2=4

[Hell]

ให้ 2=x^xxxx...
จะได้ 2= x²
หรือ x=sqrt(2)

และ 4=y^yyy...

จะได้ 4 = y⁴
ได้ y=sqrt(2)
ได้ x=y ก็คือ 2=4 ด้วย จาก
x^xxx... = y^yyy... = 2 = 4

??????

[TOP]

พิจารณา x² = 2 จะได้ x = 2^1/2 = ฑ ึ2
ตรวจคำตอบโดยคร่าวๆ
(- ึ2)^{(- ึ2)(- ึ2)(- ึ2)(- ึ2)} = - 0.27 - 0.14 i น 2 \ - ึ2 ไม่ใช่ผลเฉลย
ึ2^{ึ2ึ2ึ2ึ2} = 1.89 ป 2 \ ึ2 เป็นผลเฉลยที่ถูกต้อง

พิจารณา y⁴ = 4 จะได้ y = 4^1/4 = { ฑ ึ2 , ฑ iึ2 }
ตรวจคำตอบโดยคร่าวๆ
กรณี y = ฑ ึ2 ถูกแสดงให้เห็นแล้วว่าได้ค่า y^yyyy = { 1.89 , - 0.27 - 0.14 i } จึงไม่ใช่ผลเฉลยของสมการนี้
(iึ2)^{(iึ2)(iึ2)(iึ2)(iึ2)} = 0.17 + 0.08i \ iึ2 จึงไม่ใช่ผลเฉลยของสมการนี้
(- iึ2)^{(- iึ2)(- iึ2)(- iึ2)(- iึ2)} = 0.17 - 0.08i \ - iึ2 จึงไม่ใช่ผลเฉลยของสมการนี้
สรุป y^yyy... = 4 ไม่มีผลเฉลยของสมการ

ดังนั้น เมื่อเราไม่สามารถหา y ออกมาได้ (และ y น ึ2) จึงเป็นอันว่า x น y ==> 2 น 4

สำหรับกรณีทั่วไป x^xxx... = a (โดยที่ a ฮ R⁺) จะสามารถหาผลเฉลยได้เมื่อ a ฮ ( 0 , e ] เท่านั้น และจะมีผลเฉลยเพียงค่าเดียวคือ x = รากตัวแรกของ a^1/a

[Hell]

ทำไมถึงต้องเป็น e หรือ น้อยกว่า e ล่ะครับ
มันมาจากไหนครับ

[TOP]

ทำไมถึงเป็นช่วง ( 0 , e ] หรือ ? คงต้องให้น้องๆช่วยกันไขปริศนานี้ละกัน (ให้เวลา 2 สัปดาห์ แต่ทั้งนี้ต้องมีน้องๆมาช่วยคิดด้วยนะ ไม่งั้นไม่เฉลย)

มีหลายๆประเด็นในคำถามนี้ ที่น้องน่าจะนำไปคิดด้วยเช่นกันได้แก่

• ตรงที่พี่บอกว่า (- ึ2)^{(- ึ2)(- ึ2)(- ึ2)(- ึ2)} = - 0.27 - 0.14 i น้องน่าจะแปลกใจกับผลลัพธ์ที่ได้
  
  ถ้ายังไม่รู้สึกสงสัย ก็ลองหาค่านี้ดูว่าได้เท่าไร (- ึ2)^{(- ึ2)} = ? , (- p)^{(- p)} = ?
  แน่นอนครับว่ามันย่อม แตกต่างจากการหาค่า (- 2)^{(- 2)} และผลลัพธ์ที่ได้ก็ ... (HINT รึเปล่าหว่า : ลองตอบคำถามที่พี่ทิ้งเอาไว้ 2 ข้อในเรื่องจำนวนเชิงซ้อน แต่ไม่มีใครมาตอบสักที )
• ทำไมผลเฉลยจึงมีได้เพียงค่าเดียวเท่านั้น และต้องเป็นรากตัวแรกของ a^1/a
• ช่วงของ a ที่สามารถหาผลเฉลยได้ทำไมจึงเป็น a ฮ ( 0 , e ] เท่านั้น

ลองคิดกันดูนะ แล้วจะได้ความรู้อะไรหลายๆอย่างมากเลย (ใช้ความรู้ในส่วนของเสริมประสบการณ์หลายๆเรื่องมารวมกัน ก็แก้ได้แล้ว) หากใครคิดหรือตอบปัญหาเหล่านี้ได้ทุกข้อแล้ว ก็ลองแวะไปตอบคำถามเก่าๆของพี่ ที่เกี่ยวข้องกับเรื่องนี้เช่นกัน (ยังไม่มีใครมาตอบเหมือนเดิม ) ที่นี่

[Hell]

ตอบคำถามที่ทิ้งเอาไว้ 2 ข้อในเรื่องจำนวนเชิงซ้อนครับ
1.iⁱ=(cos Pi/2 + i sin Pi/2)ⁱ
=e^i*i*Pi/2
=e^{- Pi/2}

2.(i+1)ⁱ⁺¹=( (sqrt 2)*(cos Pi/4 + i sin Pi/4) )ⁱ⁺¹
=e^{(i+1)*(ln 2)*i*Pi/8}
=e^{-(ln 2)*Pi/8}*(2)*(cos Pi/8 + i sin Pi/8 )

แต่โยงกับเรื่อง (0,e] ไม่เห็นติดเลยอ่ะครับ

[TOP]

นึกว่าจะไม่มีใครมาคิดซะแล้ว

สำหรับข้อแรก ถูกต้อง แต่สำหรับข้อสอง 1 + i = sqrt(2)*e^ip/4 = e^{ln(sqrt(2))+ip/4} แล้วก็แก้ไปตามแนวทางที่ทำมาก็เรียบร้อย (อันที่จริงแล้วมันยังมีรายละเอียดบางอย่างที่น่าสนใจมากกว่านี้อีก หากอยากรู้ว่ามันคืออะไรต้อง ตามไปคิดปัญหาข้อนี้ ที่นี่)

ทีนี้ก็มาถึงเรื่องของปัญหาข้อนี้กันละ เราจะหาช่วงของ a ที่ทำให้สมการนี้มีผลเฉลย ก็คือการหาเรนจ์ของ f(x) = x^xxx...
สมมติให้ x^xxx... = a (ในที่นี้เราสนใจการหาค่า a ที่เป็นไปได้ทั้งหมด)
จะได้ x^a = a
a ln(x) = ln(a) , โดยที่ aฮR⁺ ตามที่ได้กำหนดเอาไว้ตอนแรก -----(1)
เราจะพบว่า x ที่สามารถทำให้สมการนี้เป็นจริงได้ ต้องเป็น R⁺ เท่านั้น(เป็นจำนวนเชิงซ้อนไม่ได้)
ดังนั้นในกรณีของคำถามข้างบนที่ a = 2,4 จึงไม่ต้องไปตรวจสอบผลเฉลยบริเวณอื่นเลย ให้ตรวจสอบเฉพาะผลเฉลยที่เป็น R⁺ เท่านั้น

ให้ y₁ = [ln(x)] a และ y₂ = ln(a) จะได้ว่า y₁ เป็นสมการเส้นตรงที่มีความชันเป็น ln(x) และ y₂ เป็นฟังก์ชัน Logarithm
ลองวาดกราฟของ y₁ และ y₂ เพื่อดูจุดตัดกันของกราฟทั้งสอง
<applet code="PGC.class" archive="applets/PGC.jar" width=480 height=320><param name=launch_button value=""><param name=launch_size value=""><param name=control_panel value=><param name=graph_border value=><param name=background_image value=""><param name=builtin_functions value=><param name=builtin_examples value=><param name=center value="(2.5,0)"><param name=zoom value=80><param name=line value=><param name=plot value=><param name=spin value=><param name=active value="a"><param name=t_minimum value=0><param name=t_maximum value=3*pi><param name=t_count value=100><param name=a value="(1,-1)"><param name=b value=""><param name=c value=""><param name=d value=""><param name=f value=""><param name=g value="(t,ln(t))"><param name=h value="(t-pi,ay*(t-pi)/ax)"><param name=k value=""><param name=m value="(e,t-pi)"><param name=n value=""></applet>
เราจะพบว่าค่าความชันของสมการเส้นตรง(ln x) ที่ทำให้กราฟตัดกัน(มีผลเฉลย) เริ่มจาก -ฅ และเพิ่มค่าความชันขึ้นเรื่อยๆ จนถึงจุดหนึ่งที่กราฟทั้งสองสัมผัสกัน บริเวณนี้จะเป็นค่าสุดท้ายของความชันหรือค่า x ที่เป็นไปได้ หากเพิ่มความชันหรือ x มากไปกว่านี้จะทำให้กราฟไม่ตัดกัน(หาผลเฉลยไม่ได้นั่นเอง) เราจะหาว่าค่าความชันสุดท้ายเป็นเท่าไร ?

ความชันของ y₁ = [ln(x)] a ที่ a ใดๆคือ ln(x) และ ความชันของ y₂ = ln(a) ที่ a ใดๆคือ 1 / a ดังนั้น บริเวณที่กราฟทั้งสองสัมผัสกันจะมีความชันเท่ากัน
จึงได้ว่า ln(x) = 1 / a หรือ a = 1 / ln(x)
แทนค่า a กลับไปในสมการ (1) เพื่อหาค่า x จะได้ 1 = ln(1 / ln(x)) จึงได้ x = e^1/e และ a = e

เนื่องจาก xฮ(0,e^1/e] โดยที่
ที่ x = 0⁺ จะได้ a = 0⁺ และที่ x = e^1/e จะได้ a = e
และเมื่อพิจารณากราฟ x = y^1/y จะพบว่าเป็นฟังก์ชันเพิ่มในช่วงของ yฮ(0,e]
จึงสรุปได้ว่า aฮ(0,e]

[Love math]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ TOP

พิจารณา x² = 2 จะได้ x = 2^1/2 = ฑ ึ2
ตรวจคำตอบโดยคร่าวๆ
(- ึ2)^{(- ึ2)(- ึ2)(- ึ2)(- ึ2)} = - 0.27 - 0.14 i น 2 \ - ึ2 ไม่ใช่ผลเฉลย
ึ2^{ึ2ึ2ึ2ึ2} = 1.89 ป 2 \ ึ2 เป็นผลเฉลยที่ถูกต้อง

พิจารณา y⁴ = 4 จะได้ y = 4^1/4 = { ฑ ึ2 , ฑ iึ2 }
ตรวจคำตอบโดยคร่าวๆ
กรณี y = ฑ ึ2 ถูกแสดงให้เห็นแล้วว่าได้ค่า y^yyyy = { 1.89 , - 0.27 - 0.14 i } จึงไม่ใช่ผลเฉลยของสมการนี้
(iึ2)^{(iึ2)(iึ2)(iึ2)(iึ2)} = 0.17 + 0.08i \ iึ2 จึงไม่ใช่ผลเฉลยของสมการนี้
(- iึ2)^{(- iึ2)(- iึ2)(- iึ2)(- iึ2)} = 0.17 - 0.08i \ - iึ2 จึงไม่ใช่ผลเฉลยของสมการนี้
สรุป y^yyy... = 4 ไม่มีผลเฉลยของสมการ

ดังนั้น เมื่อเราไม่สามารถหา y ออกมาได้ (และ y น ึ2) จึงเป็นอันว่า x น y ==> 2 น 4

สำหรับกรณีทั่วไป x^xxx... = a (โดยที่ a ฮ R⁺) จะสามารถหาผลเฉลยได้เมื่อ a ฮ ( 0 , e ] เท่านั้น และจะมีผลเฉลยเพียงค่าเดียวคือ x = รากตัวแรกของ a^1/a

ผมก็เห็นด้วยครับ

[picmy]

เพิ่มเติมคับ เว็บนี้อาจเป็นประโยชน์นะคับ
http://mathworld.wolfram.com/PowerTower.html