ช่วยด้วยครับบบบบบบบ

[littledragon]

find all integer solution of the equation
$(x^2-y^2)^2=1+16y$

[owlpenguin]

วิธีทำ

เห็นได้ชัดว่า หาก $x=y$ จะได้ว่า $0=(x^2-y^2)^2=16y+1$ ซึ่งไม่มีคำตอบในจำนวนเต็ม
ดังนั้น $x\not =y$

หาก $y=0$ จะได้ว่า $x^4=1$ นั่นคือ $x=\pm 1$ และหาก $y<0$ จะได้ว่า $(x^2-y^2)^2>0>16y+1$
ดังนั้นต่อไปจะพิจารณาเฉพาะเมื่อ $y>0$

เห็นได้ว่าหาก $(x,y)$ เป็นคำตอบหนึ่งของสมการดังกล่าว แล้ว $(-x,y)$ จะเป็นคำตอบด้วย
$\therefore$ จะพิจารณาเฉพาะเมื่อ $x\geq 0$

แยกเป็น $2$ กรณีดังนี้

i)$x>y$ จาก $(x^2-y^2)^2\geq((y+1)^2-y^2)^2=(2y+1)^2$
$\therefore 16y+1=(x^2-y^2)^2\geq (2y+1)^2$
$4y(y-3)\leq 0$
$\therefore y=1,2,3$ ($y\not =0$ เพราะเราพิจารณาเฉพาะเมื่อ $y>0$) เช็คแต่ละค่า พบว่าในกรณีนี้มี $(x,y)=(4,3)$ เท่านั้นที่เป็นคำตอบ

ii)$x<y$ จาก $(x^2-y^2)^2=(y^2-x^2)^2\geq(y^2-(y-1)^2)^2=(2y-1)^2$
$\therefore 16y+1=(x^2-y^2)^2\geq (2y-1)^2$
$4y(y-5)\leq 0$
$\therefore y=1,2,3,4,5$ ($y\not =0$ เพราะเราพิจารณาเฉพาะเมื่อ $y>0$) เช็คแต่ละค่า พบว่าในกรณีนี้มี $(x,y)=(4,5)$ เท่านั้นที่เป็นคำตอบ

ดังนั้น สรุปได้ว่าคำตอบทั้งหมดของสมการ $(x^2-y^2)^2=16y+1$ คือ $(x,y)=(1,0),(-1,0),(4,3),(-4,3),(4,5),(-4,5)$

[littledragon]

ขอบคุณครับ