|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#1
|
|||
|
|||
โจทย์ความน่าจะเป็น PAT1 มีนา 54 ยากมาก
1. โยนเหรียญบาทเที่ยงตรงหนึ่งเหรียญ จำนวน 10 ครั้ง ความน่าจะเป็นที่ได้หัวอย่างน้อย 2 ครั้งติดกันเท่ากับเท่าไหร่
2. จงหาจำนวนสับเซต {${a_{1},a_{2},a_{3}}$} ของเซต {1,2,3,...,14} ทั้งหมดที่สอดคล้องกับ $a_{2}-a_{1}\geqslant 3$ และ $a_{3}-a_{2}\geqslant 3$ ขอวิธีทำด้วยคร้าบ 08 มีนาคม 2011 05:58 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Delighted |
#2
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
$n(S) = 2^{10} = 1024$ = จำนวนวิธีในการเขียนจำนวนในระบบฐานสอง เช่น 1011000111 ให้ 1 แทนขึ้นหัว , 0 แทนขึ้นก้อย หาจำนวนวิธีในเหตุการณ์ที่ไม่มี 1 สองตัวใด ๆ ติดกัน เช่น 1000101010 จะได้จากพจน์ที่ 10 ของลำดับ $a_n = a_{n-1}+a_{n-2}, a_1=2, a_2=3$ หรือ 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ... จะเห็นว่า $a_{10} = 144$ ดังนั้น $P(E) = 1-\frac{144}{1024} = \frac{55}{64}$ |
#3
|
||||
|
||||
ข้อ 1
ความน่าจะเป็นที่เหรียญจะขึ้นหัวติดกันอย่างน้อย 2 ครั้ง = 1 - ความน่าจะเป็นที่เหรียญจะไม่ขึ้นหัวติดกันเลย จำนวนวิธีที่เหรียญจะไม่ขึ้นหัวติดกันเลย กรณีที่1 ไม่ขึ้นหัวเลย มี 1 วิธี กรณีที่ 2 ขึ้นหัว 1 ครั้ง มี 10 วิธี กรณึที่ 3 ขึ้นหัว 2 ครั้ง มี 36 วิธี กรณีที่ 4 ขึ้นหัว 3 ครั้ง มี 56 วิธี กรณีที่ 5 ขึ้นหัว 4 ครั้ง มี 35 วิธี กรณีที่ 6 ขึ้นหัว 5 ครั้ง มี 6 วิธี รวมทั้งหมด 144 วิธี (แต่ละกรณีมาได้ยังไง ลองคิดดูก่อนนะครับ) ข้อ 2 โจทย์ที่เขียนมาน่าจะมีอะไรบกพร่องอยู่นะครับ เพราะข้อความในโจทย์ หมายถึง $a_1,a_2,a_3$ เป็นเซต โดยที่ $a_2-a_1\geqslant 3\rightarrow $ เซต - เซต $\geqslant 3$ ไม่รู้ว่าหมายถึงอะไร โจทย์เป็นอย่างนี้หรือเปล่าครับ จำนวนสับเซต {$a_1,a_2,a_3 $} |
#4
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
08 มีนาคม 2011 10:58 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ famousfive |
#5
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
จำนวน 2 หลัก ที่ไม่มี 1 สองตัวใด ๆ ติดกัน มี 3 จำนวนได้แก่ 00, 01, 10 ดังนั้น $a_2=3$ จำนวน 3 หลัก ที่ไม่มี 1 สองตัวใด ๆ ติดกัน มี 5 จำนวนได้แก่ 000, 001, 010, 100, 101ดังนั้น $a_3=5$ เป็นต้น. พิจารณาจำนวน n หลักใด ให้ $a_n$ แทนจำนวนของจำนวนระบบฐานสอง n หลักที่ไม่มี 1 สองตัวใด ๆ ติดกัน เราจะสามารถแบ่งได้เป็น 2 กรณีคือ กรณีที่ 1 ขึ้นต้นด้วย 1 (หลักซ้ายมือสุด) กรณีที่ 2 ขึ้นต้นด้วย 0 กรณีที่ 1 ขึ้นต้นด้วย 1 แล้วจำนวนในหลักต่อไป ตัวที่ 2 จะต้องเป็น 0 เท่านั้นเลือกได้ 1 วิธี คือเป็น 10............... ตอนนี้จะเหลือจำนวนอีก n-2 หลัก ดังนั้นโดยนิยาม จะมีได้ $a_{n-2}$ จำนวน กรณีที่ 2. ขึ้นต้นด้วย 0 0............... ตอนนี้จะเหลือจำนวนอีก n-1 หลัก ดังนั้นโดยนิยาม จะมีได้ $a_{n-1}$ จำนวน นั่นคือ $a_n = a_{n-1}+a_{n-2}$ หมายเหตุ เมื่อครู่ผมลองไปอ่านคร่าว ๆ ในเว็บเด็กดี มีปัญหาหลายข้อที่นักเรียนคุยกันว่าทำไม่ได้ แต่โจทย์พวกนั้นส่วนมากเป็นโจทย์แนวเด็กประถมสายสอบแข่ง เช่น พวก Po leung kuk, Emic, IMSO ในเรื่องของการนับ (combinatorics) และ ทฤษฎีจำนวน พวกหาเศษ ซึ่งถ้าเป็นนักเรียนที่สอบแข่งมาตั้งแต่เด็กคงหวานหมู แต่ถ้าใครที่ปกติไม่ได้สัมผัสโจทย์แนวนี้ อาจจะหืดขึ้นคอ ไม่รู้ว่าจะเริ่มต้นตรงไหน ดังนั้นในการเตรียมสอบครั้งถัดไป บางทีอาจจะต้องหยิบโจทย์เด็กประถมพวกนี้มาลองทำดูนะครับ.
__________________
The Lost Emic <<-- หนังสือเฉลยข้อสอบระดับประถมนานาชาติ EMIC ครั้งที่ 1 - ครั้งที่ 8 ชุดสุดท้าย หลงมา 08 มีนาคม 2011 23:50 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ gon |
#6
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
จุดสำคัญ คือการแปลโจทย์,การตีความของ$E$ และ$E'$ แล้วแปลงมาเป็นวิธีการทำงาน ผมขอลองทำแบบวิธีม.ปลายซึ่งอาจจะยาวกว่าที่เฉลยไว้ ปกติเวลาเจอโจทย์แบบนี้ที่ถามว่าโอกาสที่จะเกิดเหตุการณ์แบบอย่างน้อย.....ผมมักจะใช้วิธีของการหาเหตุการณ์ตรงข้าม หา$E'$ เพราะเรารู้ว่า$P(E)+P(E')=1$ ถ้าเราตีความของ"เหตุการณ์โยนเหรียญ10ครั้ง แล้วเกิดได้หัวอย่างน้อย 2 ครั้งติดกัน" เราให้เป็น $E$ ดังนั้น $E'$ หมายถึง "เหตุการณ์โยนเหรียญ10ครั้ง แล้วเกิดไม่ได้หัวติดกัน 2 ครั้ง." มองให้ง่ายคือเหมือนการจัดเรียงเหรียญในแนวหน้ากระดาน 10 ชิ้น.....ขยายความได้ว่าคือ เราเรียงให้เหรียญขึ้นหัวสองเหรียญใดๆให้แยกกัน.....เอาเหรียญขึ้นก้อยมาแทรก ดังนั้น$E'$...รวมถึง ออกก้อยทั้งหมด10ครั้ง และออกหัวเหรียญเดียว อีกเก้าเหรียญเป็นก้อย ด้วย เราเรียงเหรียญขึ้นหัวได้มากที่สุดกี่เหรียญ จึงจะยังเข้าข่าย"ไม่ได้หัวติดกัน 2 ครั้ง".....คือ 5 เหรียญ _ก_ก_ก_ก_ก_ เรียงได้$\binom{6}{5}$, หรือ $C_6,_5 $ เท่ากับ 6 กรณีออกหัวสี่เหรียญ _ก_ก_ก_ก_ก_ก_ เรียงได้$\binom{7}{4}$, หรือ $C_7,_4 $ เท่ากับ 35 กรณีออกหัวสามเหรียญ _ก_ก_ก_ก_ก_ก_ก_ เรียงได้$\binom{8}{3}$, หรือ $C_8,_3 $ เท่ากับ 56 กรณีออกหัวสองเหรียญ _ก_ก_ก_ก_ก_ก_ก_ก_ เรียงได้$\binom{9}{2}$, หรือ $C_9,_2 $ เท่ากับ 36 กรณีออกหัวเหรียญเดียว เรียงได้ 10 วิธี กรณีออกก้อยหมด เท่ากับ 1 วิธี รวมแล้วเกิด$E'$ เท่ากับ $1+10+36+56+35+6 =144$ $P(E')=\frac{144}{1024} =\frac{9}{64} $ $Sample Space$ คือเหตุการณ์ของการโยนเหรียญ10ครั้ง $n(S)=2^{10}=1024$ $P(E)=1-P(E')\quad 1-\frac{9}{64} =\frac{55}{64} $
__________________
"ถ้าเราล้มบ่อยๆ ในที่สุดเราจะรู้ว่าถ้าจะล้ม ล้มท่าไหนจะเจ็บน้อยที่สุด และรู้อีกว่าต่อไปทำยังไงจะไม่ให้ล้มอีก ดังนั้นจงอย่ากลัวที่จะล้ม"...อาจารย์อำนวย ขนันไทย ครั้งแรกในชีวิตที่สอบคณิตสมาคมคณิตศาสตร์เมื่อปี2533...ผมได้แค่24คะแนน(จากร้อยคะแนน) 09 มีนาคม 2011 11:05 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ กิตติ |
#7
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
เราหยิบตัวเลขสามตัวเลขจากเซต$\left\{\,1,2,3,...,14\right\} $มาสร้างเป็นเซตได้เท่ากับ $\binom{14}{3} $ เท่ากับ $364$ เซต ในจำนวนนี้มีแบ่งเป็นเงื่อนไขได้คือ 1.$a_{2}-a_{1}\geqslant 3$ และ $a_{3}-a_{2}\geqslant 3$ 2.$a_{2}-a_{1}\leqslant 2$ และ $a_{3}-a_{2}\geqslant 3$ 3.$a_{2}-a_{1}\leqslant 2$ และ $a_{3}-a_{2}\leqslant 2$ 4.$a_{2}-a_{1}\geqslant 3$ และ $a_{3}-a_{2}\leqslant 2$ ที่ละไว้คือ$a_{2}-a_{1}\geqslant 1$ , $a_{3}-a_{2}\geqslant 1$ ดังนั้นถ้าเราหาข้อ$2-4$ก็ได้คำตอบ จำนวนเซตในข้อ2.เกิดขึ้นได้ $10+9=19$ เซต จำนวนเซตในข้อ3.เกิดขึ้นได้ $12+11+11+10=44 $เซต จำนวนเซตในข้อ4.เกิดขึ้นได้ $10+9=19$ เซต หาจำนวนเซตในข้อ$2-4$ ได้ทั้งหมด $19+19+44=82 $เซต ดังนั้นจำนวนเซตที่เกิดขึ้นตามเงื่อนไขของโจทย์เท่ากับ$364-82=282$ เซต ไม่รู้ว่าคิดถูกไหม.....แต่ละข้อ หืดขึ้นคอ
__________________
"ถ้าเราล้มบ่อยๆ ในที่สุดเราจะรู้ว่าถ้าจะล้ม ล้มท่าไหนจะเจ็บน้อยที่สุด และรู้อีกว่าต่อไปทำยังไงจะไม่ให้ล้มอีก ดังนั้นจงอย่ากลัวที่จะล้ม"...อาจารย์อำนวย ขนันไทย ครั้งแรกในชีวิตที่สอบคณิตสมาคมคณิตศาสตร์เมื่อปี2533...ผมได้แค่24คะแนน(จากร้อยคะแนน) 09 มีนาคม 2011 16:19 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ กิตติ |
#8
|
|||
|
|||
วิธีหนึ่งที่ทำข้อ 2 ได้คือ ใช้ slack variable หรือตัวแปรที่ปรับอสมการเป็นสมการ มาช่วยครับ
มองเงื่อนไข $ a_2 -a_1 \geq 3 $ เป็น $ a_1+3+ \varepsilon _1 = a_2$ โดย $\varepsilon _1 \geq 0 $ และ $ a_3 -a_2 \geq 3 $ เป็น $ a_2+3+ \varepsilon _2 = a_3$ โดย $\varepsilon _2 \geq 0 $ เชื่อม 2 สมการเป็นหนึ่งเดียว ดังนั้นเท่ากับว่า หาแค่ $a_1 ,\varepsilon _1 ,\varepsilon _2$ ที่สอดคล้องกับ $ a_1+6+ \varepsilon _1+ \varepsilon _2 = a_3 \leq 14 ....(*)$ แสดงว่า $ a_1 \in \{ 1,2,3,...,8\} $ ทดได้โดยง่ายว่า ถ้า $a_1 = i \,\, ,(1 \leq i \leq 8 )$ แล้ว จะมี $ \varepsilon _1 ,\varepsilon _2 $ ที่สอดคล้องกับ (*) อยู่ $ 1+2+...+(9-i) $ แบบ ถ้าผมทดไม่ผิด ข้อนี้ตอบ 120 ครับ -------------------------------------------------------------------------------- p.s. หลังจากนี้ ถ้าเห็นผมเข้ามาตอบ webboard น้อยลง ก็ไม่ต้องแปลกใจนะครับ คือผมเป็นโรควุ้นในตาเสื่อม + ตาแห้ง ทำให้ต้องลด duration ในการใช้งานที่สัมผัสแสงจากเทคโนโลยี โรคนี้ยังไม่ต้องผ่าตัดครับ แต่รักษาไม่หาย และดูแลตามอาการ อย่างไรก็ตาม สัญญาว่า ช่วงครึ่งปีหลัง จะมีของมาแจกฟรีเหมือนปีที่แล้วครับ อ้อ อีกเรื่องครับ ใครจะส่ง pm มาหาผมช่วง 1-28 พ.ค. 2554 ส่งมาได้ แต่ผมจะตอบให้หลังจาก 28 พ.ค. นะครับ เพราะ ช่วงนั้น ผมลาบวชครับ
__________________
เกษียณตัวเอง ปลายมิถุนายน 2557 แต่จะกลับมาเป็นครั้งคราว |
#9
|
||||
|
||||
ขอบคุณมากครับคุณpasser-by....สงสัยอยู่เหมือนกันว่าหลังๆไม่ค่อยได้เขียนตอบอะไร
ยังไงก็ขอภาวนาเอาใจช่วยให้โรคที่เป็นอยู่ได้ทุเลาอาการโดยเร็วครับ และขออนุโมทนาบุญล่วงหน้ากับการบวชครับ
__________________
"ถ้าเราล้มบ่อยๆ ในที่สุดเราจะรู้ว่าถ้าจะล้ม ล้มท่าไหนจะเจ็บน้อยที่สุด และรู้อีกว่าต่อไปทำยังไงจะไม่ให้ล้มอีก ดังนั้นจงอย่ากลัวที่จะล้ม"...อาจารย์อำนวย ขนันไทย ครั้งแรกในชีวิตที่สอบคณิตสมาคมคณิตศาสตร์เมื่อปี2533...ผมได้แค่24คะแนน(จากร้อยคะแนน) |
#10
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
ผมอยากทราบอาการของโรคหน่อยครับ เพราะผมสงสัยตัวผมเองเหมือนกัน แต่ก็ยังไม่ไปหาหมอ คือผมมีอาการ มองในอากาศเห็นเป็น จุด ๆ เส้น ๆ หยัก ๆ ลอยอยู่ในอากาศ ถ้าไม่สังเกตุก็จะไม่รู้สึกอะไร บางที่ก็มีแสงไฟ วาบนิด ๆ ทางขวา หรือซ้าย ของหางตา และตาข้างขวา มองเห็นสีไม่สดใสเหมือนตาข้างซ้าย (ไม่มากนัก) คุณ passer-by ปรึกษาหมอมาแล้วว่าไม่มีทางรักษาให้หายเลยหรือครับ ขอบคุณครับ ป.ล. ขออนุโมทนาล่วงหน้าในการบวชด้วยคนครับ 09 มีนาคม 2011 22:10 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ lek2554 |
#11
|
||||
|
||||
#10
ลองศึกษาจากที่นี่ดูครับ ความเห็นผมน่าจะรีบปรึกษาจักษุแพทย์ครับ http://www.uniserv.buu.ac.th/forum2/...?TOPIC_ID=2510 http://www.thaiclinic.com/cgi-bin/wb...num=1192544150 ปล. ห้ามอ่านต่อเนื่อง นะครับ ควรพักสายตาบ้างด้วยครับ ร่วมอนุโมทนาบุญด้วยอีกคนครับ |
#12
|
||||
|
||||
ขอบคุณ ท่านหยินหยางครับ ช่วยหา link มาให้อ่าน
ผมคงอายุมากแล้ว และใช้สายตามากมาตั้งแต่เด็ก รวมทั้งใช้ com มาตั้งแต่เข้ามหาวิทยาลัย ปี 2526 ตอนทำงานก็ใช้ com วันละหลายชั่วโมง ทั้งวันทั้งคืนก็บ่อย ๆ อยากฝากน้อง ๆ บนบอร์ดนี้ ดูแลรักษาสุขภาพดวงตากันด้วยนะครับ อย่าจ้องหน้าจอเป็นระยะเวลานาน ๆ พักสายตาเสียบ้างครับ |
#13
|
||||
|
||||
ข้อ 2 ผมไล่เอาเลยครับ
$a_1=1,--->a_2=4--->a_3=7,8,9,...,14$ มีทั้งหมด 8 เซต $a_1=1,--->a_2=5--->a_3=8,9,10,...,14$ มีทั้งหมด 7 เซต $a_1=1,--->a_2=6--->a_3=9,10,11,...,14$ มีทั้งหมด 6 เซต . . . เป็นแบบนี้จนถึง $a_1=1--->a_2=11--->a_3=14$ มี 1 เซต รวมกรณี $a_1=1$ มีทั้งหมด 36 เซต พอลองไล่ กรณี $a_1=2,a_1=3,...,a_1=8$ จะเห็นว่ารูปแบบของจำนวนสับเซตคือ $(8+7+6+5+...+1)+(7+6+5+..+1)+(6+5+4+..+1)+...(2+1)+1=120$ เซตครับ
__________________
คณิตศาสตร์ คือ ภาษาสากล คณิตศาสตร์ คือ ความสวยงาม คณิตศาสตร์ คือ ความจริง ติดตามชมคลิปวีดีโอได้ที่http://www.youtube.com/user/poperKM |
#14
|
||||
|
||||
$ a_1+6+ \varepsilon _1+ \varepsilon _2 = a_3 \leq 14 ....(*)$
แสดงว่า $ a_1 \in \{ 1,2,3,...,8\} $ โดย $\varepsilon _1,\varepsilon _2 \geq 0 $ ผมขอลองทำต่อแล้วกัน ดังนั้น $\quad \varepsilon _1+ \varepsilon _2\leqslant 8-a_1$ จากนั้นแทนค่า$a_1$ลงไปจะได้อสมการทั้งหมด 8 อสมการตามค่าของ$a_1$ เริ่มจากค่า$a_1$ที่มากที่สุดก่อน $a_1=8$ จะได้ $\quad \varepsilon _1+ \varepsilon _2\leqslant 0$.....มีได้เซตเดียวคือ$\varepsilon _1, \varepsilon _2=0$ $a_1=7$ จะได้ $\quad \varepsilon _1+ \varepsilon _2\leqslant 1$......เกิด2กรณีคือ$\varepsilon _1+ \varepsilon _2=0,\varepsilon _1+ \varepsilon _2=1$ เราได้จำนวนเซตจากกรณีแรกแล้วเหลือหาแต่กรณี$\varepsilon _1+ \varepsilon _2=1$.....เกิดได้ 2เซต รวมแล้วได้$1+2=3$ เซต $a_1=6$ จะได้ $\quad \varepsilon _1+ \varepsilon _2\leqslant 2$....เกิด3กรณีคือ$\varepsilon _1+ \varepsilon _2=0,\varepsilon _1+ \varepsilon _2=1,\varepsilon _1+ \varepsilon _2=2$ เราได้จำนวนเซตจากกรณีแรกและกรณีสองแล้วเหลือหาแต่กรณี$\varepsilon _1+ \varepsilon _2=2$.....ถ้าประยุกต์เรื่องการแจกของแบบไม่มีคนได้ของ จะได้ว่าเซตที่เกิดขึ้นในกรณีนี้เท่ากับ$\binom{2+2-1}{2-1}=\binom{3}{1} $เกิดได้อีก 3เซต รวมแล้วได้$1+2+3=6$ เซต สังเกตว่าเป็นไปตามที่คุณpasser-byได้เขียนไว้ จะเกิดกรณีเพิ่มขึ้น $a_1=5$....จะมีจำนวนเซตเกิดขึ้น เท่ากับ$1+2+3+\binom{4}{1}=1+2+3+4=10 $ $a_1=4$....จะมีจำนวนเซตเกิดขึ้น เท่ากับ$1+2+3+4+\binom{5}{1}=1+2+3+4+5=15 $ $a_1=3$....จะมีจำนวนเซตเกิดขึ้น เท่ากับ$1+2+3+4+5+\binom{6}{1}=1+2+3+4+5+6=21 $ $a_1=2$....จะมีจำนวนเซตเกิดขึ้น เท่ากับ$1+2+3+4+5+6+\binom{7}{1}=1+2+3+4+5+6+7=28 $ $a_1=1$....จะมีจำนวนเซตเกิดขึ้น เท่ากับ $1+2+3+4+5+6+7+\binom{8}{1}=1+2+3+4+5+6+7+8=36 $ รวมทั้งหมดเกิดได้เท่ากับ $1+3+6+10+15+21+28+36=120$ เชต ขอบคุณคุณpasser-byมากครับที่ช่วยชี้ทางสว่างให้
__________________
"ถ้าเราล้มบ่อยๆ ในที่สุดเราจะรู้ว่าถ้าจะล้ม ล้มท่าไหนจะเจ็บน้อยที่สุด และรู้อีกว่าต่อไปทำยังไงจะไม่ให้ล้มอีก ดังนั้นจงอย่ากลัวที่จะล้ม"...อาจารย์อำนวย ขนันไทย ครั้งแรกในชีวิตที่สอบคณิตสมาคมคณิตศาสตร์เมื่อปี2533...ผมได้แค่24คะแนน(จากร้อยคะแนน) 11 มีนาคม 2011 09:17 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ กิตติ |
#15
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
__________________
|
หัวข้อคล้ายคลึงกัน | ||||
หัวข้อ | ผู้ตั้งหัวข้อ | ห้อง | คำตอบ | ข้อความล่าสุด |
โจทย์ความน่าจะเป็น PAT1 | Slate | ข้อสอบในโรงเรียน ม.ปลาย | 3 | 05 กรกฎาคม 2013 11:56 |
มาช่วยกันเฉลยข้อสอบ PAT1-มีค.(ครั้งที่3)กันครับ | อัจฉริยะข้ามจักรวาล | ข้อสอบในโรงเรียน ม.ปลาย | 23 | 26 เมษายน 2011 14:08 |
ถามโจทย์ฟังก์ชัน PAT1 มีนา 53 | Stupendous | ปัญหาคณิตศาสตร์ ม.ปลาย | 1 | 23 พฤษภาคม 2010 22:14 |
ช่วยเอาความโง่ออกจากหัวผมหน่อย PAT1 | ครูนะ | ปัญหาคณิตศาสตร์ ม.ปลาย | 7 | 13 ธันวาคม 2009 04:31 |
ข้อสอบ PAT1 ที่สอบวันที่ 10 ต.ค ข้อที่เป็นลิมิตน่ะช่วยแนะนำผมด้วยนะคร | ขลุ่ยผุไร้สำเนียง | ข้อสอบในโรงเรียน ม.ปลาย | 29 | 19 พฤศจิกายน 2009 17:55 |
|
|