ข้อสอบ ทฤษฎีจำนวนบางข้อ

[Thgx0312555]

1. ให้ $p$ เป็นจำนวนเฉพาะที่อยู่ในรูป $3k+2, k \in \mathbb{Z}$
ถ้า $ p $ | $ (a^2+ab+b^2)$ สำหรับบาง $a,b \in \mathbb{Z}$ แล้วจงพิสูจน์ว่า $p$|$a$ และ $p$|$b$


2. ถ้ามีจำนวนเต็มบวก $n$ ที่ทำให้ $3^n-2^n = p^{\alpha}$ สำหรับบาง $p \in \mathbb{P}$ และ $\alpha \in \mathbb{N}$
แล้วจงพิสูจน์ว่า $n \in \mathbb{P}$
(ให้ $\mathbb{P}$ แทนเซตของจำนวนเฉพาะบวก)


3. จงพิสูจน์ว่า
$\displaystyle 1^n+2^n+\cdots+p^n \equiv \cases{-1 \ (mod \ p) & , (p-1) \ | \ n \cr \ 0 \ (mod \ p) & , (p-1) \nmid n} $