ทฤษฏีบท Taylor+โจทย์ครับ

[nut.]

1.รบกวนช่วยอธิบายเกี่ยวกับทฤษฏีบทของ Taylor หน่อยครับ
2.ถ้า a,b,c,r เป็นจำนวนจริงบวกจงแสดงว่า
$abc^{\frac{1}{3} }\leqslant (a^{a^r}b^{b^r}c^{c^r})^{\frac{1}{a^r+b^r+c^r} }$


3.รบกวนช่วยอธิบาย murihead และวิธีการใช้หน่อยครับ

[nut.]

ข้อต่อไปมาแล้วครับ
.........
$2(ab+bc+ca)^{\frac{1}{2}}\leqslant 3^{\frac{1}{2}}\sqrt[3]{(a+b)(b+c)(c+a)}$

[Keehlzver]

1) Taylor ที่เกี่ยวกับการพิสูจน์อสมการ Jensen หรือเปล่าครับ? ถ้าเป็นบทพิสูจน์ผมก็ไม่รู้จะไปหาจากไหนเหมือนกัน
2) ดูผิวๆก็ Weight AM-GM ครับ

3) Muirhead เป็นทฤษฏีบทที่เเสดงความสัมพันธ์ระหว่างการ Majorize ของลำดับครับ เเล้วจะตั้งอสมการออกมาได้ ส่วนการพิสูจน์ทฤษฏีของ Muirhead หาอ่านได้จาก Classical Inequalities ของ Ivan Matic ที่ imomath.com (ความรู้เรื่อง Majorize ก็ด้วยครับ) การนำไปใช้ก็ไว้สังเกตการเรียงค่าของเลขชี้กำลังเวลากระจายอสมการเเบบ Majorize ของลำดับ ซึ่งมีประโยชน์ต่อการจัดรูปอสมการเอกพันธ์ครับ เวลาจะใช้จริงๆก็ใช้ AM-GM พิสูจน์เอาครับ ยกตัวอย่างเช่น
จงพิสูจน์ว่า $a^2+b^2+c^2 \geq a+b+c$ เมื่อ $a,b,c > 0$ เเละ $abc=1$ เวลาจะทำก็ Homogenize ให้ดีกรีเท่ากัน เป็น $\Sigma_{cyc} a^\frac{4}{3}b^\frac{1}{3}c^\frac{1}{3} \leq \Sigma_{cyc}a^2$ เป็น Homogeneous ดีกรี 2 เเล้ว เวลาจะพิสูจน์ก็สังเกตว่าลำดับ $(2,0,0)$ Majorize ลำดับ $(\frac{4}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3})$ ซึ่งเป็นจริงโดยทฤษฏีบท Muirhead เเต่เวลาพิสูจน์จริงๆ ให้ใช้ AM-GM พิสูจน์ครับ
จะได้เป็น $\Sigma_{cyc}(\frac{4a^2}{6}+\frac{b^2}{6}+\frac{c^2}{6}) \geq \Sigma_{cyc}(a^{\frac{4}{3}}b^{\frac{1}{3}}c^{\frac{1}{3}})$ เป็นจริงโดย AM-GM เเบบ 6 พจน์ คำถามต่อไปคือจะรู้ได้อย่างไรว่าต้องใช้ AM-GM เเบบ 6 พจน์พิสูจน์ คำตอบคือ พิจารณา $a^2+b^2+c^2$ กับ $a^{\frac{4}{3}}b^{\frac{1}{3}}c^{\frac{1}{3}}$ ครับ เราต้องการจะใช้ AM-GM กับ $\Sigma_{cyc}a^2$ จริงไหมครับ เพราะงั้นสมมติให้มี $a^2,b^2,c^2$ อยู่ $x,y,z$ พจน์ตามลำดับ เนื่องจากทางด้านซ้ายมี $a^2+b^2+c^2$ ซึ่งหมายความว่า $x+y+z=1$ เป็นสมการเเรก ขั้นต่อไปพิจารณาพจน์ $a^2$ ทางด้านซ้ายเทียบกับพจน์ $a^{\frac{4}{3}}$ ทางด้านขวาเทียบเฉพาะเลขชี้กำลังนะครับ จะได้ $2x=\frac{4}{3}$ เป็นสมการที่สอง ต่อไปเทียบพจน์ $b^2$ กับ $b^{\frac{1}{3}}$ ทางด้านขวา จะได้ $2y=\frac{1}{3}$ เป็นสมการที่สาม ในทำนองเดียวกันได้ $2z=\frac{1}{3}$ เป็นสมการสุดท้าย พอเเก้ทั้งหมดจะได้น้ำหนักในการใช้ AM-GM ครับ นั่นคือ $(x,y,z)=(\frac{4}{6},\frac{1}{6},\frac{1}{6})$ ซึ่งบวกกันเเล้วได้ $1$ พอดี เป็นอันสิ้นสุดการทด ซึ่งการพิสูจน์อ้าง AM-GM เเล้วเขียนเฉพาะอสมการใหญ่ก็พอครับ


เพื่อความเข้าใจมากขึ้น จงพิสูจน์ว่า $\Sigma_{sym}a^5b^2c \geq \Sigma_{sym}a^3b^3c^2$
เห็นได้ชัดว่า ลำดับ $(5,2,1)$ Majorize ลำดับ $(3,3,2)$ อยู่ดังนั้นใช้ AM-GM ได้เเน่นอน พอกระจายออกมาเเล้วจะได้ว่ามี 6 พจน์จากทางซ้ายเเละขวา เวลาจะจับคู่ AM-GM ดูยิ่งพิจารณาได้ยากไปใหญ่ เเต่วิธีที่พิจารณาได้เเน่ๆคือการเลือกพจน์ที่มีเลขชี้กำลังของอสมการไม่ซ้ำกันเช่นไปเลือก $a^5bc^2+a^5b^2c+ab^5c^2$ คู่กับพจน์ $a^3b^3c^2$ เเล้วใช้วิธีตั้งสมการเเบบเดิมจะได้ระบบสมการ $x+y+z=1$ , $5x+5y+z=3$ , $x+2y+5z=3$ , $2x+y+2z=2$ พอเเก้ไปตามน้ำจะได้ว่า $(x,y,z)=(\frac{-1}{5},\frac{8}{5},\frac{-2}{5})$ เเต่พอตรวจสอบดูเเล้วระบบสมการไม่จริง อีกทั้งได้น้ำหนักติดลบอีกต่า่งหาก เพราะฉะนั้นเวลาเลือกพจน์มาจับคู่กัน AM-GM จะต้องเลือกส่วน AM เเบบเลขชี้กำลังไม่ซ้ำกัน ในกรณีที่ตั้งไปจะเห็นว่ามี $a^5$ ซ้ำกัน ดังนั้นควรเลือก $a^5b^2c+a^2b^5c+ab^2c^5$ คู่กับ $a^3b^3c^2$ พอตั้งสมการจะได้ $x+y+z=1$ , $5x+2y+z=3$ , $2x+5y+2z=3$ , $x+y+5z=2$ จะได้คำตอบของระบบสมการ $(x,y,z)=(\frac{5}{12},\frac{1}{3},\frac{1}{4})$ เพราะฉะนั้นจะเขียนอสมการได้เป็น
$\Sigma_{cyc}\frac{5a^5b^2c}{12}+\frac{a^2b^5c}{3}+\frac{ab^2c^5}{4} \geq \Sigma_{cyc}\sqrt[12]{a^{36}b^{36}c^{24}}=a^3b^3c^2+a^2b^3c^3+a^3b^2c^3$
ด้วยความมีสมมาตรในตัวเเปรจะได้อีกสมการโดยไม่ต้องคิดคือ
$\Sigma_{cyc}\frac{5a^5bc^2}{12}+\frac{a^2bc^5}{3}+\frac{ab^5c^2}{4}\geq\Sigma_{cyc}a^3b^3c^2$ เมื่อนำอสมการใหญ่ทั้งสองอสมการมาบวกเข้าด้วยกันได้ผลตามต้องการครับ
เวลาเขียนพิสูจน์จริงๆ ก็เขียนเเค่อสมการใหญ่บวกกันก็พอ วิธีการกระจายอสมการเเล้วใช้ AM-GM หรืออสมการอื่นๆพิสูจน์ทำนองนี้เขาเรียกว่าวิธี Dumbassing ครับ ซึ่งไม่มีเหตุผลจริงๆที่ต้องใช้ในการทำอสมการที่สูงกว่านี้ พวกอสมการ Contest ทั้งหลายที่กระจายออกมาเเล้วจำนวนพจน์มากเกินไปพิจารณายาก ทฤษฏีบท Muirhead มีความใกล้ชิดกับอสมการ Schur ครับ ซึ่ง Schur ก็มีกรณีทั่วๆไปอีก ศึกษาเพิ่มเติมที่ reflections.awesomemath.org/ ตรงพวก SOS Schur , Vornicu-Schur ซึ่ง Muirhead จะมีประโยชน์ในการจัดรูปอสมการพวกนี้ครับ ส่วนอสมการล่าสุดนั้นหาเฉลยได้ใน Old and New inequalities ของ Titu Andresscu ครับ

[nut.]

ขอแค่การใช้ทฤษฏีบทของ taylor และอธิบายที่มาว่าแต่ละพจน์มันมาจากใหนก็พอครับ
ขอบคุณครับmurihead ผมอ่านจากเว็บ
http://docs.google.com/viewer?a=v&q=...VEiByoEwTOFARw

ผมสงสัยว่า

$(a)\succ (a') [a]\geqslant [a']$

เป็นทฤษฏีบท murihead ใช่ปล่าวครับ
คือ

ผมงงว่าอย่างไรจึงเรียกว่า majorize ครับ
แล้วจเราะรู้ได้ไงว่า

(5,2,1) majorize (3,3,2)

หรือ (3,3,2) majorize (5,2,1)
ครับจะได้ใช้ $(a)\succ (a') [a]\geqslant [a']$ อันนี้ถูก

[Keehlzver]

เข้าใจถูกเเล้วครับ ถ้าลำดับ $a\succ a'$ เเล้ว $[a]\geq[a']$ เป็นทฤษฏีบทของ Muirhead ครับ เวลาจะดูก็ พิจารณาอย่างที่ในหนังสือที่คุณอ่่านบอกมาเเหละครับ ผมอ้างอิงจากของ Ivan Matic ลองดูตรงดัชนี $1\leq i\leq n$ ในเอกสารที่คุณอ่านดูครับว่าจริงๆอาจจะพิมพ์ผิดที่ถูกต้องเป็น $ 1 \leq i <n$ ซึ่งให้ว่า $1\leq i \leq n-1$ ครับผม ซึ่งเวลาจะดู ถ้าลำดับในวงเล็บมีอยู่ $n$ ตัว ผลบวกของ $n-1$ ตัวเเรกทางฝั่งซ้ายจะมากกว่า $n-1$ ตัวเเรกทางฝั่งขวา อสมการที่ผมยกตัวอย่างมา 2 ตัวเเรกบวกข้างซ้ายก็จะมากกว่า 2 ตัวเเรกข้างขวาด้วยครับ ซึ่งเป็นไปตามเงื่อนไข $1\leq i \leq n-1$ พอดี เวลาจะพิจารณาก็ให้ดูว่า มันบวกกันเเล้วเท่ากันไหม เเต่ละตัวในลำดับติดลบไหม เเล้วก็ $n-1$ ตัวเเรกบวกกันทางฝั่งซ้ายมากกว่า $n-1$ ตัวเเรกทางฝั่งขวาไหม ถ้าเป็นไปตามสมบัติ 3 ข้อนี้ก็สรุปได้ว่า Majorize ครับ

อย่าลืมอ่านของ Ivan Matic นะครับ

ยังมีข้อสงสัยเกี่ยวกับ Taylor อยู่รบกวนท่านอื่นๆเข้ามาตอบนะครับ

[Jew]

รบกวนช่วยอธิบายเกี่ยวกับ ทฤษฏีบทของ Taylor(ตัวอย่างการใช้และตัวทฤษฏีบท) เพราะผมก็อ่านไม่เข้าใจ
ครับไม่อยากตั้งกระทู้ใหม่