ข้อสอบโรงเรียนมหิดลวิทยานุสรณ์รอบที่ 2 วิชาคณิตศาสตร์
อัพเดทโจทย์ดีกว่า ลืมกระทู้นี้ไปนานแสนนาน (อัพเดทข้อ 7-12)
1. $24^n$ หาร (1)(2)(3)...(100) ลงตัว จงหา n ที่มากที่สุด 2. $2^a3^b5^c7^d$ หาร (1!)(2!)(3!)...(10!) ลงตัว จงหาค่าที่มากที่สุดของ a+b+c+d โดยที่ $ n!=1\times2\times3\times...\times (n-1)\times n $ โดยที่ n เป็นจำนวนเต็มบวก 3. คะแนนเฉลี่ยของข้อสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียนห้องหนึ่งเป็น 80 คะแนน คะแนนเฉลี่ยของคนที่สอบผ่านเป็น 84 คะแนน คะแนนของคนที่สอบไม่ผ่านเป็น 60 คะแนน จำนวนคนสอบไม่ผ่านน้อยกว่าคนสอบผ่านอยู่ 40 คน ผลรวมของคนที่สอบไม่ผ่านเป็นเท่าไหร่ 4. $9^{x^2+2x+1}=\frac{1}{3^x}$ มีคำตอบเป็นจำนวนจริง 2 จำนวน จงหาผลคูณของราก 5. $ให้x=\sqrt[4]{33} แล้ว \frac{1}{2}(9x-\frac{1}{x})^2-\frac{(9x^2+1)^2}{2x^2} มีค่าเท่าใด$ 6. จงหาผลบวกของสัมประสิทธิ์ของพจน์ $x^2 และ x^5 จากการกระจาย (1+2x+3x^2)^3$ 7. วันที่ 15 มกราคม 2551 เป็นวันออกสลากเลขท้าย 2 ตัวจงหาความน่าจะเป็นที่สลากที่ออกมีเลขโดดในหลักหน่วยเป็นเลขคู่และหลักสิบมากกว่าหลักหน่วยอยู่ 1 หรือ สลากนั้นเป็นเลขที่หารด้วย 6 ลงตัว 8. อัตตราส่วนของลูกบอลสีแดงต่อลูกบอลสีเหลืองเป็น 2:5 หลักจากำลูกบอลสีแดงเพิ่มเข้าไป 20 ลูกทำให้อัตตราส่วนนดังกล่าวเป็น 3:7 จงหาว่ามีลูกบอลสี เหลืองกี่ลูก 9. กำหนดให้ $x^2+1= 1850 , y^3-1 = -12,168 \rightarrow \sqrt{(xy)^2}$ มีค่าเท่าใด 10. จำนวนเต็มบวกสองจำนวน โดยที่ผลคูณของสองจำนวนเป็น 8400 ค.ร.น ของสองจำนวนนี้เป็น 420 จงหาผลบวกของจำนวนแรกทุกค่าที่เป็นไปได้ 11. ABC เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก , AB และ BC เป็นด้านประกอบมุมฉากยาว 5 และ 12 หน่วย ตามลำดับ สร้างสี่เหลี่ยมจตุรัส ACHI ,ABED และ BCGF บนด้าน AC ,AB และ BC ตามลำดับ จงหาพื้นที่หกเหลี่ยม DEFGHI 12. เส้นแบ่งครึ่งมุม ABC พบกันภายในที่จุด D ถ้า มุมB= 76องศา และ AB+BD = AC จงหาขนาดของมุม C |
อ้างอิง:
1. เพราะว่า $24=2^3\times 3$ และ $2^{97}\mid 100!$ ซึ่ง 97 เป็นค่ามากสุด แต่ $3\nmid 97$ เพราะฉะนั้น กำลังมากสุดของ $2$ คือ $96=3\times 32$ ในทำนองเดียวกัน จะได้ว่ากำลังสูงสุดของ $3$ คือ $47$ เพราะฉะนั้น $n=32$ มั้ง 2. ก็เช่นเดียวกัน |
ข้อ 1 ถูกนะครับ (ตามความคิดของผม)
ลองคิดว่าคณิตศาสตร์คือยาที่ต้องผสม $24=2^3\times3$ ใช้ 2 อยู่ 3 ตัว ใช้ 3 อยู่ 1 ตัว 100! มี 2 อยู่ 50+25+12+6+3++1 = 97 ตัว 100! มี 3 อยู่ 33+11+3+1 = 48 ตัว เลข 2 ผสม 24 ได้ 32 ตัว , เลข 3 ผสม 24 ได้ 48 ตัว แต่จำนวนของ 2 ไม่เพียงพอต่อการผสม 24 ดังนั้นจึงผสมได้มากที่สุด 32 ตัวครับ ปล. สำหรับการรู้ว่า 100! มี 2 กี่ตัวมี 3 กี่ตัว สามารถอ่านได้ที่ http://www.mathcenter.net/forum/showthread.php?t=5474 ใน เรป 9 และเรป 10 อธิบายได้ดีมากๆเลย |
ได้สามสมการคือ $\displaystyle{\frac{x+y}{(n+40)+n}=80,\,\frac{x}{n+40}=84,\,\frac{y}{n}=60}$ |
ข้อ 3 ผมทำตามแบบของผมนะครับได้ คนที่ สอบไม่ผ่าน 10 คน คิดเป็นคะแนนทั้งหมด 600 คะแนนครับ ถูกป่าวครับ
ข้อแรกอ่าครับ ตรงที่ว่า2 ผสม 24 ได้ 32 นี่มาจาก 24 มี $2^3$เป็นตัวประกอบ ดังนั้นเมื่อคิด แค่ 2 อย่างเดียวมันจะได้ 97 ตัว แต่ถ้าเป็น 24 ก็ต้องหาร 3 รึป่าวครับ เพราะว่า จะเกิด 24 ต้องอาศัย 2 ทั้งหมด 3 ตัว ดังนั้น เมื่อ มี 97 ตัวก็ต้องนำมาหาร 3 เพื่อแบ่งเป็นกลุ่มว่าจะได้ 24 ทั้งหมดกี่ตัว รึป่าวครับ เอ่อ ผมลองทำข้อ 2ดูนะครับ ผมได้ 66 อ่าครับถูกป่าวครับ |
ข้อ 2 ถูกครับ ข้อ 3 คิดได้เหมือนผมเลยแต่ผิดครับ TT เด๋วเพิ่มข้ออื่นๆให้นะครับ
|
อ้างอิง:
จาก 3 สมการ จะได้ว่า $$(2n+40)80=84(n+40)+60n$$ แล้วแทนค่ากลับ |
ข้อ 4 ผมได้ 1 ครับ
ข้อ 5 ได้ -18 ครับ ข้อ 6 ได้75 คับ ถูกปะครับ รีบๆกลัวผิด อิอิ หง่า ข้อ 3 ผิดตรงไหนหรอครับ ผมว่ามันได้เท่านี้นะ ชี้แนะด้วยคับ อิอิ |
คำตอบคือ 4200 ครับไม่รู้ทำไมคงต้องรอเทพมาเฉลยอ่ะครับ(คิดได้เท่าผม TT)
ตอนที่ 2 คุณ teamman ถูกทุกข้อเลยครับ :great::laugh: |
พี่กระตั้วเค้าเฉลยออกมาว่า 4200 ครับแต่ไม่รู้ว่าวิธีทำของผมถูกหรือเปล่านะแต่คำตอบตรงอ่ะครับ
คนสอบผ่าน 84 คะแนน x คน คนสอบตก 60 คะแนน , x-40 ตน เฉลี่ย 80 คะแนน , 2x-40 คน จะได้คามสัมพันธ์ว่า $\frac{คะแนนเฉลี่ยผ่าน+คะแนนเฉลี่ยตก}{จำนวนคน} = คะแนนเฉลี่ยแต่ละคน$ $\frac{84x+60(x-40)}{2x-40} = 80$ $x = 50$ คนสอบผ่านมี x คนเฉลี่ยคนละ 84 คะแนน คะแนนรวมเป็น $84\times50 = 4200$ ครับ |
อ้างอิง:
จาก $9^{x^2+2x+1}=\frac{1}{3^x}$ จะได้ว่า $3^{2x^2+4x+2}=3^{-x}$ $2x^2+4x+2=-x$ $2x^2+5x+2=0$ ผลบวกของรากคือ $\frac{c}{a}$นั่นก็คือ 1 ครับผม ---------------------------------------จบ----------------------------------------------- |
อ้างอิง:
ตอนแรกเริ่มจาก$x^2+1= 1850$ $x^2=1849$ $x=\pm 43$ ต่อจากนั่น $y^3-1 = -12,168$ $y^3=-12,167$ $y=-23$ ดังนั้น $\sqrt{(xy)^2}=\left|\,\right. xy\left.\,\right| =\left|\,\right. (23)(\pm 43)\left.\,\right| =989$ ด้วยประการชะนี้แล ^^ :mellow::) ขอแก้เพิ่มข้อ 8 ไปหน่อยแล้วกันนะครับ (หลังจากดูการ์ตูนมาราธอนมาหลายชั่วโมง ^^) ผมให้มีลูกบอลสีแดง มี x ลูก และ ลูกบอลสีเหลืองมี y ลูก เราจะได้ว่า$\frac{x}{y}=\frac{2}{5}$ และ $\frac{x+20}{y}=\frac{3}{7}$ แล้วแก้สมการ สองตัวแปรธรรมดา จะได้ x= 280 และ y=700 ครับผม |
อ้างอิง:
วิธ๊คิดก็ $ \frac{1}{2}(9x-\frac{1}{x})^2$ จากตรงนี้เราสามารถจัดรูปได้ใหม่ว่า $ \frac{1}{2}(9x^2-x)^2(\frac{1}{x^2})$ แล้วเราก็มาแทนในโจทญืจะได้ $ \frac{1}{2}(9x^2-1)^2(\frac{1}{x^2})-\frac{(9x^2+1)^2}{2x^2}$ $ \frac{(9x^2-1)^2-(9x^2+1)^2}{2x^2}$ $ \frac{-36x^2}{2x^2}$ $-18$ คำตอบคือ -18 ครับ:cool::cool: |
ข้อ1ตอบ32
ข้อ3ตอบ600คะแนน ข้อ4ตอบ1 ข้อ5ตอบ-18 ข้อ7ตอบ1ใน5 ข้อ8ตอบ30ลูก โอเคครับพอและ ข้อที่เหลือที่เว้นว่างคือไม่แน่ใจก่ะทำไม่ได้ครับแล้วก็รวมถึงขี้เกียจคูณอย่างข้อ9ด้วยครับ |
ข้อ 1 ตอบ 32
ข้อ 3 ตอบ 4200 คะแนน ข้อ 4 ตอบ 0.21 ข้อ 5 ตอบ 66 ข้อ 7 ตอบ -18 ข้อ 8 ตอบ 1 ผมว่าคุณ Kira Yamato ใส่คำตอบผิดข้อนะครับ |
ข้อ11นะครับ
ต่อ $BC$ ออกมาถึง $X$ โดยให้ $BC=CX$ พิจารณา สามเหลี่ยม$ACX$ และสามเหลี่ยม$HCG$ $AC=CH$ $CX=CG$ มุม$ACX=$มุม$HCG$ ดังนั้น สามเหลี่ยม$ACX$เท่ากันทุกประการกับสามเหลี่ยม$HCG$ $[\Delta HCG]=[\Delta ACX]=\frac{1}{2}\times12\times5=30$ ในทำนองเดียวกันจะได้ว่า $\Delta DAI$เท่ากันทุกประการกับ$\Delta AYC$ $[\Delta DAI]=[\Delta AYC]=\frac{1}{2}\times5\times12=30$ พื้นที่รูปหกเหลี่ยม $DEFGHI=$พื้นที่สี่เหลี่ยม$ABED+$พื้นที่สี่เหลี่ยม$ACHI+$พื้นที่สี่เหลี่ยม$BCGF+$พื้นที่สามเหลี่ยม$DAI+$พื้นที่สามเหลี่ยม$ABC+$พ ื้นที่สามเหลี่ยม$BEF+$พื้นที่สามเหลี่ยม$CGH$ $=25+169+144+30+30+30+30=458$ |
ถูกต้องครับ ผมทำมานานแล้วข้อนี้ ไม่ออกซะที ขอบคุณสำหรับวิธีทำครับคุณ winlose :great:
|
ข้อ6ครับ เห็นมีแต่คำตอบไม่มีวิธีทำ
$(1+2x+3x^2)^3=\binom{3}{3,0,0}+\binom{3}{2,1,0}(2x)+$$\binom{3}{2,0,1}(3x^2)$$ +$$\binom{3}{1,2,0}(2x)^2$$+\binom{3}{1,0,2}(3x^2)^2+\binom{3}{1,1,1}(2x)(3x^2) +\binom{3}{0,3,0}(2x)^3+\binom{3}{1,2,0}(2x)^2 +\binom{3}{0,2,1}(2x)^2(3x^2)+$$\binom{3}{0,1,2}(2x)(3x^2)^2$$+\binom{3}{0,0,3}(3x^2)^3$ สัมประสิทธิ์ของ $x^2$ คือ $\binom{3}{2,0,1}(3x^2)+\binom{3}{1,2,0}(2x)^2=9x^2+12x^2=21x^2$ สัมประสิทธิ์ของ $x^5$ คือ $\binom{3}{0,1,2}(2x)(3x^2)^2=54x^5$ ผลบวกของสัมประสิทธิ์ของ $x^2$ และ $x^5$ คือ $21+54=75$ ปล.ผมไม่แน่ใจนะครับว่าเขียนกระจายครบรึยัง:aah: แต่พจน์ $x^2$ และ $x^5$ มีอยู่แค่นั้นแหละครับ:D |
คำตอบถูกแต่วิธีทำอาจจะไม่ได้คะแนนเลยนะครับเพราะเกินหลักสูตรมา
ผมใช้วิธีการตั้งคูณตามแบบเรียน สอวน. ครับ เร็วดี |
เสริมข้อ 11 ครับ ข้อนี้เป็นข้อสอบรอบแรกของปีที่แล้วครับ ไม่ใช่รอบที่ 2 โจทย์ข้อนี้เคยมีการถามในกระทู้เก่าหลายครั้งแล้วครับ จริงๆ โจทย์ข้อนี้เคยเป็นข้อสอบแข่งขันคณิตศาสตร์ของสมาคมหลายปีก่อนโน้น บางคนอาจจำเลยก็ได้ว่าพื้นที่ที่ว่าก็ คือ $(a+b)^2+c^2$
|
อ้างอิง:
|
อ้างอิง:
$AB+BD=AC$ $AE+EB+BD=AG+GC$ จาก $AE=AG$ $EB+BD=GC$ $\frac{r}{\sin38}+r\cot38=r\cot\theta$ $r\csc38+r\cot38=r\cot\theta$ $r(\csc38+\cot38)=r\cot\theta$ $\csc38+\cot38=\cot\theta ...(1)$ จากเอกลักษณ์ $\csc^2\theta-\cot^2\theta=1 ...(2)$ $\frac{(2)}{(1)}; \csc38-\cot38=\frac{1}{\cot\theta} ...(3)$ $(1)+(3); 2\csc38=\cot\theta+\frac{1}{\cot\theta}$ $2\csc38=\frac{\sin^2\theta+\cos^2\theta}{\sin\theta\cos\theta}$ $2\csc38=\frac{1}{\sin\theta\cos\theta}$ $(2\sin\theta\cos\theta)\csc38=1$ $ \frac{\sin2\theta}{\sin38}=1$ ดังนั้น $\sin2\theta=\sin38$ เนื่องจาก มุม$C=2\theta มากกว่า $0$ แต่น้อยกว่า $104$ ดังนั้น 2\theta=38$ only :great: |
ถูกต้องครับคุณ warutT :great:
|
อ้างอิง:
|
[quote='[SIL];40179']อัพเดทโจทย์ดีกว่า ลืมกระทู้นี้ไปนานแสนนาน (อัพเดทข้อ 7-12)
4. $9^{x^2+2x+1}=\frac{1}{3^x}$ มีคำตอบเป็นจำนวนจริง 2 จำนวน จงหาผลคูณของราก ข้อนี้นะคร้าบ $9^{x^2+2x+1}=\frac{1}{3^x}$ $3^{2x^2+4x+2}=3^{-x}$ เพราะฉะนั้น $2x^{2}+4x+2= -x$ $2x^{2}+5x+2=0$ โจทย์ถามผลคูณค่าราก ก็ $\frac{2}{2}=1$ คุณSiLครับข้อนี้ผมว่าผมถูกแล้วนาครับ ผิดตรงไหนบอกด้วย ปล.ผมมาแทน Kira Yamato คนเก่าครับ เผอิญผมLog in อันเก่าไม่ได้ครับ |
อ้างอิง:
จัดรูปจะได้ว่า $frac{(9x^2-1)^2}{2x^2}-frac{(9x^2+1)^2}{2x^2}$ มันก็คือผลต่างกำลัง2 จะได้ $\frac{(9x^2-1-9x^2-1)(9x^2-1+9x^2+1}{2x^2}$ $\frac{(-2)(18x^2)}{2x^2}$ $\frac{-36x^2}{2x^2} = -18$ ผิดตรงไหนบอกด้วยครับ |
ข้อ7ครับ
จะเห็นว่าเลขท้าย2ตัวอ่ะครับ มี 00-99ครับ เขาบอกมา2กรณีเอากรณีแรกก่อนล่ะกันครับ เขาบอกว่าหลักหน่วยต้องเป็นเลขคู่ ซึ่งก็มี 0,2,4,6,8หลัก10มากกว่าหลักหน่วยอยู่1แสดงว่า เลขสลากในกรณีนี้มี 10 ,32 ,54 , 76 ,98 ครับมี5จำนวน กรณีที่2คือ หรือ6หารลงตัว ผมก็ใช้วิธีปัญญาอ่อนแหละครับ นั่งไล่ท่องสูตรคูณครับ ก็มี 0,6,12,18,24,30,36,42,48,54,60,66,72,78,84,90,96มี17จำนวน แต่มีเลขซำอยู่1จำนวนคือ 54 ดังนั้น สลากจึงจำได้ 16+5=21 ความน่าจะเป็นจึง =0.21 |
อ้างอิง:
|
ผมเห็นหัวข้อแล้วไม่ตรงกับห้องเลยครับ อยากจะเสนอให้ย้ายกระทู้นี้ไปอยู่ในที่กระทู้ของปัญหาหรือข้อสอบโรงเรียน ม.ต้น เพราะอีกหน่อยถ้าใครจะมาค้นจะได้ง่าย ไม่รู้ว่าจะดีมั้ยครับ เพราะเห็นว่าเนื้อหาคงเป็นประโยชน์สำหรับรุ่นต่อๆ ไป เวลาจะมาหาข้อมูลหรือโจทย์จะได้เจอครับ
ปล.ทางผู้ดูแลถ้าไม่เห็นด้วยลบกระทู้นีได้เลยครับ หรือถ้าย้ายแล้วก็ลบได้เช่นกันครับ |
ผมเห็นด้วยที่ว่าจะได้หาง่ายอ่ะครับ
เดี๋ยวขอเคลียร์ข้อ8ต่อเลยล่ะกันนะครับ 8. อัตตราส่วนของลูกบอลสีแดงต่อลูกบอลสีเหลืองเป็น 2:5 หลักจากำลูกบอลสีแดงเพิ่มเข้าไป 20 ลูกทำให้อัตตราส่วนดังกล่าวเป็น 3:7 จงหาว่ามีลูกบอลสีเหลืองกี่ลูก ผมให้ มีลูกบอลสีแดง r ลูก แล้วก็สีเหลือง yลูกล่ะกันครับ จากโจทย์ จะเห็นว่า $\frac{r}{y} = \frac{2}{5} $ $ 5r=2y$ $5r-2y=0$............................(1) ถ้าเพิ่มลูกแดงไป20ลูก ก็จะได้ว่า $\frac{r+20}{y}=\frac{3}{7}$ $7r+140=3y$ $7r-3y=-140$.....................(2) 7(1)-5(2) ; $35r-14y -35r+15y=140$ $y=140$ เพราะงั้นมีลูกบอลสีเหลียง 140ลูกครับ |
โห นี่หรือข้อสอบมหิดลรอบ 2 -_- เห็นแล้วท้อเลยอ่า T^T เสาร์นี้ก็สอบแล้วด้วย สู้ๆนะฮับทุกคน ^^
|
อ้างอิง:
|
ขอโทษครับ
คิดเลขผิดขอแก้ได้มั๊ยครับ |
คนเรามันก็ต้องมีผิดพลาดมั่งล่ะฮับ ^^ แต่ถ้าไปผิดตอนสอบจริงนี่ก็คงโมโหแน่เลย -*- จริงมั๊ย ?? คุณ Kira ^^
|
อ้างอิง:
|
นับครับ
เพราะว่าเงื่อนไขที่2เขาไม่ได้บอกว่าต้องเป็น2หลักนี่ครับ เขาแค่บอกว่า หรือ จำนวนที่6หารลงตัวครับ ไม่ได้บอกว่าต้องเป็น2หลัก อีกอย่างนะครับมันก็เป็นสลาก2ตัวท้ายได้เหมือนกันแหละครับ 06ก่ะ00ไงครับ |
ผมไม่แน่ใจว่าข้อ 7 ผมจะคิดตรงรึป่าวนะฮับ ??
ผมจำแนกว่ากรณีทั้งหมดที่สลากจะออกเลขท้าย 2 ตัวได้ก็มีตั้งแต่ 00-99 ซึ่งมีทั้งหมด 100 ตัว จากโจทย์กรณีแรกคือเลขโดในหลักสิบมากกว่าในหลักหน่วยอยู่ 1 และหลักหน่วยเป็นเลขคู่นั้นน่ะ เราจะได้เลขตามเงื่อนไขดังนี้ 10,32,54,76,98 ได้ทั้งหมด 5 ตัว ส่วนกรณี 2 6 หารลงตัวก็มีดังนี้ 00,06,12,18,24,30,36,42,48,54,60,66,72,78,84,90,96 ได้ทั้งหมด 17 ตัว พอเอามารวมกันมันได้ทั้งหมด 5+17 = 22 ตัวตามเงื่อนไข แต่ทว่าทั้ง 2 เงื่อนไขต่างก็มี 54 เหมือนกันทั้งคู่เราก็เลยต้องหักออกไป 1 จะได้ไม่ซ้ำกันก็จะเหลือทั้งหมด 22-1 = 21 ตัวน่ะฮับ ^^ ดังนั้น คำตอบก็น่าจะเป็น $\frac{21}{100} $ = 0.21 นะฮับ (ถูกป่าวหว่า :mad:) |
จริงด้วยขอโทษนะครับ :sweat::sweat:
|
ไม่เป็นไรหรอกฮับ ใครๆก็ผิดพลาดกันได้ทั้งนั้น ^^ :sung:
|
ตอบ 0.21 อย่างที่คุณ Athrun Zala บอกจริงๆครับ
|
เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 13:02 |
Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha