n!=n^k มีอยู่กี่จำนวน

[Platootod]

เมื่อ k เป็นจำนวนจริงใดๆ
และ n เป็นจำนวนเต็ม
มีจำนวนอื่นที่นอกจากสองหรือปล่าวครับ
ที่$n!=n^k$

[Anonymous314]

สำหรับ $n>2$ พิจารณา่ $n$ เป็นจำนวนคู่ $n!=n^k$ โดย Bertrand Postulate สำหรับ $n>2$ จะได้ว่ามีจำนวนเฉพาะ $p$ ระหว่าง $\frac{n}{2}$ กับ $n$ เสมอ แต่ $p$ หาร $n$ ไม่ลง ดังนั้น $LHS$ หารด้วย $p$ ลง แต่ $RHS$ หารด้วย $p$ ไม่ลง ขัดแย้ง ถ้า $n$ เป็นจำนวนคี่ $(n-1)!=n^{k-1}$ ได้ในวิธีคล้าย ๆ กัน จบ
ดังนั้น $n=1,2$ เท่านั้นจะมีค่า $k$ ที่สอดคล้อง