#1
|
|||
|
|||
กรุป ครับท่าน
ผมเจอโจทย์ข้อ หนึ่งในหนังสือ เขาบอกว่าให้ แสดงว่าเมื่อ n\geqslant 3 เเล้ว Sn (permutation group ของเชต {1 2 3 ... n}) จะ ไม่เป็น อาบีเลียน กรุป ช่วยหน่อยนะครับ ขอบคุณมาก
|
#2
|
||||
|
||||
เราอยากแสดงว่า $S_n$ ไม่เป็น abelian group เราก็ต้องหาสมาชิก $a,b$ มาซึ่ง $ab\not=ba$ ใช่ไหมครับ ลองเลือก $a,b$ ดูครับ ถ้ายังไม่ได้ บอกนะครับ
|
#3
|
|||
|
|||
ผมเจอว่า Sn มากกว่า 5 ไม่เป็น Abelian
$n\geqslant 3$ ใช่มั้ยครับ 17 ตุลาคม 2010 19:37 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ kongp |
#4
|
|||
|
|||
ผมยังหาไม่ได้ครับ
|
#5
|
|||
|
|||
ใบ้ให้อีกว่า เราสามารถ embed $S_3$ เข้าไปใน $S_n$ ได้เสมอ
ดังนั้นเพียงพอที่จะพิสูจน์ว่า $S_3$ ไม่ abelian
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#6
|
|||
|
|||
ถ้า S3 embed Sn เเสดงว่า Sn มีกรุปย่อยบางตัวที่ iso กับ S3 ผมได้ไอเดียเเล้วขอบคุณ ทุกท่านมากครับ ว่าเเต่ทำไม S3 ถึง embedใน Sn ครับขอบคุณมากครับ
|
#7
|
||||
|
||||
พิจารณา $G=\{\sigma\in S_n\,|\,\sigma(x)=x$ ทุก $x\geqslant 4\}$ จะ isomorphic กับ $S_3$ พอดีครับ
|
#8
|
|||
|
|||
ถ้ามองในแง่ cycle decomposition จะเห็นได้ชัดมากครับ
เช่น ใน $S_3$ เรามี $(123)$ ใน $S_n$ เราก็มี $(123)$ เหมือนกัน แต่สองตัวนี้ต่างกัน เพราะตัวหลังหน้าตาจริงๆมันคือ $(123)(4)(5)\cdots (n)$ ตอน embed ก็ใช้การส่งที่เป็นธรรมชาติที่สุดคือส่ง $(123)$ ไปยัง $(123)(4)\cdots(n)$
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#9
|
|||
|
|||
ข้ออีกคำถามนึงนะครับถ้า Sn สามารถอธิบายโครงสร้างของกรุปการเรียงสับเปลื่ยนใดทั้งหมด หรือ Sn iso SA เมื่อ |A|= n
ถ้า |A| = infenety จะเกิดอะไรขึ้นครับ ถ้าเป็นกรุปจะมีโครงสร้างยังไงครับ ขอบคุณมาก |
#10
|
|||
|
|||
มันก็ยังคงเป็น group ของการเรียงสับเปลี่ยนอยู่ครับ
เพราะความหมายของการเรียงสับเปลี่ยนคือฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งและทั่วถึง แต่ต้องเจาะจงโดเมนให้ดีครับเพราะเซตอนันต์มีอยู่สองแบบ ตัวอย่างเช่น $S_{\mathbb{N}}$ ก็คือ group ของฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงจาก $\mathbb{N}$ ไปยัง $\mathbb{N}$ ทั้งหมด group structure จะเริ่มยากขึ้นมากครับพอเป็นเซตอนันต์ ที่เห็นได้ชัดเลยคือมันจะมี subgroup ที่เป็น finite group ทั้งหมดตามทฤษฎีบทของ Cayley ยังมีสมบัติอีกหลายอย่างที่ผมยังไม่รู้ครับ
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#11
|
|||
|
|||
เคยอ่านหนังสือวิชา Computation Geometry ผมเดาว่าหากจำนวนธรรมชาติถูกใช้แทนอย่างที่ตอบข้างบน ความผิดพลาดจะเกิดขึ้น หรือแม้แต่ในกรณี Sn >= 5 บางท่านเอาเงื่อนไขของการ Solvable มาตัดสิน ด้วยกฎที่เพิ่มเข้าไป ตรงนี้ผมก็งง อาจเพราะเป็นเหตุแห่งความหลากหลายของวิชานี้ กระมั้ง
|
#12
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#13
|
|||
|
|||
ตัวเลข 3 หรือ 5 นี่ ถ้าเป็นจำนวนธรรมชาติ ซึ่งมีเรนจ์ 1..N เมื่องวางเทียบกับแกน X จะเห็นว่าเมื่อมองไปทางขวาจะมีตัวเลขอีกมากมายที่เป็นจำนวนธรรมชาติเหมือนกัน มีจำนวนมากทีเดียว และก็เหมือนกับ เราใช้แบ็งค์สิบ ยี่สิบ ร้อย แต่ไม่มีแบ็งค์ ห้าร้อย หรือที่ค่าสูงกว่า คิดดูว่าจะเป็นไง
ซึ่งต่อไปอาจมีแบ็งค์ล้านออกมา แต่คงโดนแก้หน่วยจากบาทเป็นอย่างอื่นแน่นอน เหมือนเมื่อก่อนไทยเราใช้เงินสลึงกัน ก็ต้องยกเลิกไปใช่มั้ยครับ ก็เพราะว่ามีที่ผิด คิดว่านะครับ เหตุผลมีอีกนานา เก็บไปคิดเอาเองบ้างนะครับ |
#14
|
|||
|
|||
คุณKongp ครับ ผมว่าลองศึกษา เรื่องนี้ให้ดีก่อนดีกว่านะ ผมเเนะนำ
|
#15
|
|||
|
|||
ขอบทความหรือหนังสืออ้างอิงที่น่าสนใจด้วยครับ หาเองอาจเจอไม่ตรงกัน หรือ เข้าใจต่างกัน
|
|
|