|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#1
|
|||
|
|||
โจทย์ขอความช่วยเหลือ
ไม่ได้เข้ามาตั้งนาน
วันนี้ไปเจอโจทย์มา แต่ผมสนิมขึ้นไปเยอะมาก ช่วยเคาะออกทีครับ ให้ m n เป็นจำนวนเต็มบวก จงหา m n ที่ทำให้ $3^m+3^n+1$ เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ปล. ผมทำถึงว่า (ให้ m<n กรณี ที่เท่ากันพิสูจน์ไปแล้ว) ให้ $3^m+3^n+1 = k^2$ $3^m(1+3^{n-m}) = k^2-1$ ทีนี้ถ้าพิจาราณา มันก็จะได้ข้อขัดแย้ง แต่ผู้แต่งโจทย์ แย้งว่า เทอมซ้ายมือ $3^m(1+3^{n-m})$ แน่ใจได้ไงว่าต้องแยกได้แบบนี้ ผมลองแยก mod 4 mod 10 แล้วก็ไม่ไหว หรือว่า มันมีอะไรบังตา ช่วยทีคร้าบบ |
#2
|
||||
|
||||
วิธีทำ
เพราะว่า $k^2 -1 \equiv 0,15 \pmod{16}$ ทุกจำนวนเต็มบวก $k$ แต่ $3^a \equiv 1,3,9,11 \pmod{16}$ โดยที่ $a=m,n$ เพราะฉะนั้นไม่มีจำนวนเต็มบวก $m,n$ ที่ทำให้ $3^m+3^m + 1 = k^2$
__________________
ขว้างมุขเสี่ยว ๆ ใส่กันน่าจะมันแฮะ
|
#3
|
||||
|
||||
#2
$2^2-1 \equiv 3 \pmod{16}$
__________________
เหนือฟ้ายังมีฟ้าแต่เหนือข้าต้องไม่มีใคร ปีกขี้ผื้งของปลอมงั้นสินะ ...โลกนี้โหดร้ายจริงๆ มันให้ความสุขกับเรา แล้วสุดท้าย มันก็เอาคืนไป... |
#4
|
||||
|
||||
ผมเบลอเองครับ นึกว่ากำลังสี่ อันบน
__________________
ขว้างมุขเสี่ยว ๆ ใส่กันน่าจะมันแฮะ
|
#5
|
||||
|
||||
ช่วยเช็คแนวคิดของผมหน่อยครับ มันออกจะแปลกๆ =="
$3^m(1+3^{n-m})=(k-1)(k+1)$ สังเกตุว่า $k \equiv \pm 1 \pmod{3} $ กรณีที $k=3a+1$ $3^m(1+3^{n-m})=(3a)(3a+2)$ $3^{m-1}(1+3^{n-m})=(a)(3a+2)$ แต่ $3^{m-1} \nmid 3a+2$ ดังนั้น $3^{m-1}|a\rightarrow a=3^{m-1}k$ จะได้ $1+3^{n-m}=k(3^mk+2)\rightarrow k=\frac{-2\pm \sqrt{4+4(3^n+3^m)} }{2(3^m)}= \frac{-1\pm \sqrt{1+3^n+3^m} }{3^m}=\frac{-1\pm k}{3^m} $ $3^mk=-1\pm k$ แต่ $k$|LHS จะได้ว่า $k|1$ Contradiction! กรณีที $k=3a-1$ $3^m(1+3^{n-m})=(3a-2)(3a)$ $3^{m-1}(1+3^{n-m})=(a)(3a-2)$ แต่ $3^{m-1} \nmid 3a-2$ ดังนั้น $3^{m-1}|a\rightarrow a=3^{m-1}k$ จะได้ $1+3^{n-m}=k(3^mk-2)\rightarrow k=\frac{2\pm \sqrt{4+4(3^n+3^m)} }{2(3^m)}= \frac{1\pm \sqrt{1+3^n+3^m} }{3^m}=\frac{1\pm k}{3^m} $ $3^mk=1\pm k$ แต่ $k$|LHS จะได้ว่า $k|1$ Contradiction!
__________________
เหนือฟ้ายังมีฟ้าแต่เหนือข้าต้องไม่มีใคร ปีกขี้ผื้งของปลอมงั้นสินะ ...โลกนี้โหดร้ายจริงๆ มันให้ความสุขกับเรา แล้วสุดท้าย มันก็เอาคืนไป... |
#6
|
|||
|
|||
ขอบคุณมากคับ สำหรับแนวคิด
ล่าสุด ได้ใบ้มา แล้วก็ทำได้ละคับ เช็ก mod 8 คับ แต่ก่อนอื่นต้องพิสูจน์ว่า เศษจากการหาร $3^m$ ด้วย 8 มีเพียง 1 กับ 3 แล้วก็จะขัดแย้ง กับ เศษจาการหาร กำลังสองสมบูรณ์ด้วย 8 |
|
|