|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#16
|
||||
|
||||
#15
ลองเขียนออกมาในรูป Original สิ #10 แล้วไงต่อ 23 เมษายน 2011 14:27 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Amankris |
#17
|
||||
|
||||
ข้อ 10 ผมทำถูกมั้ยอ่ะครับ ช่วยดูด้วยนะครับ : )
$$\frac{a^2}{b^2+bc+c^2}+\frac{b^2}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^2}{c^2+ca+a^2}\geqslant \frac{2}{3}(\frac{a^2}{b^2+c^2}+\frac{b^2}{c^2+a^2}+\frac{c^2}{a^2+b^2})$$ $$\frac{2}{3}(\frac{a^2}{b^2+c^2}+\frac{b^2}{c^2+a^2}+\frac{c^2}{a^2+b^2})\geqslant \frac{(a+b+c)^2}{3(a^2+b^2+c^2)}\geqslant 1$$ $$\therefore \frac{a^2}{b^2+bc+c^2}+\frac{b^2}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^2}{c^2+ca+a^2}\geqslant 1 $$
__________________
...สีชมพูจะไม่จางด้วยเหงื่อ แต่จะจางด้วยนํ้าลาย... |
#18
|
||||
|
||||
#17
$3(a^2+b^2+c^2)\geq(a+b+c)^2$ ครับ |
#19
|
||||
|
||||
#10 ไปไม่เป็นเเล้วครับ 555+
#18 ถ้าทำเป็น WLOG $a\ge b\ge c\ge d$ $$\dfrac{a-b}{b+c}+\dfrac{b-c}{c+d}+\dfrac{c-d}{d+a}+\dfrac{d-a}{a+b}=\frac{(a-b)^2}{(a-b)(b+c)}+\frac{(b-c)^2}{(b-c)(c+d)}+\frac{(c-d)^2}{(c-d)(a+d)}+\frac{(a-d)^2}{(a+b)(d-a)}$$ $$\ge \frac{(a-b+b-c+c-d+a-d)^2}{(a-b)(b+c)+(b-c)(c+d)+(c-d)(a+d)+(a+b)(d-a)}$$ $$=\frac{(2a-2d)^2}{(a-b)(b+c)+(b-c)(c+d)+(c-d)(a+d)+(a+b)(d-a)}\ge 0$$ ปล. #17 ผมไม่เข้าใจบรรทัดเเรก ช่วยอธิบายให้ฟังได้ไหมครับ ผมต่อให้ คุณ Art-Ty นะครับ $$\sum_{cyc} \frac{a^2}{b^2+c^2}\ge \frac{3}{2}$$ $$\Leftrightarrow (\sum_{cyc} a^2)(\sum_{cyc} \frac{1}{a^2+b^2})\ge \frac{9}{2}$$ Which is true by A.M.-H.M.
__________________
Vouloir c'est pouvoir 23 เมษายน 2011 16:41 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 4 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ จูกัดเหลียง |
#20
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
|
#21
|
||||
|
||||
เงื่อนไขที่ว่าหมายถึงเศษเเละส่วนต้องเป็นจริงบวกปะครับ หรือมีอย่างอื่อีก
__________________
Vouloir c'est pouvoir |
#22
|
||||
|
||||
ก็บรรทัดแรกอ่ะครับ ใช้ AM-GM กับ $ab,bc,ca$ ตรงตัวส่วนอ่ะครับ
แต่สุดท้ายก็ผิด =="
__________________
...สีชมพูจะไม่จางด้วยเหงื่อ แต่จะจางด้วยนํ้าลาย... |
#23
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
#20 ผม WLOG $a\ge b\ge c\ge d$ เเล้วได้ $a-b,b-c,c-d,a-d\ge 0$ เเล้วใช้โคชีอ่ะครับ หรือผมเข้าใจอะไรผิดไป
__________________
Vouloir c'est pouvoir |
#24
|
||||
|
||||
ปัญหาคือมัน WLOG $a\geq b \geq c \geq d$ ไม่ได้น่ะสิครับเพราะอสมการไม่มีสมมาตรในตัวแปร
(ลอง $(a,b,c,d)=(1,2,3,4)$ ดู มันต่างจาก $(a,b,c,d)=(2,1,3,4)$ ครับ เพราะงั้นมันไม่สมมาตร) อีกอย่างคือตรงก้อนตัวเศษอ่ะครับ มันมีพจน์ $(d-a)$ ปรากฏ ซึ่ง $d-a \leq 0$ เท่าที่ผมลองๆคิดดูคิดได้แบบนี้ครับ คาดว่ามีคนคิดได้แบบเดียวกัน โดยไม่เสียนัย สมมติให้ $max(a,b,c,d)=a$ \[\begin{array}{cl} & \frac{a-b}{b+c}+\frac{b-c}{c+d}+\frac{c-d}{d+a}+\frac{d-a}{a+b} \\ & = \frac{a-b}{b+c}+\frac{d-a}{a+b}+\frac{b-c}{c+d}+\frac{c-d}{d+a} \\ & \geq \frac{a-b}{a+b}+\frac{d-a}{a+b}+\frac{b-c}{d+a}+\frac{c-d}{d+a} \\ & = \frac{d-b}{a+b}+\frac{b-d}{d+a} \\ & = (d-b)(\frac{1}{a+b}-\frac{1}{d+a}) \\ & = \frac{(d-b)^2}{(a+b)(d+a)} \\ & \geq 0 \\ \end{array} \] ลืมบอกไปว่า Cauchy ในรูปของ Engel form ตัวส่วนต้องเป็นจำนวนจริงบวกครับ เพราะรูปแบบใน Original ของมันมาจากการใช้ square root ทำให้ใต้รากต้องมากกว่าหรือเท่ากับศูนย์ แต่บังเอิญว่าใต้รากตัวนั้นกลับเป็นตัวส่วนด้วย เลยทำให้ตัวส่วนไม่มีสิทธิเป็นศูนย์ ก็เลยต้องเป็นจำนวนจริงบวกเท่านั้น เพราะฉะนั้นต้องแสดงให้ได้ว่า $(a-b)(b+c)$ , $(b-c)(c+d)$ , $(c-d)(d+a)$ , $(d-a)(a+b)$ เป็นจำนวนจริงบวกครับ
__________________
"ชั่วโมงหน้าต้องดีกว่าเดิม!" |
#25
|
||||
|
||||
เเล้ว $max(a,b,c,d)=a$ คืออะไรอะครับ
ใช่เเบบนี้รึเปล่า $a\ge b,c,d$ เเล้วก็ ช่วยพิสูจน์ $\sum_{cyc} a^4\ge\sum_{cyc} a^2$ หน่อยได้ไหมครับ เมื่อ $a^2+b^2+c^2=a+b+c$
__________________
Vouloir c'est pouvoir 24 เมษายน 2011 20:21 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ จูกัดเหลียง |
#26
|
|||
|
|||
ผมลงเฉลยบางส่วนไว้ใน #3 ครับ
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#27
|
||||
|
||||
Nesbitt's inequality คืออะไรอ่ะครับ
เเล้ว Holder ใช้ยังไงเหรอครับ (ผมอ่านเเล้วงงๆ สัญญลักษณ์)
__________________
Vouloir c'est pouvoir |
#28
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
$\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{c}{a+b}\geq\dfrac{3}{2}$ อสมการ Holder ที่ผมใช้เป็นอันนี้ครับ $(a_1^3+\cdots+a_n^3)(b_1^3+\cdots+b_n^3)(c_1^3+\cdots+c_n^3)\geq (a_1b_1c_1+\cdots+a_nb_nc_n)^3$
__________________
site:mathcenter.net คำค้น |
#29
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
เเล้วถ้าผมเพิ่มดีกรีที่ใช้ Holder ไปถึง n อะครับ มันจะเป็นเเบบนี้หรือเปล่าครับ $(a_1^n+....+a_n^n)(b_1^n+...+b_n^n)(c_1^n+..+c_n^n)\ge (a_1b_1c_1+...+a_nb_nc_n)^n$ เเละ ใช้ตัวเเปรได้กี่ตัวเหรอครับ ขอบคุณไว้ล่วงหน้าเลยครับ เดี๋ยวกลับมาดูใหม่
__________________
Vouloir c'est pouvoir 24 เมษายน 2011 22:18 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ จูกัดเหลียง |
#30
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
ให้ $a+b+c=S$ $\Big(\dfrac{a}{b-c}\Big)^2+\Big(\dfrac{b}{c-a}\Big)^2+\Big(\dfrac{c}{a-b}\Big)^2\geq 2$ $\leftrightarrow \Big(\dfrac{a+b+c-b-c}{b-c}\Big)^2+\Big(\dfrac{a+b+c-c-a}{c-a}\Big)^2+\Big(\dfrac{a+b+c-a-b}{a-b}\Big)^2\ge 2$ $\leftrightarrow \Big(\dfrac{S-b-c}{b-c}\Big)^2+\Big(\dfrac{S-c-a}{c-a}\Big)^2+\Big(\dfrac{S-a-b}{a-b}\Big)^2\ge 2$ ให้ $\dfrac{S-2b}{b-c}=x,\dfrac{S-2c}{c-a}=y,\dfrac{S-2a}{a-b}=z$ จะได้ $xyz=(x+2)(y+2)(z+2)\rightarrow -2(xy+yz+zx)=4(x+y+z)+8$ พิจรณา $\Big(\dfrac{S-b-c}{b-c}\Big)^2+\Big(\dfrac{S-c-a}{c-a}\Big)^2+\Big(\dfrac{S-a-b}{a-b}\Big)^2=(x+1)^2+(y+1)^2+(z+1)^2$ $=(x+y+z)^2-2(xy+yz+zx)+2(x+y+z)+3=(x+y+z)^2+6(x+y+z)+11=(x+y+z+3)^2+2 \ge 2 \ \ \ \square$
__________________
เหนือฟ้ายังมีฟ้าแต่เหนือข้าต้องไม่มีใคร ปีกขี้ผื้งของปลอมงั้นสินะ ...โลกนี้โหดร้ายจริงๆ มันให้ความสุขกับเรา แล้วสุดท้าย มันก็เอาคืนไป... 24 เมษายน 2011 23:46 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ LightLucifer เหตุผล: พิมพ์ผิด |
หัวข้อคล้ายคลึงกัน | ||||
หัวข้อ | ผู้ตั้งหัวข้อ | ห้อง | คำตอบ | ข้อความล่าสุด |
สมาคมฯ warm up !! | -SIL- | ปัญหาคณิตศาสตร์ ม.ปลาย | 39 | 14 พฤศจิกายน 2010 18:16 |
warm-up | Siren-Of-Step | ฟรีสไตล์ | 5 | 28 กรกฎาคม 2010 08:48 |
WARM UP !! สำหรับ ''สสวท.รอบ2 อีกครั้ง'' | คusักคณิm | ข้อสอบในโรงเรียน ประถมปลาย | 13 | 07 เมษายน 2009 23:29 |
WARM UP !! สำหรับ ''สพฐ. รอบต่อไป' | คusักคณิm | ข้อสอบในโรงเรียน ประถมปลาย | 2 | 28 มีนาคม 2009 10:10 |
Warm Up ! | passer-by | ข้อสอบโอลิมปิก | 98 | 14 มกราคม 2009 14:45 |
|
|