ช่วยคิดโจทย์ 7 ข้อนี้ด้วยครับ

[brother]

ข้อ1 จงหาค่าของ tan15 +tan 22.5 +cot 15 -cot22.5 (หน่วยเป็นองศา)
ข้อ2 ในการจัดเลิ้ยงได้เตรียมค่าอาหารไว้ 9000 บาท โดยคาดว่าจพมาครบ แต่พอถึงงานจริงขาดไป 5 คน เมื่อเฉลี่ยกันออกค่าอาหารต้องออกเพิ่มคนละ 150 บาท จงหาผู้มางานกี่คน
ข้อ3 ข้อมูลมี 5 จำนวน มีค่าเฉลี่ย มัธยฐาน ฐานนิยม และ พิสัยเป็น 18 เท่ากัน ข้อมูลชุดนี้เป็นไปได้ทั้งหมดกี่แบบครับ
ข้อ 4 กำหนด A เป็นmatrix 3 x 3 และ A มีคุณสมบติ a11=-2 a12 = 1 a13= -1
a21=-4 a22=2 a23=-1 a31=1 a32 = -1 a33=0 จงหาค่าของ A+(A^2)+(A^3)+....+(A^2548)
ข้อ 5 กำหนด A เป็นmatrix 3 x 3 และ A มีคุณสมบติ a11=2 a12 = 1 a13= 1
a21=1 a22=1 a23=1 a31=1 a32 = 1 a33=2 และ A^(-1)=a(A^2)+bA+cI จงหาค่าของ (a^2)+(b^2)+(c^2)
ข้อ 6 กำหนด A เป็นmatrix เอกฐาน 2 x 2 และ A มีคุณสมบติ a11=8+4sinx
a12 = 2+sinx a21=sqrt7 a22=cosx โดย 0<x<90องศา จงหาค่าของ
4(cosx-sin(x/2))
ข้อ 7 g(x)=(x-5)/(x-3) จงหา gogogogogogo.....g(2008) (คอมโฟสิตมี g 2008 ตัว)
ขอบคุณทุกคำตอบครับ

[passer-by]

ขอทำข้อ (4) กับข้อ (7)ก่อนแล้วกัน เพราะแนวทางเดียวกัน
สำหรับ ข้อ (4) ตอนแรกก็ต้องเสี่ยงก่อนน่ะครับ จะได้ A³ = - I ดังนั้น เมื่อบวกทีละ 6 เมตริกซ์ ที่ติดกัน ก็จะได้ 0 เพราะ A หักล้างกับ A⁴ , A² หักล้างกับ A⁵ และ A³ หักล้างกับ A⁶ แสดงว่า ที่ต้องบวกจริงๆ จะเหลือแค่
A²⁵⁴⁵+...+A²⁵⁴⁸ = A+A²+A³+ A⁴ = A²+A³
(ซึ่งน่าจะเป็นรูปแบบที่ simplify สุดแล้ว) ที่เหลือก็ลองบวกกันเอาเองนะครับ
ส่วนข้อ (7) ก็เสี่ยงจนเจอว่า g⁴(x)=x แสดงว่าทุกๆ composite ที่ 4 ก็จะได้ผลเช่นนี้ ดังนั้น g²⁰⁰⁸ (x)=x คำตอบข้อนี้คือ 2008 ครับ

[nongtum]

เอาเท่าที่คิดออก ขอเป็นแนวคิดคร่าวๆก่อนละกัน แล้วจะมาจิ้มเพิ่มทีหลัง
1. ข้อนี้ใช้เอกลักษณ์ของ tan 2A กะ sin 2B ให้เป็นประโยชน์:
\[\tan{2A}=\frac{2\tan{A}}{1-\tan^2{A}}\]
\[\sin{2B}=2\sin{B}\cos{B}\]
คำตอบคือ 2
2. สมการสำหรับข้อนี้คือ
\[\frac{9000}{x-5}-\frac{9000}{x}=150\]
คำตอบคือ 20
3. ข้อนี้หากจำกัดว่าข้อมูลทุกตัวเป็นจำนวนเต็มบวก และ mode มีเพียงค่าเดียว จะมีเลขอยู่ห้าชุดดังนี้
(9,18,18,18,27),(10,16,18,18,28),(11,14,18,18,29),(8,18,18,20,26),(7,18,18,22,25)
6. The singular matrix
\[A=\bmatrix{8+4\sin{x} & 2+\sin{x}\\ \sqrt{7}& \cos{x}}\]
has the same determinant value as (after a transpose and row operation)
\[A^*=\bmatrix{2+\sin{x} & \frac{\sqrt{7}}{4}\\ 0& \cos{x}-\frac{\sqrt{7}}{4}}\].
The solution is (after some easy calculations)
\[\frac{1}{4}(3\sqrt{7}-1)\].

[Tony]

ขอทำข้อสองแล้วกัน (ไม่รู้จะถูกมั้ย )

ให้ x คือ จำนวนผู้ที่เข้ามาในงาน
จะได้
\[ \frac{9000}{x}+150 = \frac{9000}{x-5} \]
\[ \frac{60}{x}+1 = \frac{60}{x-5} \]
\[ x²-5x-300 = 0 \]
\[ (x-20)(x+15) = 0 \]
\จำนวนผู้ที่เข้ามาในงานคือ 20 คน

[Tony]

แงๆ มีคนคิดไปแล้ว

[bell18]

ข้อที่1. ควรใช้เอกลักษณ์ตรีโกณมิติ tan A + cot A = 2cosec 2A
จะได้ tan15ฐ+cot15ฐ = 2cosec 30ฐ
tan22.5ฐ+cot22.5ฐ = 2cosec45ฐ
ข้อนี้เป็นข้อสอบสมาคมคณิตศาสตร์ในอดีต (รู้สึกจะประมาณปี2529-30)