ใครก็ได้ช่วยคิดหน่อย

[AzByCx]

1. ถ้า a,b,c,d เป็นจำนวนจริง และ a+b+c+d=3 และ $a^2+b^2+c^2+d^2 = 45$
แล้ว จงหาค่าของ $\frac{a^5}{(a-b)(a-c)(a-d)}$ + $\frac{b^5}{(b-c)(b-d)(b-a)}$ + $\frac{c^5}{(c-b)(c-d)(c-a)}$ +$\frac{d^5}{(d-a)(d-a)(d-c)}$
2. จงหาจำนวนเต็ม x ที่ทำให้ $(4-x)^{(4-x)} + (3-x)^{(3-x)} + 20 = 4^x + 3^x$
3. สามเหลี่ยม ABC มี มุม ACB กาง 90 องศา ABDE เป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสบน AB เส้นแบ่งครึ่งมุม C ตัด DE ที่ F ถ้า AC = 5 , BC = 13 จงหาค่าของ $\frac{DE}{EF}$
4. กำหนดระบบสมการ $x^2+y^2 = 9$ , $y^2 + \sqrt{2}yz + z^2 = 16$ และ $x^2 + \sqrt{2}xz + z^2 = 25$ จงหาค่าของ $\sqrt{2}xy + yz +zx$

[poper]

ข้อ 2)
ลองแทนค่า x ได้ $x=2$ ครับ

[nooonuii]

2. ลองแยกกรณีดูครับ แบ่งเป็น

$x< 0$

$0\leq x\leq 4$

$x\geq 4$

[Puriwatt]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ poper

ข้อ 2)
ลองแทนค่า x ได้ $x=2$ ครับ

ถูกต้องแล้วครับ
(แถมรูปให้ดู)

ข้อ 1.แทนค่า (a,b,c,d) = (6,-3,0,0) หรือ (5,-4,2,0) ก็ได้คำตอบ 27 (แบบว่าไม่อยากถึกครับ)

[Puriwatt]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ AzByCx

3. สามเหลี่ยม ABC มี มุม ACB กาง 90 องศา ABDE เป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสบน AB เส้นแบ่งครึ่งมุม C ตัด DE ที่ F
ถ้า AC = 5 , BC = 13 จงหาค่าของ $\frac{DE}{EF}$

วาดรูปแล้วคิด ตอบ $\dfrac{DE}{EF} = \dfrac{18}{13}$ จ้า

[RM@]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ AzByCx

1. ถ้า a,b,c,d เป็นจำนวนจริง และ a+b+c+d=3 และ $a^2+b^2+c^2+d^2 = 45$
แล้ว จงหาค่าของ $\frac{a^5}{(a-b)(a-c)(a-d)}$ + $\frac{b^5}{(b-c)(b-d)(b-a)}$ + $\frac{c^5}{(c-b)(c-d)(c-a)}$ +$\frac{d^5}{(d-a)(d-b)(d-c)}$

ให้ $S_n = \frac{a^n}{(a-b)(a-c)(a-d)}$ + $\frac{b^n}{(b-c)(b-d)(b-a)}$ + $\frac{c^n}{(c-b)(c-d)(c-a)}$ +$\frac{d^n}{(d-a)(d-b)(d-c)}$

จะได้ $S_{n+4} - (a+b+c+d)S_{n+3} + (ab + ac + ...+ cd)S_{n+2} - (abc+abd+acd+bcd)S_{n+1} + (abcd)S_n = 0$

และ $S_0 = S_1 = S_2 = 0, S_3 = 1$

ดังนั้น $S_4 = a+b+c+d = 3$

และ $S_5 = (a+b+c+d)S_4 - (ab+ac+...+cd)S_3 = 3(4) - (-18)(1) = 30$

[Onasdi]

วิธีสวยดีครับ

[คนอยากเก่ง]

ข้อ1 มีวิธีง่ายๆกว่านี้ไหมครับ

[LightLucifer]

#8
ผมว่าวิธีนี้ง่าย + สวยแล้วนะครับ

ปล ถ้าง่ายกว่านี้ก็ทำแบบคุณ Puriwatt ครับ ถ้าไม่ได้ให้แสดงวิธีทำนะ