ช่วยหน่อยครับ

[Influenza_Mathematics]

สำหรับ $n \geqslant 6$ สมการ
$$\sum_{i= 1}^{n}\frac{1}{ x_i^2 } = 1$$ มีผลเฉลยเป็นจำนวนเต็ม

[Amankris]

ให้ทำอะไรน่ะครับ ???

[[FC]_Inuyasha]

พิสูจน์มั้งครับ ฮ่าๆ

[Influenza_Mathematics]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Amankris

ให้ทำอะไรน่ะครับ ???

Proof ตามที่โจทย์บอกอะครับ

[Amankris]

น่าจะมีทางออกหลายทางนะครับ

ทางที่ผมพอเจอก็คือ

$\dfrac{1}{2^2}=\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{3^2}+\dfrac{1}{6^2}$

และ

$\dfrac{1}{2^2}=\dfrac{1}{4^2}+\dfrac{1}{4^2}+\dfrac{1}{4^2}+\dfrac{1}{4^2}$

[LightLucifer]

#5 งามมากครับ

[picmy]

กรณี $n=6$ สังเกตว่า $\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{6^2}=1$
กรณี $n=7$ สังเกตว่า $\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{4^2}=1$
กรณี $n=8$ สังเกตว่า $\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{6^2}+\frac{1}{6^2}=1$

หลังจากนั้นใช้อุปนัยเชิงคณิตศาตร์
แนะให้ว่า ถ้า $\sum_{i = 1}^{n}\frac{1}{x_i^2}=1 $ แล้วจะได้ว่า
$\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{2^2}+\sum_{i = 1}^{n}\frac{1}{(2x_i)^2}=1$

หรือกล่าวง่ายๆก็คือ ถ้าสมการ $\sum_{i = 1}^{n}\frac{1}{x_i^2}=1 $ มีผลเฉลยที่เป็นจำนวนเต็ม แล้วจะได้ว่า สมการ $\sum_{i = 1}^{n+3}\frac{1}{x_i^2}=1 $ ก็จะต้องมีผลเฉลยที่เป็นจำนวนเต็มด้วย

และเนื่องจาก ได้แสดงไว้ข้างบนแล้วว่า กรณี $n=6,7,8$ ข้อสรุปเป็นจริง ดังนั้นข้อสรุปจึงเป็นจริงสำหรับทุก $n\geqslant 6$