สรุปคำศัพท์การพิสูจน์

[Nay]

ลองอ่านดูครับครัยน่าจะมีประโยชน์บ้าง

1. ทฤษฎี ( theorem )
หมายถึง แนวคิด (ข้อเสนอ) ทางคณิตศาสตร์ที่สามารุถพิสูจน์ได้ว่าเป็นจริง เช่น ถ้าเราเสนอว่า "ถ้า p คือจำนวนเฉพาะและ p | ab,แล้ว p | a หรือ p | b" แล้วเราสามารถพิสูจน์ได้ว่าเป็นจริง นิพจน์ดังกล่าวก็จะกลายเป็นทฤษฎี ครับ

2. การคาดเดา ( conjecture )
หมายถึง แนวคิด (ข้อเสนอ) ทางคณิตศาสตร์ที่ไม่รู้ว่าจริงหรือเท็จ ( truth value is unknown ) เช่น ถ้าเราเสนอว่า "ถ้า p คือจำนวนเฉพาะและ p | ab,แล้ว p | a หรือ p | b" แล้วเรายังไม่ได้ทำการพิสูจน์ได้ว่าเป็นจริงหรือเท็จ นิพจน์ดังกล่าวก็จะถือว่าเป็นการคาดเดาครับ

3. พิสูจน์ ( proof )
คือการอธิบายว่า ทฤษฎีนั้นจริง ได้อย่างไร เช่น เช่น ถ้าเราเสนอว่า "ถ้า p คือจำนวนเฉพาะและ p | ab,แล้ว p | a หรือ p | b" ทำการพิสูจน์ได้ดังนี้

พิสูจน์
ถ้าสมมติให้ a ไม่สามารถหารด้วย p ,เพราะตัวหาร (divisor) ที่เป็นบวกของ p มีเฉพาะ 1 และ p เท่านั้น , ซึ่งบอกได้ว่า ห.ร.ม. ของ p และ a คือ 1 ( gcd(p,a) = 1 ) ดังนั้น โดยอ้างอิงจาก ข้อเสนอแทรกของ ยูคลิด ( Euclid's lemma ) จะได้ p | b

4. ข้อเสนอแทรก ( lemma )
หมายถิง ทฤษฎีอย่างง่ายที่พิสูจน์ โดยใช้ทฤษฎีอื่นๆ เช่น จาก

ทฤษฎี 1 "ให้ a และ b เป็นจำนวนเต็ม และไมเป็น 0 สามารถบอกได้ว่าเป็น relatively prime เมื่อ gcd(a,b) = 1"

Euclid's lemma : ถ้า a | bc, ด้วย gcd(a,b) = 1, แล้ว a | c

proof
เราเริ่มจากทฤษฎี 1 เขียนในรูปของ linear combination ได้ 1 = ax + by เมื่อ x และ y เป็นจำนวนเต็ม คูณสมการด้วย c จะได้

c = 1c = (ax + by)c = acx + bcy

เพราะว่า a | ac และ a | bc, ซึ่งเป็นไปตาม a | (acx + bcy) ซึ่งจัดรูปใหม่ได้คือ a | c

5. ผลที่ตามมา ( corollary )
หมายถึง สิ่งที่ได้มาจากการพิสูจน์ทฤษฎีหนึงแล้วในระหว่างที่เราพิสูจน์ทฤษฎีนั้นเราได้อีกทฤษฎีหนึ่งมาทันที โดยปกติแล้ว corolary จะเขียนต่อจากทฤษฎี

เอาแค่นี้ก่อนก็แล้วกัน แล้วคราวหน้าผมจะเขียนเพิ่มให้ถ้ามีผู้สนใจนะครับ

[warut]

ข้อความเดิมของคุณ Nay:
4. ข้อเสนอแทรก ( lemma )
หมายถิง ทฤษฎีอย่างง่ายที่พิสูจน์ โดยใช้ทฤษฎีอื่นๆ

อันนี้ชัวร์รึเปล่าครับ มันแตกต่างจากความเข้าใจของผมโดยสิ้นเชิงเลยล่ะ

ข้อความเดิมของคุณ Nay:
ทฤษฎี 1 "ให้ a และ b เป็นจำนวนเต็ม และไมเป็น 0 สามารถบอกได้ว่าเป็น relatively prime เมื่อ gcd(a,b) = 1"

อันนี้มันเป็นนิยามไม่ใช่เหรอครับ

[passer-by]

lemma เท่าที่ผมรู้จัก จะพิสูจน์มาก่อน main theorem แล้วพอจะพิสูจน์ main theorem จริงๆ ก็จะนำ lemma นี้มาช่วยอ้าง ไม่ใช่เหรอครับ หรือผม เข้าใจผิด

[nooonuii]

ยังขาดอยู่สามอย่างที่สำคัญมากครับ

คำนิยาม(definition) คำอนิยาม(undefined term) และ สัจพจน์(axiom)

นอกจากนี้ก็ยังมี paradox
theorem บางทีก็เรียกว่า proposition ครับ

[Nay]

ตอบ คุณ warut
1. ความหมายของ lemma เป็นอย่างที่ คุณ passer-by บอกละครับ ขอโทษทีครับ
lemma : a simple theorem used to prove other theorem.

2. ส่วน ทฤษฎีที่ 1 เป็นทฤษฎีครับไม่ไช่นิยาม

ความหมาย (ต่อ)
6. นิยาม ( Definition )
คือการอธิบายหรือให้ความหมายต่างๆ ที่จะใช้เพื่อให้เข้าใจครงกันโดยอาศัย คำอธิบายที่เหมาะสมที่สุด เช่น สี่เหลี่ยมด้านขนานคือ สี่เหลี่ยมที่มีด้านตรงข้ามขนานกัน

7. อนิยาม (Indefinition)
คือสิ่งต่างๆ ที่เราไม่สามารถให้นิยามได้ เช่น เส้นตรง

8.สัจพจน์ (axiom)
คือข้อความที่ตกลงกันไว้เบื้องต้น ที่จะต้องยอมรับโดยไม่ต้องพิสูจน์ เช่น สามารถลากเส้นตรงผ่านจุดสองจุดได้เพียงเส้นเดียวเท่านั้น

9. นิพจน์ (proprosition) (แปลถูกหรือเปล่า)
หมายถึงข้อความที่สามารถบอกได้ว่า เป็นจริงหรือ เท็จ เท่านั้น จะไม่สามารถบอกว่าเป็นทั้งจริงและเท็จได้ในข้อความเดียวกัน เช่น โลกกลม (จริง), หมูต้อนแกะได้ (เท็จ เนื่องจากไม่ใช่ babe )

[nooonuii]

เท่าที่เรียนมาทฤษฎีที่ 1 นี่เป็นนิยามครับ เลยสงสัยว่า เราจะนิยามคำว่า relatively prime กันยังไงดี

[tana]

คำว่า Proprosition นี่ตรงกับคำว่า ประพจน์ ครับ
ส่วนคำว่า นิพจน์ นี่ รู้สึกจะตรงกับคำว่า Expression นะครับ
สัจพจน์นี่บางที ก็ใช้คำว่า Postulate ครับ ( เพิ่มให้อีกหน่อย )

ปล. เรื่องโลกกลม นี่จริงๆ มันก็ไม่ได้กลมจริงๆ อ่านะครับ บางส่วนก็ไม่กลมจนออกเป็นวงรีไปบ้างเหมือนกัน เลยไม่ค่อยแน่ใจว่ามันสามารถบอกได้รึป่าวว่าเป็นจริงหรือเท็จอ่ะครับ

[Nay]

ใช่แล้ว เป็นนิยามจริงๆ ด้วย ขอบคุณครับ

[notethetamper]

theorem กับ proposition แตกต่างกันยังไงเหรอครับ มีข้อสังเกตในการเลือกใช้หรือเปล่า?

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ notethetamper

theorem กับ proposition แตกต่างกันยังไงเหรอครับ มีข้อสังเกตในการเลือกใช้หรือเปล่า?

จนถึงบัดนี้ผมก็ยังแยกสองอย่างนี้ไม่ออกเลยครับ แต่้เท่าที่สังเกต Proposition จะมีความสำคัญน้อยกว่า Theorem ครับ
Proposition อาจจะเป็นความจริงเล็กๆที่ได้มาโดยตรงจากนิยามซึ่งเราอาจนำมาใช้ในโอกาสต่อไป
Theorem คือความจริงที่อาจจะได้มาจากกระบวนการพิสูจน์ที่ซับซ้อนขึ้น อาจมีการอ้างอิงถึงนิยาม ,lemma หรือ theorem ที่ได้รับการพิสูจน์ไว้แล้วก่อนหน้านี้

ป.ล. อย่าเชื่อผมมาก ผมก็มั่วเอาเหมือนกัน

[kongp]

แหมเซียนแม็ทยังแยกไม่ออกเลย ผมเข้าใจครับ เพราะเราไม่ใช่ชาวตะวันตกที่กำหนด นิยามต่างๆ ทางคณิตศาสตร์ และเอาเข้าจริงๆ การใช้งานก็มีที่เข้าใจต่างกันแยกตามสังคม และยิ่งส่วนมากจะเป็นนักอ่านกันเป็นส่วนใหญ่ เรียกได้ว่าเป็นผู้สนใจเท่านั้น แต่ผู้ที่มีโอกาศในการพัฒนาจริงๆ มักจะเป็นคนที่มีฐานะหรือโอกาศทางสังคมสูง ซึ่งมีมากในสังคมตะวันตก คิดว่าคงต้องอ่านหนังสือเฉพาะด้านเรื่องการเขียนบทความ(ความเห็น)ทางคณิตศาสตร์ จึงจะมีตัวอย่างการใช้หรือคำแนะนำอื่นๆ
ผมยอมรับว่าไม่เคยเขียนบทความด้านนี้ แต่ในฐานะที่เป็นผู้สนใจศาสตร์ด้านนี้ เพื่อการใช้งานด้านวิศวกรรม เท่าที่ได้อ่านหนังสือคณิตศาสตร์บริสุทธิ์ ต่างๆ มา พบว่าที่ถูกส่วนใหญ่จะเป็นเพราะกล่าวถึงสิ่งที่จับต้องไม่ได้ โดยการอธิบายถึงโครงสร้างที่มีอยู่ในวิทยาศาสตร์และศิลปศาสตร์ ผมอาจกล่าวถึงโดยไม่รัดกุม ขออภัยด้วย ดังนั้น จะเห็นได้ว่าความคิดเห็นที่เกิดตามวัฒนธรรมต้องมีอยู่แน่นอน ในแต่ละสังคม จึงไม่แปลกที่บางครั้งจะเห็นว่า บางครั้ง ยกตัวอย่าง AXIOM ก็กลายไปเป็น THEORY ได้ หากมีเหตุผลสนับสนุนพอประมาณ และหากคำกล่าวใดๆ ที่พิสูจน์ได้ว่ามีประโยชน์ ต่ออีกคำกล่าวหนึ่ง ก็ถือว่าเป็นหน่วยย่อยไป ดังนั้นที่จะงงกันคือจะเรียงลำดับชั้น ของคำกล่าวอย่างไร คำแนะนำคือต้องแยกให้ออกว่าคุยเรื่องอะไรอยู่
ให้ชัดๆ ก็ว่าคล้ายกับหน้าหนึ่งหนังสือพิมพ์ไทยรัฐ ที่ว่ามีการจัดช่องของข่าวตามความนิยม เช่น ข่าวในพระราชสำนักจะอยู่ด้านบนเท่านั้น ซึ่งอาจจะขนาบด้วยข่าวการเมือง แต่ทั้งสองที่กล่าวมาจะเรียงอยู่เหนือข่าวอาชญากรรม แต่มีข้อยกเว้นเมื่อไม่มีข่าวในเพราะราชสำนัก เนื้อที่ตรงนั้นจะเป็นของภาพสาวๆ เห็นได้ว่าเค้าเรียงตามความน่าสนใจของข่าวสารเป็นหลัก ตรงนี้ผมมองว่า เหมือนกับการเขียนบทความทางคณิตศาสตร์ ข้อสังเกตุมีดังที่กล่าวมาครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ kongp

แหมเซียนแม็ทยังแยกไม่ออกเลย ผมเข้าใจครับ เพราะเราไม่ใช่ชาวตะวันตกที่กำหนด นิยามต่างๆ ทางคณิตศาสตร์ และเอาเข้าจริงๆ การใช้งานก็มีที่เข้าใจต่างกันแยกตามสังคม และยิ่งส่วนมากจะเป็นนักอ่านกันเป็นส่วนใหญ่ เรียกได้ว่าเป็นผู้สนใจเท่านั้น แต่ผู้ที่มีโอกาศในการพัฒนาจริงๆ มักจะเป็นคนที่มีฐานะหรือโอกาศทางสังคมสูง ซึ่งมีมากในสังคมตะวันตก คิดว่าคงต้องอ่านหนังสือเฉพาะด้านเรื่องการเขียนบทความ(ความเห็น)ทางคณิตศาสตร์ จึงจะมีตัวอย่างการใช้หรือคำแนะนำอื่นๆ
ผมยอมรับว่าไม่เคยเขียนบทความด้านนี้ แต่ในฐานะที่เป็นผู้สนใจศาสตร์ด้านนี้ เพื่อการใช้งานด้านวิศวกรรม เท่าที่ได้อ่านหนังสือคณิตศาสตร์บริสุทธิ์ ต่างๆ มา พบว่าที่ถูกส่วนใหญ่จะเป็นเพราะกล่าวถึงสิ่งที่จับต้องไม่ได้ โดยการอธิบายถึงโครงสร้างที่มีอยู่ในวิทยาศาสตร์และศิลปศาสตร์ ผมอาจกล่าวถึงโดยไม่รัดกุม ขออภัยด้วย ดังนั้น จะเห็นได้ว่าความคิดเห็นที่เกิดตามวัฒนธรรมต้องมีอยู่แน่นอน ในแต่ละสังคม จึงไม่แปลกที่บางครั้งจะเห็นว่า บางครั้ง ยกตัวอย่าง AXIOM ก็กลายไปเป็น THEORY ได้ หากมีเหตุผลสนับสนุนพอประมาณ และหากคำกล่าวใดๆ ที่พิสูจน์ได้ว่ามีประโยชน์ ต่ออีกคำกล่าวหนึ่ง ก็ถือว่าเป็นหน่วยย่อยไป ดังนั้นที่จะงงกันคือจะเรียงลำดับชั้น ของคำกล่าวอย่างไร คำแนะนำคือต้องแยกให้ออกว่าคุยเรื่องอะไรอยู่
ให้ชัดๆ ก็ว่าคล้ายกับหน้าหนึ่งหนังสือพิมพ์ไทยรัฐ ที่ว่ามีการจัดช่องของข่าวตามความนิยม เช่น ข่าวในพระราชสำนักจะอยู่ด้านบนเท่านั้น ซึ่งอาจจะขนาบด้วยข่าวการเมือง แต่ทั้งสองที่กล่าวมาจะเรียงอยู่เหนือข่าวอาชญากรรม แต่มีข้อยกเว้นเมื่อไม่มีข่าวในเพราะราชสำนัก เนื้อที่ตรงนั้นจะเป็นของภาพสาวๆ เห็นได้ว่าเค้าเรียงตามความน่าสนใจของข่าวสารเป็นหลัก ตรงนี้ผมมองว่า เหมือนกับการเขียนบทความทางคณิตศาสตร์ ข้อสังเกตุมีดังที่กล่าวมาครับ

ผมแค่ไม่แน่ใจน่ะครับ เพราะผมเองก็ไม่อยากให้คนอื่นซึ่งเข้ามารับข้อมูลจากที่นี่นำไปใช้แบบผิดๆ แต่ผมว่าผมเข้าใจถูกแล้วครับ

Proposition เป็นทฤษฎีบทเล็กๆที่ไม่ต้องออกแรงพิสูจน์มากนักครับ เป็นความจริงขั้นพื้นฐานที่สามารถพิสูจน์ได้ง่ายๆ

Theorem เป็นทฤษฎีบทที่มีีความสำคัญกว่า Proposition ซึ่งอาจจะใช้กระบวนการพิสูจน์ที่ซับซ้อนกว่า

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ kongp

ยกตัวอย่าง AXIOM ก็กลายไปเป็น THEORY ได้ หากมีเหตุผลสนับสนุนพอประมาณ

ลองยกตัวอย่าง axiom ที่กลายเป็น theory ได้มั้ยครับ

[kongp]

ถามกลับถึงที่ว่าซับซ้อน นั้นเป็นยังไงครับ สำหรับ ส่วนที่ว่าใช้ผิด คงหายาก สำหรับผู้ที่เรียนรู้เป็นหลัก แต่คงหาผู้ที่ใช้ผิดง่าย สำหรับผู้ที่ค้นคว้าวิจัย

และขอตอบ อย่างเช่น ความจริงที่พูดกันทั่วไปในวันนี้ วันหน้าก็อาจมีผู้พิสูจน์ในแง่ต่างๆ และหากได้รับการยอมรับว่ามีประโยชน์ ก็กลายเป็นทฤษฏี ตัวอย่างที่จะกล่าว คือ Database theory นี่ใหม่ๆ เลย ซึ่งเป็นทฤษฏีที่ประกอบด้วยหน่อยย่อยมากมาย และมีการประยุกต์เอาคณิตศาสตร์ผสมเกี่ยวข้องด้วย ดูได้ที่ http://en.wikipedia.org/wiki/Database_theory

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ kongp

ถามกลับถึงที่ว่าซับซ้อน นั้นเป็นยังไงครับ สำหรับ ส่วนที่ว่าใช้ผิด คงหายาก สำหรับผู้ที่เรียนรู้เป็นหลัก แต่คงหาผู้ที่ใช้ผิดง่าย สำหรับผู้ที่ค้นคว้าวิจัย

และขอตอบ อย่างเช่น ความจริงที่พูดกันทั่วไปในวันนี้ วันหน้าก็อาจมีผู้พิสูจน์ในแง่ต่างๆ และหากได้รับการยอมรับว่ามีประโยชน์ ก็กลายเป็นทฤษฏี ตัวอย่างที่จะกล่าว คือ Database theory นี่ใหม่ๆ เลย ซึ่งเป็นทฤษฏีที่ประกอบด้วยหน่อยย่อยมากมาย และมีการประยุกต์เอาคณิตศาสตร์ผสมเกี่ยวข้องด้วย ดูได้ที่ http://en.wikipedia.org/wiki/Database_theory

ซับซ้ิอนคือมีการอ้างเหตุผลหลายขั้นตอนรวมไปถึงการอ้าง Definition,Axioms,Lemma,Proposition,Theorem ที่มีอยู่แล้วด้วยครับ

Axiom ของ Database Theory คืออะไรครับ ผมรู้จักเพื่อนหลายคนกำลังเรียนทางด้าน Information Theory อันนี้ต่างจาก Database Theory ยังไงครับ