะแหละดูว่า 100! จะมี 7 กี่ตัว
100 หารด้วย 7 ได้ 14.กว่าๆ
14.กว่า หารด้วย 4 ได้ 2.กว่าๆๆ
2.กว่าๆ หารด้วย 7 ได้ 0.กว่าๆๆๆ
จะได้ 100! มี 7 อยู่ 14+2=16 ตัวครับ

เชื่อเเล้วคับว่ามันคิดได้หลายวิธีจิงๆ