รบกวนช่วยพิสูจน์mathematic inductionให้หน่อยค่ะ

[calfever]

ปกติก็ไม่ค่อยคล่องเรื่องmathematic inductionอ่ะค่ะ พอมาเป็นทวินามก็มึนเลยค่ะ
ไม่รู้ว่าจะเริ่มอย่างไรดี งงค่ะ มีแต่ติดตัวแปร เห็นอาจารย์บอกว่าให้ไปทำมา อาจารย์จะออกสอบ
ขอบคุณค่ะ

[nooonuii]

แบบไม่ใช้ induction

อสมการที่ดีกว่าคือ

$\displaystyle{\binom{n}{r}\leq n^r}<(n+1)^r$

ถ้า $r=0$ จริง

สมมติ $r\geq 1$

$\displaystyle{\binom{n}{r}=\dfrac{n(n-1)\cdots (n-r+1)}{r!}}$

$~~~~~~=\Big(\dfrac{n}{r}\Big)\Big(\dfrac{n-1}{r-1}\Big)\Big(\dfrac{n-2}{r-2}\Big)\cdots \Big(\dfrac{n-r+1}{1}\Big)$

$~~~~~~\leq n\cdot n\cdots n$

$~~~~~~=n^r$

[calfever]

อาจารย์บังคับมาอ่ะค่ะว่าต้องใช้induction

ถามเพื่อน ยังไม่มีใครทำได้เลย TT

[nooonuii]

ขอพิสูจน์เฉพาะขั้นอุปนัยนะครับ

สมมติว่า $\displaystyle{\binom{n}{r}\leq n^r}$ สำหรับ $0\leq r\leq n$

จะพิสูจน์ว่า $\displaystyle{\binom{n+1}{r}\leq (n+1)^r}$ สำหรับ $0\leq r\leq n+1$

ถ้า $r=0,n+1$ เห็นได้ชัดว่าอสมการจริง

สมมติว่า $1\leq r\leq n$

จะได้

$\displaystyle{\binom{n+1}{r}=\binom{n}{r}+\binom{n}{r-1}}$ โดย Pascal's identity

$~~~~~~~~~~~\leq n^r+n^{r-1}$ จากสมมติฐานขั้นอุปนัย

$\displaystyle{~~~~~~~~~~~\leq n^r+\binom{r}{1}n^{r-1}+\cdots+\binom{r}{r-1}n+1}$

$~~~~~~~~~~~=(n+1)^r$ โดยทฤษฎีบททวินาม

[calfever]

ขอบคุณมากค่ะ