เรื่องอินเวอร์สของฟังก์ชั่น

[rattachin calculated]

ช่วยหน่อยครับว่าอินเวอร์สของฟังก์ชัน $f(x) = x^3 + x$ หายังไงอ่ะครับสงสัยอยู่นานละครับ
ช่วยทีครับขอบคุณครับ

[nooonuii]

ยากครับ เพราะต้องแก้สมการกำลังสาม

ผมให้น้องเปิ้ลคำนวณออกมาเป็นแบบนี้ครับ

$$f^{-1}(x)=\dfrac{\sqrt[3]{108x+12\sqrt{12+81x^2}}}{6}-\dfrac{2}{\sqrt[3]{108x+12\sqrt{12+81x^2}}}$$

[rattachin calculated]

โหยาวจังขอบคุณครับ

[bell18]

ผมคิดว่าคุณ rattachin calculated คงเห็นมาจากโจทย์ข้อ3ของข้อสอบสมาคมคณิตศาสตร์ ม.ปลาย ปี2550 นะครับ
โจทย์มีอยู่ว่า ถ้า $f(x) = x^3+x$ และ $(gof^{-1})(x) = x^2$ แล้ว g(x) เท่ากับเท่าใด
ซึ่งข้อนี้ อย่าเข้าใจผิดว่าต้องหา $f^{-1}(x)$ นะครับ
วิธีคิดต้องแทนค่า x ด้วย f(x) ในสมการ $(gof^{-1})(x) = x^2$
แล้วจะได้ว่า $g(x)=(x^3+x)^2$

[rattachin calculated]

อ๋อใจครับถูกเลยครับคุณ bell18
ว่าแต่ทำไมถึงแทน f(x) ใน g(x) ได้เลยอ่ะครับ?

[Bonegun]

น่าจะเป็นเพราะ

$ g(f^-1 (x))=x^2$
แทน $x= f(x)$
$g(f^-1 (f(x)))=(x^3+x)^2$
$g(x)=(x^3+x)^2$ เนื่องจาก $f^-1๐f(x)=x$