โจทย์ลองฝึกจากIWYMIC
 

ลองโหลดมาดูในปี2011กับ2010....เป็นข้อสอบของการคัดตัวของประเทศไต้หวัน ผมเลือกข้อที่เป็นพีชคณิตเพราะมีตัวหนังสือน้อย พอจะใช้google translateแปลได้ ข้อที่เนื้อหายาวๆ รู้สึกว่ากูเกิลจะแปลไม่ได้เนื้อความ

5ข้อแรกมาจากปี 2011

1.$x,y$ เป็นจำนวนเต็มบวกที่สอดคล้องกับสมการ

$\dfrac{5}{2x} +\dfrac{2}{5y} =\dfrac{1}{100} $

จงหาว่ามีคู่ลำดับ$(x,y)$ ทั้งหมดกี่คู่

2.ค่า$x,y,z$ สอดคล้องกับสมการนี้

$x+y+z=4$

$x^2+y^2+z^2=6$

$x^3+y^3+z^3=10$

จงหาค่าของ $\frac{1}{x^2} +\frac{1}{y^2} +\frac{1}{z^2} $

3.กำหนดให้ $a$ และ $\frac{a^3+25}{a+5} $ เป็นจำนวนเต็มบวก จงหาค่าที่มากที่สุดของ $a$

4.ให้ $x,y$ เป็นจำนวนเต็มบวก โดยที่$x^2y^3=6^{12}$ มีคู่ลำดับ$(x,y)$ ทั้งหมดกี่คู่ที่สอดคล้องกับสมการนี้

5.ให้ $N=\underbrace{6666...666}_{2011 ตัว} 5 \times 1\underbrace{3333...333}_{2012 ตัว}$ จงหาเลขท้าย5ตัวสุดท้ายของ$N$

เดี๋ยวค่ำๆจะเอามาลงอีก 5 ข้อ ใครสนใจลองทำ 5 ข้อแรกไปก่อนเลย

อีก 6 ข้อเป็นของปี2010

6.จงหาเศษจากการหาร $9^{2010}$ ด้วย $11$

7.จงหาค่าของ $1^3+2^3+3^3+...+99^3+100^3$

8.กำหนดให้ $p,q,r$ และ $s$ เป็นจำนวนจริงที่ไม่เท่ากับ $0$ .ถ้า$r,s$ เป็นรากของสมการ $x^2+px+q=0$ และ $p,q$ เป็นรากของสมการ $x^2+rx+s=0$.ผลบวกของ $p+q+r+s$ เท่ากับเท่าไหร่

9.ให้ $a,b,c,d$ และ $e$ เป็นจำนวนเต็มที่แตกต่างกันห้าจำนวน ซึ่งสอดคล้องกับ
$(4-a)(4-b)(4-c)(4-d)(4-e)=12$
จงหาค่าของ $a+b+c+d+e$

10. ถ้า $N=1+11+111+...+\underbrace{111...111}_{2010 ตัว} $ แล้ว จงหาเลขห้าหลักท้ายของ $N$

11.ให้ $n$ เป็นจำนวนเต็มบวกและ $100 \leqslant n \leqslant 400$. ถ้า $\frac{n^3-99}{n^3-92}$ ไม่ใช่เศษส่วนอย่างง่าย จงหาค่าของ $n$ ที่เป็นไปได้ทั้งหมดว่ามีกี่จำนวน
(ข้อ 11.ไม่มั่นใจว่าเข้าใจโจทย์ถูกหรือไม่ คำว่า simple fraction แปลเป็นเศษส่วนอย่างง่าย ซึ่งไม่แน่ใจความหมายคือ ยังมีตัวประกอบร่วมกันได้ใช่หรือเปล่า)

ข้อสอบปี 2010.....

ข้อสอบปี2011

พรุ่งนี้จะเข้ามาแปะเฉลยครับ เชิญลุยกันได้เลยครับ

เฉลย
ข้อ2.มี 2 วิธี วิธีแรกที่ทำกันในนี้
ข้อ3....แปลงรูปสมการอย่างที่ทำกันครับ
ข้อ6...ใช้Fermatt's Little Theorem $9^{10} \equiv1 \pmod{11} $
ข้อ 7,9....เฉลยแบบเดียวกับที่ทำในกระทู้
ข้อ8....แก้สมการธรรมดา
ข้อ10...ทำแบบที่ลุงBankerอธิบาย

ผมยังไม่มีเวลาทำ แต่ยังไงลองเอาลิงค์หรือไฟล์ข้อสอบมาช่วยกันงมสิครับ

เห็นได้ชัดเลยว่า $xy+yz+zx=5$

$x^3+y^3+z^3=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)+3xyz$

$10=4(6-5)+3xyz$

$xyz=2$

ผมหาได้แต่เป็นจำนวนเต็มอ่ะครับ จะได้ค่าแค่ 1,1,2 เท่านั้น

$(x,y,z)=(1,1,2) $ เรียงสับเปลี่ยนด้วย

$\dfrac{a^3+25}{a+5}=\dfrac{a^3+125-100}{a+5}$

$\ \ \ \ \ \ \ \ =a^2-5a+25-\dfrac{100}{a+5}$

a+5 ต้องเป็นตัวประกอบของ 100 จะได้ a=95

ข้อแรกไม่แน่ใจ น่าจะตอบ 25 คู่
ข้อสอง $5=xy+yz+zx$ , $25 = (xy)^2+(yz)^2+(zx)^2 + 2xyz(x+y+z)$
ใช้ $x^3+y^3+z^3-3xyz = (x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)$ คู่ด้วย จะได้$xyz=2$
จะได้ $(xy)^2+(yz)^2+(zx)^2 = 9$ คำตอบคือ $\frac{9}{4}$

ข้อสาม จัดรูปก็ออกแล้ว $\frac{a^3+25}{a+5} = a^2-5a+25-\frac{100}{a+5} $
เพราะฉะนั้น ค่ามากที่สุดของ $a$ คือ $95$
ข้อ 4 ตอบ 35 (ถ้าผิดก็ขอโทษด้วย)

$ N = 5 \times 13 = 65$

$ N = 65 \times 133 = 8645$

$ N = 665 \times 1333 = 886445$

$ N = 6665 \times 13333 = 88864445$

$ N = 66665 \times 133333 = 8888644445$

$ N = 666665 \times 1333333 = 888886444445$
.
.
.
$N=\underbrace{6666...666}_{2011 ตัว} 5 \times 1\underbrace{3333...333}_{2012 ตัว}$


พอมองออกแล้วนะครับ ขี้เกียจพิมพ์ต่อ เอาเป็นว่าตอบ 44445

$1^3+2^3+3^3+...+99^3+100^3 = \left(\frac{n}{2}(n+1)\right)^2 = \left(\frac{100}{2}(100+1)\right)^2 = (5050)^2$

\[\begin{array}{r}
1+ \\
11+ \\
111+ \\
1111+ \\
11111+ \\
111111+ \\
............. + \\
................ + \\
.................. + \\
.................. 789900 & & \\

\end{array}\]

หลักหน่วยรวมได้ 2,010 ใส่ 0 ทด 201
หลักสิบ รวม 2,009 บวกทด 201 = 2,210 ใส่ 0 ทด 221
หลักร้อย รวม 2,008 บวกทด 221 = 2,229 ใส่ 9 ทด 222
หลักพัน รวม 2,007 บวกทด 222 = 2,229 ใส่ 9 ทด 222
หลักหมื่น รวม 2,006 บวกทด 222 = 2,228 ใส่ 8 ทด 222
หลักแสน รวม 2,005 บวกทด 222 = 2,227 ใส่ 7 ทด 222

ห้าหลักสุดท้ายคือ 89,900


หรืออีกวิธี ใช้การแจกแจง

หลักหน่วย = 2,010 x1 = 2,010
หลักสิบ = 2,009 x 10 = 20,090
หลักร้อย = 2,008 x100 = 200,800
หลักพัน = 2,007 x 1,000 = 2,007,000
หลักหมื่น = 2,006 x 10,000 = 20,060,000
หลักแสน = 2,005 x 100,000 = 200,500,000

รวมกันได้ 222,789,900

ห้าหลักสุดท้ายคือ 89,900

$p,q$ เป็นรากของสมการ $x^2+rx+s=0$

$(x-p)(x-q)=0$

$x^2 -(p+q)x +pq$

โดยการเทียบ สปส.

$r = - (p+q)$

$s = pq$

ทำนองเดียวกัน
$r,s$ เป็นรากของสมการ $x^2+px+q=0$

$x^2-(r+s) +rs$

$p = -(r+s)$

$ q = rs$

$p+q+r+s = rs, \ \ pq$

ใช้วิชามาร แยกตัวประกอบ 12 = (1)(-1)(2)(-2)(3)

$4-a = 1 \ \to \ a = 3$

$4-b = -1 \ \to \ b = 5$

$4-c = 2 \ \to \ c = 2$

$4-d = -2 \ \to \ d = 6$

$4-e = 3 \ \to \ e = 1$

$a+b+c+d+e = 3+5+2+6+1 = 17$

$9 \equiv -2 \pmod{11}$

$9^{2010} \equiv 2^{2010} \pmod{11}$

$2^{10} \equiv 1 \pmod{11}$

$2^{2010} \equiv 1 \pmod{11}$

ข้อ6 $9^2010=3^4020$
$3 \equiv 3 \pmod{11}$
$3^2 \equiv 9 \pmod{11}$
$3^3 \equiv 5 \pmod{11}$
$3^4 \equiv 4 \pmod{11}$
$3^5 \equiv 1 \pmod{11}$
จะเห็นว่า 5 เป็นตัวประกอบของ 4020
เหลือเศษ 1 ครับ

Attachment 5974

ABCD เป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส มีด้านยาวด้านละ 30 หน่วย E ตั้งอยู่บน CD และ F ตั้งอยู่บน BC ทำให้ CF = CE = x
ถ้าสี่เหลี่ยม FCEG มีพื้นที่ 75 ตารางหน่วย จะหาค่าของ x

Attachment 5975

จากรูป
$\frac{y}{30-x} = \frac{37.5}{x}$

$xy = 1125 -37.5x$

$ x (y+37.5) = 1125$ ......(1)


$\dfrac{375-y}{30-x} = \dfrac{y+75}{x}$

$y = \dfrac{15x-75}{2}$ .........(2)

แทนค่า $y$ ใน (1)

$ x= 5\sqrt{6} $

โอ้โห...ลุงBankerแปลจีนให้ด้วย....สุดยอดครับลุง
ข้อ8....
$p+q=-r\rightarrow p+q+r=0$
$pq=s$
$r+s=-p\rightarrow p+r+s=0$
แก้สองสมการได้ $q=s$
จาก $pq=s$ และ $q=s$ แล้ว$p=1$
$rs=q$ และ $pq=s$
$r(pq)=q \rightarrow r=1 $
ได้$q=-(r+p)=-2$
$s=-(p+r)=-2$
$p+q+r+s=s=-2$

ไม่ได้แปลครับ คิดเอาเองว่าโจทย์น่าจะเป็นแบบนี้ :haha:

เซียนจริงๆ :died: :please:

ลุงBankerสุดยอดจริงๆ ผมลองใช้กูเกิลแปลแล้ว....ตรงตามที่ลุงแปลเป๊ะๆๆเลย

แล้วคุณกิตติเอาลงกูเกิลยังไงครับ มันเป็นภาพ ไม่ใช่ตัวหนังสือ

copy textไปลงกูเกิลtranlateเลยครับ ผมใช้Foxit readerอยู่ครับ ในตัวฉบับคำถามพอทำได้ แต่ในฉบับเฉลยกำลังหาวิธีอยู่เพราะcopyไม่ออก

ข้อ10....เขาเฉลยแบบนี้แบบเดียวกับวิธีที่สองของลุงBankerว่า
$N=1+11+111+...+\underbrace{111...111}_{2010 ตัว} $

$N=\underbrace{1+1+1..+1}_{2010 ตัว} +\underbrace{10+10+..+10}_{2009 ตัว}+\underbrace{100+100+...+100}_{2008 ตัว} +...+1\underbrace{000..00}_{2009 ตัว} $

พิจารณาแค่เลขห้าตัวท้ายซึ่งได้จากผลบวกของ
$2010+2009\times10+ 2008\times100+2007\times1000+2006\times10000$
เท่ากับ $89900$

วันนี้ สงสัยคุณกิตติเปิดกูเกิ้ลจนเบลอ $8990$$0$

เท่าที่คุณกิตติใช้อยู่ Foxit reader ดีกว่า pdf ยังไงบ้างครับ

Foxit เป็นของฟรีใช้เปิด pdf ใช้เวลารันตัวเองน้อยกว่าadobe
...ถ้าเป็นpdf ที่แปลงมาจากwordมันจะcopt text ได้ แต่ถ้าแปลงมาจากไฟล์รูปภาพ ก็จบ.
...ผมอยากอ่านวิธีเฉลยแต่คงจะถอดใจแล้ว เพราะcopyไม่ได้ ได้แต่คำตอบ
เดี๋ยวแก้ที่เฉลยไว้ครับ รีบเขียน

ขอบคุณครับ

อีกข้อครับ

ข้อนี้ก็ไม่ได้แปลภาษาจีน แต่จำได้ว่า รูปแบบนี้เคยทำมาก่อน (ทำโจทย์แยะๆ ก็ดีอย่างนี้แหละ :haha:)
ref : http://www.mathcenter.net/forum/showthread.php?t=3948

Attachment 5978

โจทย์น่าจะเป็นแบบนี้
$\triangle ABC$ เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก มี C เป็นมุมฉาก BN และ CM เป็นเส้นมัธยฐานตัดกันเป็นมุมฉาก
ถ้า BC ยาว 5 หน่วย จงหาความยาว BN

Attachment 5979

เส้นมัธยฐานตัดกัน(ที่จุด O )จะแบ่งเส้นมัธยฐานเป็นอัตราส่วน 2 : 1 ดังภาพ

$\triangle BCO \ \ \ \ 4a^2 + 4b^2 = 25 $ ........(1)

$\triangle CNO \ \ \ \ CN^2 = 4a^2 + b^2 $ ........(2)

$\triangle CBN \ \ \ \ CN^2 = 9b^2 - 25 $ ........(3)

$(2) = (3) \ \ \ \ 4a^2 - 8b^2 = -25 $ ........(4)

(1) - (4) $ \ \ \ \ \ \ 12b^2 = 50$

$b = \frac{5}{2}\sqrt{\frac{2}{3}} $


$3b = \frac{15}{2}\sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{5}{2} \sqrt{6} $

$BN = \frac{15}{2}\sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{5}{2} \sqrt{6} $

ข้อแรก 5\frac{x}{y} 2x+2\frac{x}{y} 5y=1\frac{x}{y} 100
=5\frac{x}{y} 2x=1\frac{x}{y} 100-2\frac{x}{y} 5y=y-40\frac{x}{y} 100y
500y=2xy-80x
= 2x(y-40)
250y=x(y-40)
x=250y\frac{x}{y} y-40
y-40 เป็นตัวประกอบของ250
ตัวประกอบของ 250 ได้แก่ 1,2,5,10,25,50,125,250
จำนวนเต็มบวกy มีได้8 ค่าที่ทำให้ x เป็นจำนวนเต็มบวก ผิดตรงไหนช่วยแนะนำด้วยครับ:please::please:

คุณ วะฮ่ะฮ่า03 ควรอ่านวิธีการใช้ lateX ก่อนนะครับ :great:

Attachment 5980


รูปที่ 10 มีวงกลมกี่วง ?



รูปที่ 1 มี 1 วงกลม

รูปที่ 2 มี 1 + 6 วงกลม

รูปที่ 3 มี 1 + 6 + 12 วงกลม

รูปที่ 4 มี 1 + 6 + 12 +18 วงกลม
.
.
.
รูปที่ n มี 1 +6(1+2+3+...+ (n-1)) วงกลม

= $1 + 6(\frac{(n-1)(n-1+1)}{2})$

$ = 1 + 3n(n-1)$

รูปที่ 10 มีวงกลม $1 + 3(10)(10-1) = 271 $ วง

มาได้ถูกทางแล้ว แต่ผมแปลงต่อไปอีกหน่อยคือ
$x=250+\frac{250\times 40}{y-40} $
$y-40$ เป็นตัวประกอบของ $250\times 40\rightarrow 5^4\times 2^4$
$5^4\times 2^4$ มีจำนวนเต็มที่เป็นตัวประกอบเท่ากับ $(4+1)(4+1)=25$ จำนวน
ดังนั้นมีค่า $y$ เกิดขึ้น $25$ จำนวนและแต่ละจำนวนทำให้เกิดค่า $x$ ได้อีก $25$ จำนวน
มีคู่ลำดับ $(x,y)$ ทั้งหมด $25$ คู่

ผมแปลข้อสอบ IWYMIC ปี 2011 ไว้เรียบร้อยแล้ว แต่ผมอัพโหลดไฟล์ pdf ไม่เป็น :sweat: ถ้าใครจะช่วยอัพโหลดไฟล์ ผมจะส่งไฟล์ไปให้ครับ ส่วนของปี 2010 ผมจะแปลให้เร็วๆนี้

นักศึกษาปักกิ่งตัวจริงมาแล้วครับ :D


ขอบคุณครับ

คุณ Banker ช่วยสอนวิธีวิธีอัพโหลดไฟล์ให้ผมหน่อยครับ ผมจะได้ส่งเป็น

http://www.upload-thai.com/download....9daf81e835742c
ผมลองฝึกอัพโหลดไฟล์ครั้งแรก ถ้าไฟล์มีปัญาหาอะไรกรุณาบอกผมด้วย เพื่อที่จะได้แก้ไขต่อไป

ขอบคุณมากครับคุณminy.....โหลดได้ครับ บ่มีปัญหา...น้ำใจยอดเยี่ยมมาก
เปิดดูแล้วแปลได้ดีมากครับ
ข้อสอบคัดตัว ไม่มีฉบับภาษาอังกฤษ เพราะใช้แข่งในประเทศเขาเป็นหลัก
ผมขอแปะฉบับเฉลยไว้....ซึ่งก๊อปปี้textไม่ได้ หมดปัญญาแล้ว

2011IWYMIC-solution
2010IWYMIC-solution

เผื่อมีใครอยากได้เฉลยไปดู....สำหรับฉบับเฉลย ไม่รบกวนแปลครับ คิดว่าจากคำตอบ คงหาวิธีทำได้

ที่ up ไป ก็โอเคแล้วครับ เพียงแต่เว็บบนี้ไม่อนุญาตให้ฝากรูปเป็น pdf. file

ได้แค่ gif, jpe , jpeg , jpg , png,

ดังนั้น เวลาโพสต์ ต้องตัดมาเป็น gif, jpe , jpeg ,jpg , png, format จึงจะโพสต์ได้

ผมตัดมาให้เป็นข้อๆ เผื่ออ้างอิงเวลานำไปทำโจทย์

Attachment 5985

Attachment 5986

Attachment 5987

Attachment 5988

Attachment 5989

Attachment 5990

Attachment 5991

Attachment 5992

Attachment 5993

Attachment 5994

Attachment 5995

Attachment 5996

Attachment 5997

Attachment 5998

Attachment 5999

Attachment 6001

Attachment 6000

ถ้าเราหมุนสามเหลี่ยม DXY ให้ตั้งตรง
Attachment 6002

จะได้เส้นรอบรูป AXY = 2011+2011 = 4022 หน่วย

ข้อ5....เฉลยตามที่ลุงBankerเฉลยไว้ คือ $44445$
ห้าหลักท้ายสุดของผลคูณ..ลองแปลงให้เป็น
$(\underbrace{666...666}_{2004 ตัว}00000+66665)(1\underbrace{33....333}_{2007 ตัว}00000+33333 ) $

เลขห้าหลักท้ายเกิดจาก $66665\times 33333$
$66665\times 3\times (10,000+1,000+100+10+1)$
$66665\times 3=199995$
$199995 \times (10,000+1,000+100+10+1)$

$\quad 1999950000$
$+ \quad 199995000$
$+ \quad 19999500$
$+ \quad 1999950$
$+ \quad 199995$
=$....44445$

#36
แสดงวิธีทำแบบนี้หรือครับ - -"

เอาคำตอบก่อน

ถ้าแสดงวิธีทำแบบนี้ก็ไม่ได้คะแนน :haha:

ขอบคุณคุณหมอกิตติมากๆครับ



ข้อนี้ได้ $\dfrac{36+25\sqrt{3}}{4}$ หรือเปล่าครับ

หมุนรูป BCP ตามเข็มนาฬิกา 60 องศาครับ รูปอื่นก็หมุนเหมือนๆกัน ให้จุดใหม่คือ $P^'$

แล้วจะได้รูป $BPP^'$ เป็นสามเหลี่ยมด้านเท่า จะได้รูป $APP^'$ มีด้านยาว 3,4,5

รูปอื่นก็ทำเหมือนๆกัน ได้สมการ

$2\bigtriangleup ABC= 3\sqrt{6(6-3)(6-4)(6-5)}+\dfrac{\sqrt{3}}{4}(3^2+4^2+5^2)$

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = \dfrac{36+25\sqrt{3}}{4}$