marathon:ม.ปลาย

[SinLess~DiViNiTy]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ -InnoXenT-

จัดรูปนิดหน่อย

$(x^4-6x^3+9x^2)-4x^2+4x-1 = 0$

$(x(x-3))^2-(2x-1)^2 = 0$

$(x^2-5x+1)(x^2-x-1) = 0$

$x = \frac{1+\sqrt{5}}{2} , \frac{1-\sqrt{5}}{2} , \frac{5+\sqrt{21}}{2},\frac{5-\sqrt{21}}{2}$

ข้อต่อไป

กำหนดให้ $f(x) = \frac{2}{4^x+2}$ จงหา

$$\sum_{n=1}^{m-1} f(\frac{n}{m})$$

กรณี $m$ เป็นเลขคี่ ตอบ $\frac{m}{2}$

กรณี $m$ เป็นเลขคู่ ตอบ $\frac{m}{2}$ + $\frac{1}{2}$<<ผิดนะครับ

[Yuranan]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ SinLess~DiViNiTy

กรณี $m$ เป็นเลขคี่ ตอบ $\frac{m}{2}$

กรณี $m$ เป็นเลขคู่ ตอบ $\frac{m}{2}$ + $\frac{1}{2}$

หรือป่าวครับ

ผมว่า ผลรวมคือ $\dfrac{m-1}{2}$ นะคับไม่ว่า m จะเป็นเลขคู่หรือคี่ก็ตาม

[SinLess~DiViNiTy]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Yuranan

ผมว่า ผลรวมคือ $\dfrac{m-1}{2}$ นะคับไม่ว่า m จะเป็นเลขคู่หรือคี่ก็ตาม

มันต้อง $\dfrac{m-1}{2}$ ไม่ใช่ $\dfrac{m}{2}$ นี่เนาะ

สงสัยทดเลขมั่วไปหน่อย แฮะๆ

กรณี m เป็นเลขคู่ผมคิดได้ $\dfrac{m-2}{2}+\dfrac{1}{2}$ ก็คือ $\dfrac{m-1}{2}$ เหมือนกันครับ

[SinLess~DiViNiTy]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ -InnoXenT-

ข้อต่อไป

กำหนดให้ $f(x) = \frac{2}{4^x+2}$ จงหา

$$\sum_{n=1}^{m-1} f(\frac{n}{m})$$

$$\sum_{n=1}^{m-1} f(\frac{n}{m})=\frac{2}{4^\frac{1}{m}+2}+\frac{2}{4^\frac{2}{m}+2}+...\frac{2}{4^\frac{m-1}{m}+2}$$

consider

$$\frac{2}{4^\frac{1}{m}+2}+\frac{2}{4^\frac{m-1}{m}+2}$$
$$\frac{2(4^\frac{m-1}{m}+2)+2(4^\frac{1}{m}+2)}{(4^\frac{m-1}{m}+2)(4^\frac{1}{m}+2)}=1$$
ซึ่งจะมีทั้งหมด $\frac{m-1}{2}$ คู่

กรณี $m$ เป็นเลขคู่จะมีทั้งหมด $\frac{m-2}{2}$ คู่ และมีพจน์กลาง

$$\frac{2}{4^\frac{\frac{m}{2}}{m}+2}=\frac{1}{2}$$
$$\Rightarrow \sum_{n=1}^{m-1} f(\frac{n}{m})=\frac{m-1}{2}$$

[kidhaza]

ผมอยากถาม2เรื่องอะครับ
ให้ L เป็นเส้นตรงซึ่งมีความชัน 2 และสัมผัสเส้นโค้ง $y = x^2 + 2$ ถ้า (a,b) เป็นจุดบนเส้นตรง L ที่อยู่ใกล้จุดกำเนิดมากที่สุด แล้ว a+b มีค่าเท่าไร
โจทย์นี่มันเรื่องอะไรหรอครับ

แล้วก็ คือผมเป็นคนที่ไม่ได้ตั้งใจเรียนช่วงมอต้นนะครับ มอต้นเรียนไม่รู้เรื่องเลย
แต่พึ่งมาตั้งใจเรียนมปลายครับ แล้วรู้สึกว่าชอบคณิตมาก
ผมควรต้องไปเก็บเนื้อหามอต้นเรื่องอะไรบ้างครับ อัตรส่วนตรีโกณเก็บมาแล้ว
แล้วผมก็แยกเฟกเตอร์แบบติดรูทไม่ออกอ่ะครับ แล้วมีเนื้อหาอื่นอีกไหม ที่ผมต้องควรไปเรียน
ช่วยบอกทีครับ ขอบคุณมากครับ

[nongtum]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ kidhaza

ผมอยากถาม2เรื่องอะครับ
ให้ L เป็นเส้นตรงซึ่งมีความชัน 2 และสัมผัสเส้นโค้ง $y = x^2 + 2$ ถ้า (a,b) เป็นจุดบนเส้นตรง L ที่อยู่ใกล้จุดกำเนิดมากที่สุด แล้ว a+b มีค่าเท่าไร
โจทย์นี่มันเรื่องอะไรหรอครับ

หลักๆคือเรขาคณิตวิเคราะห์ครับ แต่ที่จะแสดงให้ดูด้านล่างจะใช้แคลคูลัสช่วยนิดหน่อย

เส้นตรง $y=2x+c$ สัมผัสพาราโบลา $y=x^2+2$ หมายถึงว่า ความชันของเส้นสัมผัส ณ จุดสัมผัสเป็น 2
สมมติว่าจุดนี้คือจุด $(p,q)$ จะได้ $2=y'(p)=2p$ ทำให้ $p=1$ และ $q=1^2+2=3$ และ $c=2+1=3$
จุด $(a,b)$ ที่ต้องการ คือจุดตัดของเส้นตรง $y=2x+1$ กับเสันตรงที่ตั้งฉากกับเส้นตรงนี้ ที่ผ่านจุดกำเนิด คือ $y=-0.5x$
ดังนั้น $a=-0.4, b=0.2$ และ $a+b=-0.2$

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ kidhaza

แล้วก็ คือผมเป็นคนที่ไม่ได้ตั้งใจเรียนช่วงมอต้นนะครับ มอต้นเรียนไม่รู้เรื่องเลย
แต่พึ่งมาตั้งใจเรียนมปลายครับ แล้วรู้สึกว่าชอบคณิตมาก
ผมควรต้องไปเก็บเนื้อหามอต้นเรื่องอะไรบ้างครับ อัตราส่วนตรีโกณเก็บมาแล้ว
แล้วผมก็แยกเฟกเตอร์แบบติดรูทไม่ออกอ่ะครับ แล้วมีเนื้อหาอื่นอีกไหม ที่ผมต้องควรไปเรียน
ช่วยบอกทีครับ ขอบคุณมากครับ

ที่จำเป็นต้องทำได้ คือ การคำนวณพื้นฐาน ตั้งแต่บวกลบคูณหารจำนวนเต็ม จำนวนตรรกยะ จำนวนจริง พหุนาม การแยกตัวประกอบพหุนาม
พื้นฐานเรขาคณิต กราฟและคู่อันดับ การขนานและการตั้ังฉากของเส้นตรง ทบ.พีทาโกรัส ครับ เรื่องอื่นค่อยไปตามเก็บทีหลัง
อัอ การแก้สมการ และระบบสมการด้วยครับ

[kidhaza]

ขอบคุณพี่ nongtum มากๆเลยครับ

[kidhaza]

\sum_{n = 1}^{\infty} พี่ๆครับ ถามอีกอย่าง
ผมพึ่งไปเรียนอนุกรมมา สัญลักษณ์นี้ที่เรียกว่าซิกม่าอ่ะครับ มีสมบัติอะไรมั่งหรอครับ ผมเห็นบางทีคูนเข้า จากไม่มีnกลายเป็นn ดึงออก
มันดึงยังไง บางทีตัวร่วมก็ไม่ครบ ยังดึงได้ ผมเลยสงสัยครับ ช่วยหน่อยนะครับ

[7o'clock]

สมบัติ

กำหนดให้ c คือ ค่าคงตัว , k คือ จำนวนนับใดๆ

$\sum_{n = 1}^{k}cn = c\sum_{n = 1}^{k}n$ ดึงค่าคงตัวได้

$\sum_{n = 1}^{k} n_1\pm n_2 = \sum_{n = 1}^{k} n_1 \pm \sum_{n = 1}^{k} n_2$ บวกลบกันแยกได้

$\sum_{n = 1}^{k}c = c\bullet k$ ผลรวมค่าคงตัว นำค่าคงตัวคูณจำนวนได้เลย

ผมจำได้เท่านี้ รอท่านอื่นมาเพิ่มเติมดูด้วยแล้วกันนะครับ

หาผลรวมติดตัวแปร n

กำหนดให้ k คือ จำนวนนับใดๆ

$\sum_{n = 1}^{k}n = \frac{k}{2}(k+1) $

$\sum_{n = 1}^{k}n^2 = \frac{k}{6}(k+1)(2k+1) $

$\sum_{n = 1}^{k}n^3 = [\frac{k}{2}(k+1)]^2 $

[kidhaza]

ขอบคุณมากๆครับ บางที take \sum_{n = 1}^{\infty} เข้า $a_n$ $a_n=5n+7 \rightarrow S_n = 5\sum_{n = 1}^{\infty} n+7n$ ตรงนี้มันคือยังไงหรอครับ
ขอสมบัติการกระจายของลิมิต \lim_{x \to \infty} ด้วยได้ไหมครับ ขอบคุณพี่ๆมากครับ

[-InnoXenT-]

เรื่องอนุกรมที่คอมเม้นท์บนถาม

$a_n = 5n+7$
$a_1 = 5(1)+7$
$a_2 = 5(2)+7$
$.$
$.$
ดังนั้น
$a_1+a_2+...+a_m = \sum_{n=1}^{m} a_n$

$= (5(1)+7)+(5(2)+7)+(5(3)+7)+...+(5(m)+7)$

$= (5(1)+5(2)+5(3)+....+5(m)) + (\overbrace{7+7+7+7+...+7}^{m ตัว} )$
$= 5(1+2+3+...+m)+7m$
$= 5\sum_{n=1}^{m} m + 7m$

Next Problem :

Solve the system of equations:

$$(x-1)(y^2+6) = y(x^2+1)$$
$$(y-1)(x^2+6) = x(y^2+1)$$

[จูกัดเหลียง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ -InnoXenT-

Solve the system of equations:

$$(x-1)(y^2+6) = y(x^2+1)...(*)$$
$$(y-1)(x^2+6) = x(y^2+1)...(**)$$

$(*)-(**)$ $$\Leftrightarrow (x-y)(x+y-2xy+7)=0$$
กรณี $x=y\Rightarrow x=y=2,3$
กรณี $x+y+7=2xy$ ให้ $p=x+y,q=xy$ $$\Leftrightarrow 2q=p+7$$
นำ $(*)+(**)$
$$\Rightarrow (x+y)^2-5(x+y)+(12-2xy)=0
\Leftrightarrow p^2-5p+12-2q=0$$
$$\Rightarrow p^2-5p+12-p-7=0\Leftrightarrow (p-1)(p-5)=0$$
พบว่ามี $x=2,3$ $y=3,2$
ดังนั้น $(x,y)=(2,2),(2,3),(3,2),(3,3)$

[kidhaza]

1.ถ้า$ 4cos^2(arctanx)-1=0 และ e^\frac{1}{x} <1 แล้ว x+tan(arctan\frac{x}{2}) = ?$

2.จงแก้สมการ $sin5A+4sin^5A = 0$

3.ให้ $A = {\theta \mid 8cos^3\theta - 6cos\theta+1=0}$
จงหาสมาชิกของเซต A

4.กำหนดให้ $x\in [0,\pi ] จงหาเซตคำตอบของสมการ sinx+\sqrt{3} cosx = sec(x+\frac{\pi}{3})$

ช่วยหน่อยนะครับ TT

[poper]

ข้อ 4 ครับ
$$sinx+\sqrt{3}cosx=sec(x+\frac{\pi}{3})$$
$$2sin(x+\frac{\pi}{3})=\frac{1}{cos(x+\frac{\pi}{3})}$$
$$2sin(x+\frac{\pi}{3})cos(x+\frac{\pi}{3})=1$$
$$sin(2x+\frac{2\pi}{3})=1$$
จาก $0\leqslant x\leqslant \pi$ ดังนั้น $\frac{2\pi}{3}\leqslant 2x+\frac{2\pi}{3}\leqslant \frac{8\pi}{3}$
$$2x+\frac{2\pi}{3}=\frac{5\pi}{2}$$
$$x=\frac{3\pi}{4}$$

[kidhaza]

ทำไมถึงจับเท่ากับ$ \frac{8\pi }{3}$
ได้เลยล่ะครับ ผมงง TT มันต้องจับเท่ากับ$ \pi$ ไม่ใช่หรอครับ