ฟังก์ชันวงกลม???

[ลูกชิ้น]

ทุกคนคงทราบว่า สมการวงกลมไม่เป็นฟังก์ชัน

แต่ถ้าผมบอกว่า สมการข้างต้นไม่เป็นฟังก์ชันในระบบพิกัดฉาก (ใช้ตัวแสดงตำแหน่งคือ คู่อันดับ (x,y))

แต่มันสามารถเป็นฟังก์ชันได้ ในระบบเชิงขั้ว (ใช้ตัวแสดงตำแหน่งคือ ($\theta $,r))

โดย $x^2+y^2=1$ ในระบบพิกัดฉาก กับ $f(\theta)=1 ; 0\leqslant \theta < 2\pi $ ในระบบเชิงขั้ว
เป็นกราฟเดียวกัน โดยบทนิยามของฟังก์ชัน ถ้าเขียนกราฟในรูปเชิงขั้ว ผมคิดว่ามันเป็นฟังก์ชันนะ

พี่น้องคิดว่ายังไงครับ?? (ถ้ากรณีนี้ได้ วงกลมอื่นก็ได้ วงรีก็ได้)

แล้วก็คู่อันดับ ($\theta $,r) ในหนังสือที่เห็นมาเค้าเขียน (r,$\theta $) แต่ $\theta $ มันเป็นพรีอิมเมจไม่ใช่หรอ
มันน่าจะเป็นคู่อันดับ ($\theta $,r) นะ

พี่น้องคิดยังไงอีกที???

[t.B.]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ลูกชิ้น

โดย $x^2+y^2=1$ ในระบบพิกัดฉาก กับ $f(\theta)=1 ; 0\leqslant \theta < 2\pi $ ในระบบเชิงขั้ว
เป็นกราฟเดียวกัน โดยบทนิยามของฟังก์ชัน ถ้าเขียนกราฟในรูปเชิงขั้ว ผมคิดว่ามันเป็นฟังก์ชันนะ

เท่าที่เคยเรียนมานี่มีนิยามของฟังก์ชั่นเชิงโพล่าร์ด้วยหรอครับ

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ลูกชิ้น

แล้วก็คู่อันดับ ($\theta $,r) ในหนังสือที่เห็นมาเค้าเขียน (r,$\theta $) แต่ $\theta $ มันเป็นพรีอิมเมจไม่ใช่หรอ
มันน่าจะเป็นคู่อันดับ ($\theta $,r) นะ

อันนี้ผมว่ามันขึ้นอยู่กับการกำหนดให้เป็นสากลมากกว่า จะ ($\theta $,r) หรือ (r,$\theta $) ถ้าเข้าใจตรงกันว่าแต่ละตัวหมายถึงอะไรก็ไม่มีปัญหา เช่น ในพิกัดแกนฉากการบอกพิกัดบอกเป็น (ค่าในแกนx,ค่าในแกนy) แต่ถ้าคุณจะเขียนเองว่าเป็น (ค่าในแกนy,ค่าในแกนx) ก็ได้ แต่คนที่มาอ่านก็จะเข้าใจไม่ตรงกับคุณแค่นั้นเอง

[owlpenguin]

จริงๆแล้ว นิยามของฟังก์ชันก็เป็นแค่เซตของคู่อันดับซึ่งถ้าตัวหน้าเหมือนกันแล้ว ตัวหลังจะเหมือนกันด้วย

อันนี้ก็ไม่ทราบเหมือนกัน แต่ถ้าจะเดา ก็จะเดาว่าเพื่อเป็นการกันความสับสนที่ว่าเมื่อ plot ใน cartesian coordinate จะไม่เป็นฟังก์ชัน แต่เมื่อ plot ใน polar coordinate จะเป็นฟังก์ชัน จึงเขียนคู่อันดับเป็น $(r,\theta)$ ก็เป็นได้

[คุณชายน้อย]

ก่อนอื่นต้องดูนิยามของการกำหนด co-ordinate ในระบบที่เราคำนวณก่อนนะครับว่าเค้ากำหนดระบบ co-ordinate อย่างไร

ในสองมิติ ระบบพิกัดที่ใช้กันมี 2 แบบ คือ

1. ระบบพิกัดฉาก --> รู้จักกันอยู่แล้ว ไม่ต้องอธิบายมาก P(x,y) ในพิกัดนี้ x คือระยะทางของจุด origin ไปยังจุด projection ของ P บนแกน X จะเป็นบวกเมื่อจุด projection นั้นอยู่บนแกน X ที่เป็นบวก เป็นลบเมื่ออยู่บนแกน X ที่เป็นลบ และ y คือระยะทางของจุด origin ไปยังจุด projection ของ P บนแกน Y จะเป็นบวกเมื่อจุด projection นั้นอยู่บนแกน Y ที่เป็นบวก เป็นลบเมื่ออยู่บนแกน Y ที่เป็นลบ (คำว่า projection นั้นเป็นการ project ในทิศทางของแสงผ่านจุดนั้นไปตั้งฉากกับแกนที่พิจารณา)

2. ระบบพิกัดเชิงขั้ว จุด P(x,y) ที่อยู่ในระบบพิกัดฉากในข้อ 1. มีพิกัดที่กำหนดได้ด้วยพิกัดเชิงขั้วคือ $P(r,\theta )$ โดยที่ $r = \left|\,\right. OP \left.\,\right|$ เมื่อ O เป็น Origin (ซึ่งเรียกว่าจุดขั้ว) (ดังรูป) และ $\theta $ เป็นมุมที่วัดจากแกน X (ซึ่งเรียกว่าแกนเชิงขั้ว) ไปยังเส้น OP (ทวนเข็มนาฬิกาเป็นบวก ตามเข็มนาฬิกาเป็นลบ)

เพราะฉะนั้น เมื่อเห็นนิยามแล้ว การนำความรู้ในพิกัดฉาก (การตรวจสอบการเป็นฟังก์ชัน หรือความรู้ใน order pair) ไปใช้ในระบบพิกัดนี้จะใช้ไม่ได้ เพราะอยู่คนละพิกัดกัน ต้องแปลงเป็นพิกัดเดียวกันก่อนจึงจะใช้ได้...

ในสามมติ ระบบพิกัดที่ใช้กันมี 3 แบบคือ

ก. ระบบพิกัดฉาก --> รู้จักกันอยู่แล้ว ไม่ต้องอธิบายมาก P(x,y,z) ในพิกัดนี้ x คือระยะทางของจุด origin ไปยังจุด projection ของ P บนแกน X จะเป็นบวกเมื่อจุด projection นั้นอยู่บนแกน X ที่เป็นบวก เป็นลบเมื่ออยู่บนแกน X ที่เป็นลบ และ y คือระยะทางของจุด origin ไปยังจุด projection ของ P บนแกน Y จะเป็นบวกเมื่อจุด projection นั้นอยู่บนแกน Y ที่เป็นบวก เป็นลบเมื่ออยู่บนแกน Y ที่เป็นลบ และ z คือระยะทางของจุด origin ไปยังจุด projection ของ P บนแกน Z จะเป็นบวกเมื่อจุด projection นั้นอยู่บนแกน Z ที่เป็นบวก เป็นลบเมื่ออยู่บนแกน Z ที่เป็นลบ (คำว่า projection นั้นเป็นการ project ในทิศทางของแสงผ่านจุดนั้นไปตั้งฉากกับแกนที่พิจารณา)

ข. ระบบพิกัดทรงกระบอก จุด P(x,y,z) ที่อยู่ในระบบพิกัดฉากในข้อ ก. มีพิกัดที่กำหนดได้ด้วยพิกัดทรงกระบอกคือ
$P(r,\theta ,z)$ โดยที่ $r = \left|\,\right. OQ \left.\,\right|$ เมื่อ O เป็น Origin (ดังรูป) และ $\theta $ เป็นมุมที่วัดจากแกน X ไปยังเส้น OQ (ทวนเข็มนาฬิกาเป็นบวก ตามเข็มนาฬิกาเป็นลบ) และ z คือระยะทางของจุด origin ไปยังจุด projection ของ P บนแกน Z จะเป็นบวกเมื่อจุด projection นั้นอยู่บนแกน Z ที่เป็นบวก เป็นลบเมื่ออยู่บนแกน Z ที่เป็นลบ (คำว่า projection นั้นเป็นการ project ในทิศทางของแสงผ่านจุดนั้นไปตั้งฉากกับแกนที่พิจารณา)

ค. ระบบพิกัดทรงกลม จุด P(x,y,z) ที่อยู่ในระบบพิกัดฉากในข้อ ก. มีพิกัดที่กำหนดได้ด้วยพิกัดทรงกลมคือ $P(\rho ,\theta ,\phi )$ โดยที่ $\rho = \left|\,\right. OP \left.\,\right|$ เมื่อ O เป็น Origin (ดังรูป) และ $\theta $ เป็นมุมที่วัดจากแกน X ไปยังเส้น OQ (ทวนเข็มนาฬิกาเป็นบวก ตามเข็มนาฬิกาเป็นลบ) และ $\phi$ เป็นมุมที่วัดจากแกน Z ที่เป็นบวก ไปยังเส้น OP (มีค่าระหว่าง 0 ถึง $\pi$)

[nooonuii]

วงกลมสามารถมองให้เป็น image ของฟังก์ชันได้ครับ

วงกลมรัศมี $r$ จะเขียนแทนได้ด้วย image ของฟังก์ชัน

$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^2$ นิยามโดย

$f(t)=(r\cos{t},r\sin{t})$

หรือ ถ้ามอง $\mathbb{R}^2$ ให้เป็น $\mathbb{C}$

จะได้ฟังก์ชันคือ $f(t)=re^{it}$

วิธีการนี้เรียกว่า parametrization ของเส้นโค้งครับ

[คุณชายน้อย]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

วิธีการนี้เรียกว่า parametrization ของเส้นโค้งครับ

ขอเสริมนะครับ parametrization เป็นการเขียนแบบสมการแบบอิงตัวแปรเสริม หรือสมการพาราเมตริก (paramatric representation equation) ของตัวแปรเสริม หรือพารามิเตอร์(parameter) t และทุก ๆ ฟังก์ชันสามารถเขียนเป็นสมการพารามิเตอร์ได้เสมอ และอาจเขียนได้มากกว่า 1 แบบ หรือ 1 ฟังก์ชันอาจเกิดจากสมการพารามิเตอร์หลาย ๆ สมการ และอาจเขียนความสัมพันธ์ให้มีตัวแปรเสิรม t หลายตัวก็ได้

[ลูกชิ้น]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ t.B.

อันนี้ผมว่ามันขึ้นอยู่กับการกำหนดให้เป็นสากลมากกว่า จะ ($\theta $,r) หรือ (r,$\theta $) ถ้าเข้าใจตรงกันว่าแต่ละตัวหมายถึงอะไรก็ไม่มีปัญหา เช่น ในพิกัดแกนฉากการบอกพิกัดบอกเป็น (ค่าในแกนx,ค่าในแกนy) แต่ถ้าคุณจะเขียนเองว่าเป็น (ค่าในแกนy,ค่าในแกนx) ก็ได้ แต่คนที่มาอ่านก็จะเข้าใจไม่ตรงกับคุณแค่นั้นเอง

กำหนดได้ตามใจชอบหรอครับ ไม่ใช่กำหนดตาม pre image กับ image หรอครับ

อย่างที่ผมเขียนไว้ $f(\theta )=r กับ f(r)=\theta $ จากฟังก์ชันแรกน่าจะเป็น ($\theta $,r) แต่ ถ้าฟังก์ชันที่สองก็เป็น (r,$\theta $) แต่ผมเห็นในหนังสือเขียนในรูปแบบของฟังก์ชันแรกน่ะครับ เลยสงสัย

[คุณชายน้อย]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ลูกชิ้น

กำหนดได้ตามใจชอบหรอครับ ไม่ใช่กำหนดตาม pre image กับ image หรอครับ อย่างที่ผมเขียนไว้ $f(\theta )=r กับ f(r)=\theta $ จากฟังก์ชันแรกน่าจะเป็น ($\theta $,r) แต่ ถ้าฟังก์ชันที่สองก็เป็น (r,$\theta $) แต่ผมเห็นในหนังสือเขียนในรูปแบบของฟังก์ชันแรกน่ะครับ เลยสงสัย

ขออภัยที่ไม่ได้อ่านรายละเอียดนี้ เลยไม่ได้ตอบ เราไม่สามารถกำหนดได้ตามใจชอบ ถึงจะเป็น Free Co-ordinate ก็ตาม เอาล่ะจะอธิบายในเชิงลึกนะ

การกำหนดนิยามอะไรก็ตาม Domain ที่กำหนดเพื่อให้เป็นโครงสร้างที่ดี ต้องสร้างจากสิ่งที่มีความหนาแน่น(dense) ทางคณิตศาสตร์ เราเรียกว่า เซ็ตนั้นต้องเป็นเซ็ตหนาแน่น(dense set) เสียก่อน และเป็นเซตที่ไม่มีขอบเขต(unbound set) เพื่อให้เกิด well define หรือพูดง่าย ๆ f:A->B จะเป็นฟังก์ชันได้ก็ต่อเมื่อ $D_f=A$ (หมายเหตุ เราไม่พูดถึง Restrict Function นะจำพวก $D_f=A\left.\,\right|_C$) ณ ที่นี้ เราจะอธิบายเฉพาะการกำหนด Co-Ordinate ของรูปแบบเชิงขั้ว(Polar Form) พิจารณารูปเส้นโค้งกลีบกุหลาบ (Rose Curve)


การกำหนด Domain ในการ Mappping จะกำหนดจากสิ่งที่เป็น Dense Set และ Unbound Set ซึ่งเราพบว่าความยาวของเส้นโค้ง r ของกลีบกุหลาบสัมพันธ์กับมุม $\theta $ เราจึงต้องกำหนดให้ $\theta $ เป็น Domain ซึ่งอยู่ใน Component ที่ 1 หรือ $f(\theta )=r$ ไม่ใช่กำหนด Domain เป็น r เพราะว่า r เป็นเซตที่มีขอบเขต(Bound Set) ไม่ใช่ Unbound Set ($-a\leqslant r\leqslant a$ เมื่อ a เป็นความยาวของกลีบกุหลาบ) ถึง r จะเป็น Dense Set ก็ตาม (บางฟังก์ชันในเชิงขั้ว อาจจะมี r ที่ไม่เป็น Dense Set หรือไม่สอดคล้องทั้งคู่ด้วย) แต่มุม $\theta $ มีความเป็น Dense และ Unbound Set $(-\infty <\theta <\infty )$ จึงเป็น well-define ในการกำหนดให้เป็น Domain ของการนิยาม Co-ordinate ของ Polar Form

แต่พอเราขยายงานไปเรื่อย ๆ กับไปสร้างฟังก์ชันผกผันซึ่งก็คือ
$${f}^{-1}(\theta,r) = \left\{\,\right. (r,\theta )| f(\theta )=r , \exists \theta \in D_f\left.\,\right\} $$
ทำให้เราเข้าใจผิดว่า Domain เปลี่ยนไปเป็น r แล้ว (แท้จริงเป็น Domain ของ ${f}^{-1}$ ต่างหาก) ไม่ได้เป็น Domain ของฟังก์ชัน f ที่สร้างมาตั้งแต่แรกเลย ....

คิดว่าคงจะพอเข้าใจในเบื้องต้นแล้วนะครับ พยายามเขียนให้อ่านง่าย ๆ แล้ว ยังไงลองอ่านทวนไป ทวนมา แล้วจับประเด็นดูนะครับ .... สวัสดี

[ลูกชิ้น]

อันที่เขียนมาน่ะเข้าใจแล้วครับ ขอบคุณมากครับ
แต่ว่าที่อยากรู้น่ะ ฟังก์ชัน f($\theta$) = r ทำไมชาวบ้านชาวเมือง เค้าไม่เขียน ($\theta$,r) แต่เค้าเขียนกัน (r,$\theta$)

[คุณชายน้อย]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ลูกชิ้น

ฟังก์ชัน f($\theta$) = r ทำไมชาวบ้านชาวเมือง เค้าไม่เขียน ($\theta$,r) แต่เค้าเขียนกัน (r,$\theta$)

คงจะเป็นเรื่องของความรู้สึก (ของคนที่นิยาม) อาจจะเริ่มทุกอย่างจากเส้นสมมติในเรื่องราวนั้น ๆ ในที่นี้พิกัดเชิงขั้วเส้นสมมติคือ OP (ณ ที่นี้ได้ระยะทางคือ r) ก็เป็นได้ จึงให้เป็นพิกัดแรกก่อน ส่วนเส้นสมมติในพิกัดฉาก 2 มิติ ก็คือการ Projection จากบนลงล่าง (ตามความรู้สึกก่อน) จึงเกิดจุดบนแกน X ก่อน จึงเขียนเป็นพิกัดแรก ....

เรื่องนี้ คงต้องรับไปเต็ม ๆ เพราะเราเป็นผู้ใช้ ไม่ใช้ผู้สร้าง ยังไงก็ต้องตรวจสอบนิยามต่าง ๆ ที่กำหนดเสมอครับ....