ความอิสระเชิงเส้นของผลเฉลยสมการเชิงอนุพันธ์

[B บ ....]

ถ้าผลเฉลยสมการเอกพันธ์นึงเป็น y1 = C + e$^{-x}$ เมื่อ C,D เป็นค่าคงที่
และโดยวิธีเทียบสัมประสิทธิ์ เขียนรูปแบบผลเฉลยเฉพาะเป็น
y2 = A + Bx เมื่อ A,B เป็นค่าคงที่
C ในผลเฉลยของสมการเอกพันธ์ และ A ในผลเฉลยเฉพาะ ไม่อิสระเชิงเส้นกันใช่มั้ยครับ
แต่พอหารอนสเกียน W[y1,y2] เหมือน ไม่มี x ทีทำให้ W[y1,y2] = 0 เหมือนมันอิสระเชิงเส้นกัน
และก็ พิจารณา y1=ky2 และ y2 = ky1 เหมือนไม่มี k ที่ทำให้ สมเป็นจริง
แล้วก็เลย งง แล้วว่า มันไม่อิสระ หรืออิสระกันแน่ครับ

[nooonuii]

$A,C$ เป็นค่าคงที่นี่ครับ

ความเป็นอิสระเชิงเส้นในที่นี้เป็นเรื่องของฟังก์ชันครับ

[B บ ....]

ถ้างั้นผลเฉลยเฉพาะไม่จำเป้นต้องคูณ x ไปอีกทีเป็น y2 = x(A+Bx) หรอครับ ?

[nooonuii]

เข้าใจคำถามแล้ว

$A,C$ ไม่อิสระเชิงเส้นครับ

[B บ ....]

ขอบคุณครับ สรุปคือมันไม่อิสระเชิงเส้นกัน แต่ คาใจนิดนึง อย่างที่ผมบอกไปว่าหา รอนสเกรียน แล้ว มันเหมือนไม่มี x ที่ทำให้ W[y1,y2] = 0 หรือใช้ทฤษฎีที่ว่าถ้าไม่อิสระเชิงเส้นจะมีจำนวนจริง k ที่ทำให้ y1=ky2 หรือ y2=ky1 แต่ผมก็หา k นี่ไม่ได้ -*-

[nooonuii]

$A,C$ ไม่อิสระเชิงเส้นกัน แต่ $y_1,y_2$ เป็นอิสระเชิงเส้นกันครับ

[kongp]

ผมไม่เข้าใจครับอิสระเชิงเส้นคืออะไร ใช่มาจากคำว่า absolute ไหมครับสำหรับคำว่าอิสระ ในวิชาแคลคูลัส

[nongtum]

#7
อิสระเชิงเส้น = linearly independent
absolute = สัมบูรณ์

[B บ ....]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

$A,C$ ไม่อิสระเชิงเส้นกัน แต่ $y_1,y_2$ เป็นอิสระเชิงเส้นกันครับ

หรอครับ คือ y1 กะ y2 อิสระเชงเส้นกัน แต่ A กะ C ไม่อิสระเชิงเส้นกัน แต่สรุปแล้ว ผลเฉลยเฉพาะต้องคูณ x ไปด้วยใช่ม่ะครับ กลายเป็น y2 = x(A+Bx) แต่ถ้า A มันไม่อิสระเชิงเส้นกับ C ทำไมไม่คูณ x แค่ที่ A เป็น y2 = Ax + Bx แทน แต่กลายเป้นคูรกระจายหมดดดดอ่ะครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ B บ ....

หรอครับ คือ y1 กะ y2 อิสระเชงเส้นกัน แต่ A กะ C ไม่อิสระเชิงเส้นกัน แต่สรุปแล้ว ผลเฉลยเฉพาะต้องคูณ x ไปด้วยใช่ม่ะครับ กลายเป็น y2 = x(A+Bx) แต่ถ้า A มันไม่อิสระเชิงเส้นกับ C ทำไมไม่คูณ x แค่ที่ A เป็น y2 = Ax + Bx แทน แต่กลายเป้นคูรกระจายหมดดดดอ่ะครับ

$y_2=A+Bx$ ไม่ต้องคูณ $x$ ครับ เพราะ $C$ กับ $A+BX$ อิสระเชิงเส้นกัน

ในการกำหนดฟังก์ชันสำหรับเทียบสัมประสิทธิ์เราแค่ดูว่ามีรูปแบบไหนซ้ำกันบ้างถ้าซ้ำก็คูณ $x$ แต่ในกรณีนี้ไม่ซ้ำครับ

เพราะ $C$ เป็นพหุนามกำลังศูนย์ แต่ $A+Bx$ เป็นพหุนามกำลังหนึ่งซึ่งต่างกัน

ผมยังไม่เห็นสมการเต็มๆคงตอบได้ไม่ชัดเจนครับ

[B บ ....]

โจทย์เต็มประมาณนี้ครับ : หาผลเฉลยทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์ โดยใช้ระเบียบวิธีเทียบสัมประสิทธิ์
$y'' - 7y' = x$
ได้ผลเฉลยเอกพันธ์ เป็น y1 = C + D$e^{7x}$
จากรูปแบบของ f(x) ได้ผลเฉลยเฉพาะมีรูปแบบ y2 = Ax + B
แต่ผมคิดว่าผลเฉลยมันไม่อิสระเชิงเส้นกันเลย คูณ x ไปเป็น y2 = x(Ax + B) แทน

[nooonuii]

คิดว่าถูกแล้วครับ แต่ผมก็ยังงงกับวิธีนี้อยู่เหมือนกัน

ตรงคูณ $x$ กับไม่คูณ $x$ นี่แหละครับ

สรุปได้จากข้อนี้ว่า ถ้ามีบางส่วนของ $y_2$

ไปซ้ำกับ $y_1$ ก็ต้องเอา $x$ มาคูณทันที

เพื่อให้ทุกพจน์ใน $y_2$ ไม่ไปซ้ำกับ $y_1$ อีก

[kimmath]

Yc = C+De^7x
Assume Yp = Ax + B
Yp' = A
Yp'' = 0

0 - 7A = x เทียบ ส.ป.ส จะได้

-7A = 0 และ 1 = 0 (เป็นไปไม่ได้)

เพราะ มีบางเทอมใน Yp ไปซ้ำกับ Yc
Assume Yp = x(Ax+B)=Ax^2 + Bx
Yp' = 2Ax + B
Yp'' = 2A

2A -7[2Ax+B] = x
-14Ax + (2A-7B) = x เทียบ ส.ป.ส. จะได้

-14A = 1 >>> A = -1/14

2A - 7B = 0 >>> B = -1/49
Yp = (-1/14)x^2 -x/49

Y = C + De^7x +(-1/14)x^2 - x/49 #

[B บ ....]

ขอบคุณมากครับ เข้าใจขึ้นบ้างแล้ว -*- ปวดหัวมานานกะอิสระเชิงเส้น