ข้อสอบแข่งขันคณิตศาสตร์ ปี 46 บางข้อ (ที่ทำไม่ได้) - -a

[-InnoXenT-]

1. $A = \bmatrix{4 & a \\ b & c}$ โดยที่ $a,b,c \in I$ ถ้า $(A+I)^3 = 3A + I$ และ $det(A+3I) \not= 0$ เมตริกซ์ Aที่มีคุณสมบัติเช่นนี้มี่กี่เมตริกซ์

2. กำหนดให้ $A,B,C$ เป็นเซต ซึ่ง $n(A\cup B\cup C) = 6$ และ $n(A\cap B) = 2$
ถ้า $n(A * B) = n(A * C) = 6$ แล้ว จงหา $n(A-(B\cap C))$

3. ให้ $ S = \left\{\,\right. z \in C | \left|z-2000\right| + \left|z-2001\right| + \left|z-2002\right| +\left|z-2003\right| = 4\left.\,\right\} $
ถ้า a และ b คือค่ามากที่สุด และน้อยสุดของ $\left\{\,\right. x | x = \left|z-2000-i\right| , z \in S\left.\,\right\} $ ตามลำดับ จงหา $a-b$

4. จงหาจำนวนสมาชิกของเซต $\left\{\,\right. (x,y) \in I x I | x^2+x = y^4+y^3+y^2+y\left.\,\right\} $

5. ให้ $p$ และ $q$ เป็นจำนวนเฉพาะบวก ซึ่ง $p^2+q = 37q^2+p$ จงหาจำนวนคู่อันดับ $(p,q)$ ที่เป็นไปได้ทั้งหมด

ขอวิธีทำ หรือแนว คร่าวๆ ด้วยก็ดีครับ

[winlose]

ข้อ5
$p^2+q=37q^2+p$
$q-p=37q^2-p^2$
$q-p=36q^2+(q^2-p^2)$
$q-p=36q^2+(q-p)(q+p)$
$(q-p)-(q-p)(q+p)=36q^2$
$(q-p)(1-q-p)=36q^2$
$(p-q)(p+q-1)=36q^2$
$...$
ปล.ข้อสอบแข่งขันอะไรอ่ะครับเนี่ย

[-InnoXenT-]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ winlose

ปล.ข้อสอบแข่งขันอะไรอ่ะครับเนี่ย

ไม่รู้สิครับ ผมโหลดจาก พระตะบองอ่ะ

มันไม่มีเฉลยอ่ะ

[หยินหยาง]

ข้อ 1. ลองสังเกต $(A+I)^3 =3A+I$ แล้วกระจายเทอมดูครับ จะเห็นว่า $A^2$ เป็นเมตริกซ์ 0 หลังจากนั้นก็จะสามารถหารูปแบบของ $a,b,c$
ว่ามีได้กี่แบบ
ข้อ 2. จากโจทย์ จะได้ว่า $n(B)=n(C)$ แล้วลองพิจารณาดูว่า $n(A), n(B), n(C)$ เป็นได้กี่กรณีแล้วดูว่ากรณีไหนจริง
ข้อ 3. สังเกต $\left|\,\right. (z-2000)+(2003-z)\left.\,\right| = 3$, $\left|\,\right. (z-2000)\left.\,\right|+\left|\,\right. (2003-z)\left.\,\right|\geqslant 3$ กับ
$\left|\,\right. (z-2001)+(2002-z)\left.\,\right| = 1$, $\left|\,\right. (z-2001)\left.\,\right|+\left|\,\right. (2002-z)\left.\,\right|\geqslant 1$
ข้อ 4. สังเกตสมการที่ให้จะได้ว่า $x(x+1) = (y^2+1)(y^2+y)$ แล้วแบ่งการพิจารณาออกเป็น 2 กรณีคือ $=0$ กับ$\not= 0$

[RoSe-JoKer]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ หยินหยาง

ข้อ 1. ลองสังเกต $(A+I)^3 =3A+I$ แล้วกระจายเทอมดูครับ จะเห็นว่า $A^2$ เป็นเมตริกซ์ 0 หลังจากนั้นก็จะสามารถหารูปแบบของ $a,b,c$
ว่ามีได้กี่แบบ

ข้อ 4. สังเกตสมการที่ให้จะได้ว่า $x(x+1) = (y^2+1)(y^2+y)$ แล้วแบ่งการพิจารณาออกเป็น 2 กรณีคือ $=0$ กับ$\not= 0$

ข้อ 1
$A^2$ เป็นเมตทริกซ์ 0 หรอครับ?? ผมไม่แน่ใจนะครับเพราะว่ายังไม่ได้ทดเลยแต่ที่ผมเคยทำผมจำได้ว่าผมได้ว่า
$A^2(A+3I)$ ให้เป็นเมตทริกซ์ 0 นะครับแล้วก็จะได้ค่า c 2 ค่าซึ่งค่าหนึ่งใช้ไม่ได้เพราะจะทำให้ $det(A+3I)=0$
แล้วที่เหลือก็ใช้ความจริงที่ว่า $ab= -16$ จะได้ว่าตอบ 10 เมตทริกซ์
ข้อ 4
ผมคิดว่าน้องหยินหยางจะทำวิธีคล้ายๆเฉลยเลยสำหรับข้อนี้ซึ่งผมเองรู้สึกไม่ค่อยพอใจกับเฉลยของหนังสือมากนัก เขาสรุปได้แย่มากๆจริงๆ (แต่ผมก็ไม่รู้ว่าน้องจะทำเหมือนเฉลยในหนังสือหรือเปล่า ถ้าเป็นไปได้ช่วยกรุณาพิมพ์มาให้ผมดูทีผมอยากได้วิธีสวยๆสำหรับข้อนี้มาก) ประมาณว่า 2 พจน์คูณกันต้องต่างกัน 1 แล้วสรุปเลยนิผมรับไม่ค่อยจะได้จริงๆเพราะมันอาจแยกตัวประกอบออกมาคูณกันได้ก็ได้ซึ่งจำเป็นที่จะต้องพิสูจน์ว่ากรณีนั้นไม่มีจริง จึงได้ว่าตอบ 6 คู่อันดับ

ส่วนข้อ 5 ผมคิดว่าจากการที่ $q|p-1$ เราให้ $p=qk+1$ แล้วแทนกลับไปเพื่อหาค่า k ที่เป็นไปได้จะทำได้เร็วกว่าวิธีของคุณ winlose นะครับ