หาลู่เข้า ลู่ออก

[ครูนะ]

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n}{n+2552}^n ลู่ออก หรือลู่เข้า ถ้าลู่เข้าแล้ว ลู่เข้าสู่ค่าใด
(ป.โท จุฬา 2552)

(ผลรวม n = 1 ถึง อินฟินิตี้ ของ n ส่วน n + 2552 ทั้งหมดยกกำลัง n) อนุกรมนี้ลู่ออกหรือลู่เข้า ถ้าลู่เข้าลู่เข้าสู่ค่าใด
รบกวนผู้รู้ช่วยหน่อยครับ ต้องพิมพ์ภาษาเขียนมาเพราะพิมพ์เป็นสัญลักษณ์ไม่ได้ครับ

[Lekkoksung]

$$\sum_{n = 1}^{\infty} (\frac{n}{n+2552})^n$$

โจทย์เป็นอย่างนี้หรอครับ

ถ้าใช่ ถูกผิดยังไงก็ช่วยแก้ไขด้วยน่ะครับ

ให้ $a_{n}=(\frac{n}{n+2552})^{n}=(\frac{1}{1+\frac{2552}{n}})^{n}$
เนื่องจาก $\lim_{n \to \infty }a_{n}\not= 0$ แล้ว จะได้ว่า $\sum_{n = 1}^{\infty} (\frac{n}{n+2552})^n$ เป็นอนุกรมลู่ออกครับ

ถ้าผิดยังไงก็ช่วยแก้ไขด้วยครับ

[ครูนะ]

ไม่ผิดครับ โจทย์นี้ พิมพิ์ถูกแล้วครับ
ไม่น่าเชื่อว่าจะแก้โดยใช้ Divergent test ได้ เส้นผมบังภูเขาจริงๆ ครับ ขอบคุณมากครับ

[V.Rattanapon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ครูนะ

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n}{n+2552}^n ลู่ออก หรือลู่เข้า ถ้าลู่เข้าแล้ว ลู่เข้าสู่ค่าใด
(ป.โท จุฬา 2552)

(ผลรวม n = 1 ถึง อินฟินิตี้ ของ n ส่วน n + 2552 ทั้งหมดยกกำลัง n) อนุกรมนี้ลู่ออกหรือลู่เข้า ถ้าลู่เข้าลู่เข้าสู่ค่าใด
รบกวนผู้รู้ช่วยหน่อยครับ ต้องพิมพ์ภาษาเขียนมาเพราะพิมพ์เป็นสัญลักษณ์ไม่ได้ครับ

จะได้ \[
a_n = \left( {\frac{n}{{n + 2552}}} \right)^n = \left( {\frac{{\left( {n + 2552} \right) - 2552}}{{n + 2552}}} \right)^n = \left( {1 - \frac{{2552}}{{n + 2552}}} \right)^n
\]
และ \[
\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } a_n = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left( {1 - \frac{{2552}}{{n + 2552}}} \right)^n = \frac{1}{{e^{2552} }} \ne 0
\]
ดังนั้น \[
\sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( {\frac{n}{{n + 2552}}} \right)^n }
\]
ลู่ออก โดย Divergent Test