53. จริง $f(x)=\cot (\pi x),\; \; x \in [0,1]$ ต่อเนื่องและทั่วถึง จาก $[0,1]$ ไปยัง $\mathbb{R}$

55. จริง $f(x)=\cot (\pi x),\; \; x \in [0,1]$ หนึ่งต่อหนึ่งและทั่วถึง จาก $[0,1]$ ไปยัง $\mathbb{R}$

$\cot(0),\cot(\pi)$ ไม่นิยามนะครับ

อ้อแล้วข้อ 53 เท็จครับ การพิสูจน์ต้องใช้ความรู้ Real Analysis
ถ้าทำข้อ 53 ได้ ข้อ 54 ก็น่าจะได้ด้วยครับ :p

โอ๊ะ พลาดครับ ลืมไปว่าเป็นช่วงปิด เดี๋ยวคิดใหม่ๆ เหอๆๆ

เท็จ

โดย real analysis ฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วงปิดจะ bounded ดังนั้นจึงหมดโอกาสไปทั่วถึง $\mathbb R$ ครับ

โดย topology $[0,1]$ กับ $\mathbb R$ มีความแตกต่างกันทั้งในแง่ cut point และ compactness ดังที่คุณ nooonuii เคยอธิบายไว้แล้ว จึงไม่มีฟังก์ชันต่อเนื่องที่เชื่อมระหว่างสองเซตนี้ครับ
จริง

ให้ $f$ เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องที่มีคาบเท่ากับ $p$ ดังนั้น $f$ ในช่วง $[0,p]$ จะ bounded
เนื่องจากค่า $f$ ในช่วงอื่นๆจะต้องซ้ำกับค่าในช่วง $[0,p]$ ดังนั้น $f$ มีขอบเขตครับ
จริง เช่น ให้ฟังก์ชัน $j:[0,1]\to(0,1)$ มีค่าดังนี้ $$j(x)=\cases{\frac12 & ,x=0 \\ \frac{x}{2x+1} & ,x\in A \\ x & ,\text{ otherwise}}$$ โดยที่ $A=\{1, \frac12, \frac13, \dots\}$

จะเห็นว่า $j=h\circ g\circ f$ เมื่อ $f,g,h$ คือฟังก์ชันที่คุณ nooonuii ให้ไว้ที่เดิม ดังนั้น $j$ เป็น bijection

นิยามฟังก์ชัน $k: (0,1)\to\mathbb R$ โดยให้ $$k(x)=\frac{2x-1}{x(x-1)}$$ จะเห็นว่า $k$ เป็น bijection

ดังนั้น $k\circ j$ จึงเป็น bijection จาก $[0,1]$ ไปยัง $\mathbb R$ ตามที่ต้องการครับผม :)

หมายเหตุ: $$(k\circ j)(x)=\cases{0 & ,x=0 \\ \frac{2x+1}{x(x+1)} & ,x\in A \\ \frac{2x-1}{x(x-1)} & ,\text{ otherwise}}$$

40. False

Set $(x,y,z)=(2,-1,-1)$

$2^3+(-1)^3+(-1)^3=6>0$ but $0^3 \not>0$

64. $\sqrt{2}^{\sqrt2} >2$

65. มีจำนวนเชิงซ้อน $z$ อยู่ 2 จำนวนที่ทำให้ $\sqrt{z}=-2550$

66. มีจำนวนนับ $n$ ที่ทำให้ $\sin n=\frac1n$

จริง เพราะ $x^{1/x}$ เป็น strictly increasing function บนช่วง $(0,e)$ เนื่องจากบนช่วงนี้ $$ \frac{d}{dx} x^{1/x}= x^{1/x-2}(1-\ln x)>0$$ ดังนั้น $$0<a<b<1\Rightarrow a^{1/a}<b^{1/b}\Rightarrow (a^{1/a})^{ab}<(b^{1/b})^{ab}\Rightarrow a^b<b^a$$

38. อสมการจริงตามอสมการต่อไปนี้

$$\displaystyle{\big(\frac{a}{b}\big)^b < 1 < \big(\frac{1}{b}\big)^{b-a}}$$

67. มีฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์อันดับที่ 1 และ 3 แต่ไม่มีอนุพันธ์อันดับที่ 2

68. ให้ $A,B$ เป็นเซต ถ้า $X=A\cup B$ แล้ว $X-A=B-A$

69. $\displaystyle{\bigcap_{n=1}^{\infty} \big(0,\frac{1}{n}\big) = \{ 0 \}}$

70. ถ้า $x_n\to x$ และ $\{ x_n \}$ เป็นเซตปิดแล้ว $x=x_N$ สำหรับบางค่า $N\in\mathbb{N}$

71. $\displaystyle{ f(x) = \cases{e^{-1/x^2} & , x>0 \cr 0 & , x\leq 0} }$ เป็น smooth function (มีอนุพันธ์ทุกอันดับ)

72. when $a<b$\[
\int_a^b {\left| {f\left( x \right)} \right|\,dx} \ge \left| {\int_a^b {f\left( x \right)\,dx} } \right|
\]

67. เท็จ ครับ ใช้ fact ที่ว่า \( C^{\infty}(\mathbb{R})\subset ... \subset C^{3}(\mathbb{R}) \subset C^{2}(\mathbb{R})\subset C(\mathbb{R}) \)

69. เท็จ ให้ $ 0 \notin (0,1/n), \;\; \forall n \in \mathbb{N} \Rightarrow 0 \notin \displaystyle{\bigcap_{n=1}^{\infty}(0,\frac{1}{n})} \neq \{ 0\}$

70. งง ครับ ว่า $\{ x_n \}$ เป็นเซตปิด ได้รึเปล่า


72. จริง ถ้า $f$ integrable (ติดวิธีพิสูจน์ไว้ก่อนครับ)

เป็นได้ครับ เช่น $\{ x_n \}$ เป็นเซตจำกัด ข้อนี้จริง

< และสามารถพิสูจน์ต่อได้ว่า $\{ x_n \}$ เป็นเซตจำกัดครับ>
ขออภัยครับ ข้อความใน <> ไม่จริงแหะแหะ :blood:

จริง ดูรูปข้างล่าง แล้วคำนวณอีกนิดหน่อยก็จะพิสูจน์ได้ครับ :)
.

70. จริง โดย ใช้ทฤษฏีบทนี้ได้รึเปล่าครับ (ถ้าใช้ได้จะมาพิสูจน์ อิอิ )
ทฤษฏีบท : $A \subset \mathbb{R}$ เป็นเซตปิด ก็ต่อเมื่อ ถ้า $x_n$ เป็นลำดับใน $A$ ซึ่ง $x_n \rightarrow x$ แล้ว $x \in A$


73. เซตของจำนวนตรรกยะ $\mathbb{Q}$ หนาแน่นใน $\mathbb{R}$

74. เซตของจำนวนจริงเป็นเซตนับไม่ได้

70. ใช้ทฤษฎีบทนี้ได้ครับ จริงๆไม่ต้องพิสูจน์อะไรเลยถ้าใช้ทฤษฎีบทนี้ครับ

ข้อ 73 , 74 รู้ว่าจริงแต่ไม่เคยคิดจะพิสูจน์เลยครับ :p

74. เริ่มอยากพิสูจน์ข้อนี้แล้วครับ :sung:

จากข้อ 55 เราสามารถสร้างฟังก์ชันชนิดหนึ่งต่อหนึ่งและทั่วถึงจาก $[0,1]$ ไปยัง $\mathbb{R}$ ได้
ดังนั้น $[0,1]$ และ $\mathbb{R}$ มี cardinality เท่ากัน จึงเพียงพอที่จะพิสูจน์ว่า $[0,1]$ เป็นเซตนับไม่ได้
สมมติว่า $[0,1]$ เป็นเซตนับได้ ดังนั้น $\mu ([0,1])=0$ เมื่อ $\mu$ เป็น Lebesgue measure แต่เราทราบว่า $\mu ([0,1]) = 1$ จึงเกิดข้อขัดแย้ง :yum: