โจทย์ขอรับ

[SiR ZigZag NeaRton]

1.กำหนด$ \frac{a}{b}+\frac{b}{a}=3$
$\frac{b}{c}+\frac{c}{b}=4$
จงหาค่าที่เป็นไปได้ของ $\frac{a}{c}+\frac{c}{a}$
2.จงหาเศษของการหารที่เกิดจาก $6ยกกำลัง(2004)+8ยกกำลัง(2004)$ ด้วย $7^2$
3.ค่าสัมบูรณ์ของผลต่างทุกคำตอบของ
$3ยกกำลัง(1+\sqrt{x^2+x-2})+9(3ยกกำลัง(-\sqrt{x^2+x-2}))=28$ มีค่าเท่าไร

[SiR ZigZag NeaRton]

ต่อเลย
1.$\frac{xy}{x+y}=a$
$\frac{xz}{x+z}=b$
$\frac{yz}{y+z} =c$
จงหา $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$
2. $x^2+y^2=113$
$xy-x-y=41$
จงหา$(x,y)$ ที่เป็นไปได้ทั้งหมด
3.มีกี่วิธีที่จะจัด นร.ที่มาจาก 3 ประเทศ ไทย,ลาว,เวียดนาม โดยมีประเทศละ 2 คน นั่งโต๊ะกลม ที่มี 5 ที่นั่งแตกต่างกัน โดยที่นร.ประเทศเดียวกันนั่งติดกันไม่ได้

[LightLucifer]

ข้อ 2 ได้ 2 หรือป่าวครับ
ข้อสามอ่ะ โจทย์เป็นแบบนี้หรีอป่าวครับ
$3^{1+\sqrt{x^2+x-2}} + 9^{3^{-\sqrt{x^2+x-2}}}=28$ หรือป่าวครับ
ถ้าใช่ ตอบ 1 ป่าวอ่ะครับ

[Scylla_Shadow]

ข้อ2. ครับ

พิจารณา $6^{2004}+8^{2004}$ ว่ามันเท่ากับ $(7-1)^{2004}+(7+1)^{2004}$

กระจายครับ $(7^{2004}-....-2004(7)1^{2003}+1^{2004})+(7^{2004}+...+2004(7)1^{2003}+1)$

จะพบว่าทุกพจน์ ยกเว้น 2004(7)-2004(7)+1+1 ไม่มี $7^2$ เป็นตัวประกอบ

ดังนั้นเศษที่เหลือจากการหารคือ 2

ข้อ 1. ด้านล่าง พลิกเศษส่วนจะได้

$\frac{1}{x}+\frac{1}{y} \ = \ \frac{1}{a}$

$\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \ = \ \frac{1}{b}$

$\frac{1}{z}+\frac{1}{x} \ = \ \frac{1}{c}$ นำทุกสมการมาบวกกันได้

$2(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}) \ = \ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \ = \ \frac{1}{2a}+\frac{1}{2b}+\frac{1}{2c}$

[warutT]

ข้อ 1 อันที่ 2 ครับ
จาก $\frac{xy}{x+y}=a$
$\frac{1}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}}=a$
$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{a} ...(1)$
ในทำนองเดียวกัน
$\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{b} ...(2)$
$\frac{1}{z}+\frac{1}{x}=\frac{1}{c} ...(3)$
$(1)+(2)+(3);2(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$
$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{2a}+\frac{1}{2b}+\frac{1}{2c}$
ครับผม
ปล. ช้าไปนิด พิมพ์ไม่ทัน

[SiR ZigZag NeaRton]

คุณScylla_Shadowเก่งโคตรครับ ขอโทดนะคับไม่ทราบว่าม.ไรเหรอคับ (ส่วนคำตอบทั้ง2 ข้อถูกต้องครับ)

[Scylla_Shadow]

ไม่ขนาดนั้นหรอกครับ ผมอยู่ม.2อ่ะครับ

ต่อๆๆ

ข้อ2.ด้านล่างนะครับ

จาก xy-x-y = 41 ; xy-x-x+1 = 42

จะได้ (x-1)(y-1) = 42

ขอบเขตค่า x และ y ของเราจะหยุดอยู่ที่

x = 43 , 22 , 15 , 8 , 7 , 4 , 3 , 2

y = 2 , 3 , 4 , 7 , 8 , 15 , 22 , 43

พิจารณาค่า $x^2+y^2 \ = \ 113$ ด้วย

จะพบว่ามีค่า x และ y สองค่าที่สอดคล้องคือ

x=8 เมื่อ y=7 และ x=7 เมื่อ y=8

[SiR ZigZag NeaRton]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ LightLucifer

ข้อ 2 ได้ 2 หรือป่าวครับ
ข้อสามอ่ะ โจทย์เป็นแบบนี้หรีอป่าวครับ
$3^{1+\sqrt{x^2+x-2}} + 9^{3^{-\sqrt{x^2+x-2}}}=28$ หรือป่าวครับ
ถ้าใช่ ตอบ 1 ป่าวอ่ะครับ

โจทย์ไม่ใช่แบบนั้นครับ(แก้ให้แล้วด้านบน)
ป.ล. ผมก็อยู่ม.2 ยังไม่เก่งเท่าคุณScylla_Shadowเลย

[LightLucifer]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ SiR ZigZag NeaRton

โจทย์ไม่ใช่แบบนั้นครับ(แก้ให้แล้วด้านบน)
ป.ป. ผมก็อยู่ม.2 ยังไม่เก่งเท่าคุณScylla_Shadowเลย

อ่อขอโทษทีครับผมเข้าใจผิดไปเองเหอะๆ แต่ ตอบ 1 ใช่ ป่าว ครับ

วิธีทำผมคือ
แทน $a=\sqrt{x^2+x-2}$
จะได้ $3^{1+a}+9(3^{-a})=28=1+27=3^0+(9\times 3)$
$3^{1+a}+9(3^{-a})=3^0+(9\times 3)$
ได้ $a=-1$
แทน $a=\sqrt{x^2+x-2}$
$-1=\sqrt{x^2+x-2}$
$1=x^2+x-2$
$0=x^2+x-3$
จะได้ค่าสัมบูรณ์ของคำตอบคือ $\left|\,\right. \frac{-b}{a}\left.\,\right| = 1 $
ข้อ 2 อีกอันนี้ ได้ (8,7) กับ (7,8) มั้งครับ
ส่วน ข้อ 3 อีกอัน ผมได้ 32 อ่ะครับ

[SiR ZigZag NeaRton]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ LightLucifer

ครับ ผมหมายถึงแบบนั้นหล่ะครับ แต่ Latex มันพิมพ์ให้แปลกๆอ่ะครับ แต่ ตอบ 1 ใช่ ป่าว ครับ

ข้อ 2 อีกอันนี้ ได้ (8,7) กับ (7,8) มั้งครับ
ส่วน ข้อ 3 อีกอัน ผมได้ 32 อ่ะครับ

ข้อ1,2 ผมก็คิดได้แบบนั้นแหละ
แต่ข้อ3 ที่คุณได้ 32 ก็คือที่นั่งโต๊ะกลมใช่มั้ยครับ
(ผมคิดไม่ออกอ่ะ)

[LightLucifer]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ SiR ZigZag NeaRton

ข้อ1,2 ผมก็คิดได้แบบนั้นแหละ
แต่ข้อ3 ที่คุณได้ 32 ก็คือที่นั่งโต๊ะกลมใช่มั้ยครับ
(ผมคิดไม่ออกอ่ะ)

เง้อๆๆ โต๊ะกลม เอาใหม่นะครับลืมๆของเก่า อันนั้นมั่วมาก
ถ้าเลือก แบบ โต๊ะตรง
จะได้ 3x2x2x2x2=48
คือตอนแรกเลือกได้ 3 อ่ะ แล้ว ก็ ต่อไปก็เลือกได้แค่ 2 ไปเรื่อยๆอ่ะครับ เพราะจะเลือกอันเก่าไม่ได้อ่ะนะ
แต่ สมมติให้ A เป็น ไทย B ลาว c เวียดนาม
พิจรณาแค่ไทย ที่นั่งโต๊ะกลมไม่ได้เป็น อันสุดท้ายไม่เหมือนอันแรกจะได้
ABCBA
ABABA
ABACA
ACABA
ACACA
ACBCA
ซึ่งบางอันมี A 3 อัน แต่ก็ไม่เกี่ยวกับการพิจรณาต่อ ซึ่งถ้ารวม A B C จะมีที่ไม่เข้าพวก 18 ตัว เอาไปลบออกจากตอนแรกจะได้ 48-18=30 คิดว่านะจะถูกนะครับ แต่ก็ไม่แน่ใจอ่ะ

[POSN_Psychoror]

เฉลย โดย POSN Psychoror

ตอนที่ 1
ข้อ 1 )
ข้อ 2 )
จาก $\phi(49)=42$
ใช้ออยเลอร์
$6^{42}\equiv 1(mod49)$
$6^{2004}\equiv 36(mod49)$

ทำนองเดียวกัน
$8^{2004}\equiv 15(mod49)$
ฉะนั้น
$6^{2004}+8^{2004}\equiv 2(mod49)$

ข้อ 3)
ให้ $y=3^{\sqrt{x^2+x-2}}$
ได้ว่า $3y+\frac{9}{y}=28$
$3y^2-28y+9=0$
$y=\frac{1}{3},9$
$3^{\sqrt{x^2+x-2}}=3^{-1},3^2$
แต่รูทต้องเป็นค่าบวก ดังนั้น $y\not= -1$
ดังนั้นได้ว่า $x^2+x-2=4$
$x=-3,2$
ค่าสมบูรณ์ของผลต่างคือ 1

ตอนที่ 2
ข้อ 1)
ข้อ 2)
จากสมการที่ 2 ได้ว่า
$xy=41+x+y$
$2xy=81+2(x+y))$
บวกกับสมการที่ 1
$x^2+y^2+2xy=195+2(x+y)$
$(x+y)^2-2(x+y)-195=0$
กรณี $x+y=-13$
$(x,y)=(\frac{-13\pm \sqrt{57}}{2},\frac{-13\mp \sqrt{57}}{2})$
กรณี $x+y=15$
$(x,y)=(7,8),(8,7)$

ข่อที่ 3)จาก 6 คนเลือกมา 5 คนได้ 6 วิธี
นั่งรอบโต๊ะกลมอิสระได้ 120 วิธี
นั่งรอบโต๊ะกลมโดยที่นักเรียนแต่ละประเทศต้องนั่งติดกันคือ 24 วิธี
ดังนั้น นักเรียนนั่งไม่ติดกันคือ 96 วิธี
จากตอนแรก งานยังไม่เสร็จ
เพราะฉะนั้น วิธรทั้งหมดคือ $96\times 6=576$ วิธี
(ขออภัยด้วยครับ เขาบอกว่าเก้าอี้แตกต่างกัน -*- )

[Jew]

1 ตอนหนึ่งนะคับ
a-b=รูท 2 ab

[Puriwatt]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ SiR ZigZag NeaRton

1.กำหนด$ \frac{a}{b}+\frac{b}{a}=3$
$\frac{b}{c}+\frac{c}{b}=4$
จงหาค่าที่เป็นไปได้ของ $\frac{a}{c}+\frac{c}{a}$

เหลือแต่ข้อ 1. ให้ทำเพียงข้อเดียวเองครับ

จาก $ \frac{a}{b}+\frac{b}{a}=3$ จะได้ว่า $ \frac{a}{b}-\frac{b}{a}= \pm \sqrt{5} $ หรือ $ \frac{a}{b} = \frac {3 \pm \sqrt{5}}{2} $

จาก $\frac{b}{c}+\frac{c}{b} = 4$ จะได้ว่า $ \frac{b}{c}-\frac{c}{b} = \pm \sqrt{12} $ หรือ $ \frac{b}{c} = \frac {4 \pm \sqrt{12}}{2} $

เนื่องจาก $ \frac{a}{c} = \frac{a}{b} \times \frac{b}{c} = \frac{(3 \pm \sqrt{5})}{2}\cdot \frac{(4 \pm \sqrt{12})}{2}$ แสดงว่าค่าที่เป็นไปได้ของ $\frac{a}{c}+\frac{c}{a}$ มีอยู่ 4 กรณีครับ

ผมลองแทนค่า(ใหม่)แล้ว ก็ยังได้ 2 คำตอบเป็น $\ \frac{a}{c}+\frac{c}{a} = 6 \pm \sqrt{15}$ เหมือนเดิมครับ

[SiR ZigZag NeaRton]

ขอบคุณมามกมายครับคุณ Puriwatt ตอนนี้ผมเข้าใจแล้ว