#1
|
||||
|
||||
ลอการิทึมครับ
$ถ้า x,y,z เป็นจำนวนเต็มบวกที่ไม่เท่ากับ 1 ซึ่งทำให้$
$(log_yx \bullet log_zx - log_xx) + (log_xy \bullet log_zy -log_yy) + (log_xz \bullet log_yz - log_zz) = 0 $ $find xyz $ $กำหนดให้ x,y,z เป็นจำนวนจริงที่สอดคล้องกับสมการ$ $ log(2xy) = logx\bullet logy$ $ log(yz) = logy\bullet logz$ $ log(2zx) = logz\bullet logx$ $find x+y+z$ ปล.รบกวนขอโจทย์ลอการิทึมกับตรีโกณด้วยครับ 09 กรกฎาคม 2011 22:56 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ CHAOS |
#2
|
||||
|
||||
ข้อแรก
กระจาย แยกตัวประกอบ ข้อสอง จัดรูปสมการใหม่ |
#3
|
||||
|
||||
ถ้า$ x,y,z$ เป็นจำนวนเต็มบวกที่ไม่เท่ากับ $ 1 $ ซึ่งทำให้
$(log_yx \bullet log_zx - log_xx) + (log_xy \bullet log_zy -log_yy) + (log_xz \bullet log_yz - log_zz) = 0 $ find $xyz $ ผมคิดได้ $1$ ให้$log_x=a$ , $log_y=b$ และ $log_z=c$ $(log_yx \bullet log_zx - log_xx) + (log_xy \bullet log_zy -log_yy) + (log_xz \bullet log_yz - log_zz) = 0 $ แปลงแล้วจะได้ $a^3+b^3+c^3=3abc$ ซึ่งเกิดขึ้นในกรณีที่$a+b+c=0$ $log x+log y+log z=0$ $\log xyz=0$ $xyz=1$ แต่โจทย์กำหนดให้$x,y,z$ เป็นจำนวนเต็มบวกที่ไม่เท่ากับ $1$ ดังนั้นไม่น่าจะมีจำนวนเต็มบวกที่สอดคล้องกับที่หาได้ เพราะมีกรณีเดียวคือ $x=y=z=1$ เดี๋ยวขอกลับไปคิดใหม่ก่อน ถ้าโจทย์กำหนดให้ $x,y,z$ เป็นจำนวนจริงบวก คงจะพอตอบได้ ข้อ2.ผมว่าโจทย์น่าจะกำหนดค่าของ$x,y,z$ที่ไม่สอดคล้องกับนิยามของ$log$ ซึ่งกำหนดให้$\log x$นั้นอยู่เฉพาะ$x>0$ แต่โจทย์ให้$x,y,z$ เป็นจำนวนจริง ซึ่งมันรวมค่าที่เป็นศูนย์กับลบด้วย ช่วยเช็คโจทย์อีกทีครับ
__________________
"ถ้าเราล้มบ่อยๆ ในที่สุดเราจะรู้ว่าถ้าจะล้ม ล้มท่าไหนจะเจ็บน้อยที่สุด และรู้อีกว่าต่อไปทำยังไงจะไม่ให้ล้มอีก ดังนั้นจงอย่ากลัวที่จะล้ม"...อาจารย์อำนวย ขนันไทย ครั้งแรกในชีวิตที่สอบคณิตสมาคมคณิตศาสตร์เมื่อปี2533...ผมได้แค่24คะแนน(จากร้อยคะแนน) 10 กรกฎาคม 2011 09:33 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 5 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ กิตติ เหตุผล: พิมพ์เพิ่ม |
#4
|
||||
|
||||
#3
$a+b+c$ ไม่จำเป็นต้องเท่ากับศูนย์ครับ |
#5
|
||||
|
||||
สมการข้างต้นจะเป็นจริงเมื่อ $a=b=c$ ครับ
__________________
...สีชมพูจะไม่จางด้วยเหงื่อ แต่จะจางด้วยนํ้าลาย... |
#6
|
||||
|
||||
ขอบคุณคุณAmankris....ทำต่ออีกหน่อยก็พอออกแล้ว
$(a+b+c)^3=a^3+b^3+c^3+3abc(a+b+c)(\frac{1}{a} +\frac{1}{b} +\frac{1}{c} )-3abc$ $a^3+b^3+c^3=3abc$ $(a+b+c)^3=3abc(a+b+c)(\frac{1}{a} +\frac{1}{b} +\frac{1}{c} )$ เมื่อ$a+b+c\not= 0$ $(a+b+c)^2=3ab+3bc+3ac$ $a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac=0$ $2\left(\,\frac{a}{2}-\frac{b}{2} \right)^2+2\left(\,\frac{b}{2}-\frac{c}{2} \right)^2+2\left(\,\frac{c}{2}-\frac{a}{2} \right)^2=0 $ จะได้ว่า $a=b=c$ ดังนั้นจะได้ว่า$\log x=\log y=\log z \rightarrow x=y=z$ เพราะลอการิธึมเป็นฟังก์ชัน1-1 โจทย์กำหนดให้ $x,y,z$ เป็นจำนวนเต็มบวกที่ไม่เท่ากับหนึ่ง $x=y=z=2,3,4,...$ จะได้ว่าค่าของ$xyz$ เท่ากับ $8,27,64,....$ คำตอบเป็นอนันต์
__________________
"ถ้าเราล้มบ่อยๆ ในที่สุดเราจะรู้ว่าถ้าจะล้ม ล้มท่าไหนจะเจ็บน้อยที่สุด และรู้อีกว่าต่อไปทำยังไงจะไม่ให้ล้มอีก ดังนั้นจงอย่ากลัวที่จะล้ม"...อาจารย์อำนวย ขนันไทย ครั้งแรกในชีวิตที่สอบคณิตสมาคมคณิตศาสตร์เมื่อปี2533...ผมได้แค่24คะแนน(จากร้อยคะแนน) 10 กรกฎาคม 2011 12:18 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 3 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ กิตติ |
#7
|
||||
|
||||
กำหนดให้ $ x,y,z $ เป็นจำนวนจริงบวกที่สอดคล้องกับสมการ
$ log(2xy) = logx\bullet logy$...........(1) $ log(yz) = logy\bullet logz$............(2) $ log(2zx) = logz\bullet logx$............(3) $find x+y+z$ (1)-(3) $\log (2xy) -\log (2zx) =\log x(\log y-\log z)$ $\log(\frac{y}{z}) =\log x\log(\frac{y}{z})$ $\log(\frac{y}{z})\left(\,\log x-1\right) =0$ เกิดได้2แบบคือ 1.$\log x=1 \rightarrow x=10$ หรือ 2.เมื่อ $\log(\frac{y}{z})= 0 \rightarrow y= z$ ซึ่งค่าของ$\log x$จะเป็นเท่าไหร่ก็ได้ นำกรณีที่หนึ่งมาคิดก่อนคือ $x=10$....นำไปแทนในสมการที่1 $ \log (20y) = \log y$.....ซึ่งไม่มีค่าของ$y$ที่มากกว่าศูนย์ ที่ทำให้สมการนี้เป็นจริง เพราะฟังก์ชั่นลอการิธึมเป็นฟังก์ชั่น1-1....ดังนั้นกรณีนี้ไม่สามารถหาค่าของ$y$ ได้ เช่นเดียวกับค่า$z$ มาพิจารณากรณีที่สองคือ $y= z$....แทนในสมการที่2 $ \log (y^2) =( \log y)^2$ $ 2 \log (y) =( \log y)^2$ $\log (y)\left(\,\log (y)-2\right) =0$ ได้ค่า$y$ สองค่าคือ $y=1,100$ ได้ค่า$z$ ตามข้อกำหนด เหลือแต่หาค่า$x$ $y=1$ แทนในสมการที่1 $ log(2x) = 0 \rightarrow x=\frac{1}{2} $ ได้คำตอบชุดแรกคือ $(x,y,z)=(\frac{1}{2},1,1)$ $y=100$ แทนในสมการที่1 $ log(200x) =2\log x$ $\log x=\log 200$ $x=200$ ได้คำตอบชุดที่สองคือ $(x,y,z)=(200,100,100)$ พอดีโจทย์กำหนดว่า$x,y,z$ เป็นจำนวนจริง ดังนั้นตอบทั้งสองชุด ค่าของ$x+y+z$ เท่ากับ $\frac{5}{2} $ และ $400$
__________________
"ถ้าเราล้มบ่อยๆ ในที่สุดเราจะรู้ว่าถ้าจะล้ม ล้มท่าไหนจะเจ็บน้อยที่สุด และรู้อีกว่าต่อไปทำยังไงจะไม่ให้ล้มอีก ดังนั้นจงอย่ากลัวที่จะล้ม"...อาจารย์อำนวย ขนันไทย ครั้งแรกในชีวิตที่สอบคณิตสมาคมคณิตศาสตร์เมื่อปี2533...ผมได้แค่24คะแนน(จากร้อยคะแนน) 11 กรกฎาคม 2011 11:35 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 5 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ กิตติ เหตุผล: พิมพ์เพิ่ม |
|
|