FFTMO9

[passer-by]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Pain 7th

ข้อสุดท้าย NT n มีตัวประกอบ 3 ตัวหรือเปล่าครับ

ไม่จำเป็นครับ

ข้อนี้มี n หลายคำตอบครับ

[~ArT_Ty~]

อสมการครับ อาจจะง่ายสำหรับบางคน (ยากสำหรับผม) =3="

(Poland 2006) $a,b,c$ เป็นจำนวนจริงบวกที่สอดคล้องกับ $ab+bc+ca=abc$ จงแสดงว่า

$$\frac{a^4+b^4}{ab(a^3+b^3)}+\frac{b^4+c^4}{bc(b^3+c^3)}+\frac{c^4+a^4}{ca(c^3+a^3)}\geqslant 1$$

(Ireland 2007) $a,b,c$ เป็นจำนวนจริงบวก จงพิสูจน์ว่า

$$\frac{1}{3}\left(\,\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}+\frac{ab}{c}\right)\geqslant \sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2}{3}}\geqslant \frac{a+b+c}{3}$$

(Romania 2008) $a,b,c$ เป็นจำนวนจริงบวกที่สอดคล้องกับ $abc=8$ จงแสดงว่า

$$\frac{a-2}{a+1}+\frac{b-2}{b+1}+\frac{c-2}{c+1}\leqslant 0$$

[nooonuii]

(Romania 2008) $a,b,c$ เป็นจำนวนจริงบวกที่สอดคล้องกับ $abc=8$ จงแสดงว่า

$$\frac{a-2}{a+1}+\frac{b-2}{b+1}+\frac{c-2}{c+1}\leqslant 0$$

ชอบข้อนี้ครับ

[DEK [T]oR J[O]r [W]aR]

อสมการที่ #333 บอกว่าชอบ สมมูลกับ $$\sum_{cyc} \frac{1}{a+1}\ge 1\leftrightarrow \frac{2(a+b+c)+(ab+bc+ca)+3}{a+b+c+ab+bc+ca+9}\ge 1$$

[Metamorphosis]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ~ArT_Ty~

(Ireland 2007) $a,b,c$ เป็นจำนวนจริงบวก จงพิสูจน์ว่า

$$\frac{1}{3}\left(\,\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}+\frac{ab}{c}\right)\geqslant \sqrt{\frac{a^2+b^2+c^2}{3}}\geqslant \frac{a+b+c}{3}$$

2 อสมการด้านขวา เป็นจริงโดย cauchy-schwarz คือ $3(a^2+b^2+c^2) \geqslant (a+b+c)^2$
พิจารณา 2 อสมการด้านซ้าย จัดรูปจะได้สิ่งที่ต้องพิสูจน์คือ $a^4b^4+b^4c^4+c^4a^4 \geqslant a^4b^2c^2 + a^2b^4c^2+a^2b^2c^4$
โดย weighted am-gm inequality
$\frac{1}{2}a^4b^4 + \frac{1}{2}c^4a^4 \geqslant a^4b^2c^2$
$\frac{1}{2}b^4c^4 + \frac{1}{2}c^4a^4 \geqslant a^2b^2c^4$
$\frac{1}{2}a^4b^4 + \frac{1}{2}b^4c^4 \geqslant a^2b^4c^2$
บวกกันก็จะได้อสมการที่ต้องการ

[~ArT_Ty~]

มาอีกข้อฮะ

$a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},a_{5}$ เป็นความยาวด้านของรูปห้าเหลี่ยมนูนรูปหนึ่ง และมี $d_{1},d_{2},d_{3},d_{4},d_{5}$ เป็นความยาวเส้นทแยงมุมทั้งห้าเส้นของรูปห้าเหลี่ยมรูปเดียวกัน

จงแสดงว่า $$\frac{1}{2}<\frac{a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}}{d_{1}+d_{2}+d_{3}+d_{4}+d_{5}}<2$$

ป.ล. ผมไม่แน่ใจว่าทางขวามันต้องน้อยกว่า 2 หรือน้อยกว่า 1 อ่ะครับ .__. ผมเอามาจากในหนังสืออ่ะครับ

เติมๆๆ (Pompeiu's Problem) ให้ $ABC$ เป็นสามเหลี่ยมด้านเท่า และ $P$ เป็นจุดใดๆที่ไม่อยู่บนเส้นรอบวงของวงกลมล้อมรอบสามเหลี่ยม $ABC$

จงแสดงว่า $PA,PB,PC$ เป็นความยาวด้านของสามเหลี่ยมได้

[DEK [T]oR J[O]r [W]aR]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ~ArT_Ty~

(Poland 2006) $a,b,c$ เป็นจำนวนจริงบวกที่สอดคล้องกับ $ab+bc+ca=abc$ จงแสดงว่า

$$\frac{a^4+b^4}{ab(a^3+b^3)}+\frac{b^4+c^4}{bc(b^3+c^3)}+\frac{c^4+a^4}{ca(c^3+a^3)}\geqslant 1$$

เปลี่ยนตัวเเปรครับ ให้ $x=1/a$ เเละรันไปเรื่อยๆ ได้ว่า $x+y+z=1$
เเละอสมการสมมูลกับ $$\sum_{cyc}\frac{x^4+y^4}{x^3+y^3}\ge 1$$
ซึ่ง $\dfrac{x^4+y^4}{x^3+y^3}\ge \dfrac{1}{2}(x+y)$ ทำให้อสมการจริง

[Pain 7th]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ DEK [T]oR J[O]r [W]aR

ซึ่ง $\dfrac{x^4+y^4}{x^3+y^3}\ge \dfrac{1}{2}(x+y)$ ทำให้อสมการจริง

พืสูจน์ไงอ่ะครับ

[DEK [T]oR J[O]r [W]aR]

#338 อสมการของ Cheby ครับ

[AnDroMeDa]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ~ArT_Ty~

(Romania 2008) $a,b,c$ เป็นจำนวนจริงบวกที่สอดคล้องกับ $abc=8$ จงแสดงว่า

$$\frac{a-2}{a+1}+\frac{b-2}{b+1}+\frac{c-2}{c+1}\leqslant 0$$

$\sum_{cyc} \frac{a-2}{a+1}\leqslant 0\Leftrightarrow \sum_{cyc} \frac{3}{a+1}\geqslant 3$
ให้ $a=\frac{2x}{y},b=\frac{2y}{z},c=\frac{2z}{x} $ จะได้อสมการสมมูลกับ
$\sum_{cyc} \frac{3y}{2x+y}\geqslant 3$
แต่จากอสมการโคชีเราได้ $\sum_{cyc} \frac{3y}{2x+y}=3\sum_{cyc} \frac{y^2}{2xy+y^2}\geqslant \frac{3(x+y+z)^2}{\sum_{cyc}(2xy+y^2)} =3 \square$

[~ArT_Ty~]

เติมเรื่อยๆครับ

(Shortlisted IMO 1997) $ABCDEF$ เป็นรูปหกเหลี่ยมที่ $AB=BC,CD=DE,EF=FA$ จงแสดงว่า

$$\frac{BC}{BE}+\frac{DE}{DA}+\frac{FA}{FC} \geqslant \frac{3}{2}$$

ถ้าอยากได้ Hint บอกได้นะครับ

[Pain 7th]

ข้อ Q5 n อยู่ในรูปนี้ได้หรือเปล่าครับ $\displaystyle n= \prod_{i=1}^n p_i^{\alpha_i}$

มันจะมี $p_{n+1}$ เป็นตัวประกอบหรือเปล่า (คาดหวังให้ไม่มีมากๆครับ)

[PP_nine]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ~ArT_Ty~

ขุดหน่อยครับ มาเป็น FE กันบ้างดีกว่า

จงหาฟังก์ชัน $f : \mathbb{Q} \rightarrow \mathbb{R} $ ทั้งหมดที่สอดคล้องกับสมการ

$$f(x+y)=f(x)f(y)-f(xy)+1$$ สำหรับทุก $x,y\in \mathbb{R}$

โจทย์ผิดนิดนึงนะครับตรงที่ $x,y \in \mathbb{Q}$

ข้อนี้ไม่ยากมากครับ เพียงแต่คนส่วนใหญ่มองข้ามสิ่งพื้นฐานบางอย่างไป

แทน $x=y=0$ พบว่า $f(0)=1$

แทน $y=1$ ได้สมการ $f(x+1)=(c-1)f(x)+1$ เมื่อ $c=f(1)$



กรณี 1 : $c=1$

ได้ $f \equiv 1$ เป็นคำตอบ



กรณี 2 : $c \not= 1$

จากสมการ $f(x+1)=(c-1)f(x)+1$

โดยการ induction จะได้ว่า $f(x+y)=(c-1)^yf(x)+(y-1)(c-1)+1$ สำหรับจำนวนตรรกยะ $x$ และจำนวนเต็ม $y$

ถ้ากำหนดว่า $x$ เป็นจำนวนเต็มด้วย ก็สามารถสลับ $x,y$ ในสมการข้างต้นได้

ให้ $k=c-1$ ดังนั้น $$k^yf(x)+k(y-1)+1=k^xf(y)+k(x-1)+1$$
แต่ในกรณีนี้กำหนดไว้แล้วว่า $k \not= 0$

ดังนั้น $$f(x)+\dfrac{y-1}{k^{y-1}}=f(y)+\dfrac{x-1}{k^{x-1}}$$
ทำให้ $$f(x)=h+\dfrac{x-1}{k^{x-1}}$$
สำหรับบางจำนวนจริง $h$ และเป็นจริงทุกจำนวนเต็ม $x$

แทน $x=0$ ได้ $h=k+1$

นอกจากนี้เมื่อแทนสมการที่ได้ลงในสมการแรก แล้วแทนด้วย $x=y=1$ จะได้ $k^3=1$

ดังนั้น $k=1$ ทำให้ $f(x+1)=f(x)+1$

โดยการ induction ได้ว่า $f(x+y)=f(x)+y$ สำหรับจำนวนตรรกยะ $x$ และจำนวนเต็ม $y$

ถ้ากำหนดว่า $x$ เป็นจำนวนเต็มด้วย ก็สามารถสลับ $x,y$ ในสมการข้างต้นได้

ดังนั้น $f(x)=x+t$ สำหรับบางจำนวนจริง $t$ และเป็นจริงทุกจำนวนเต็ม $x$

แทน $x=0$ ได้ $t=1$ หรือก็คือ $f(x)=x+1$ สำหรับจำนวนเต็ม $x$

สำหรับจำนวนเต็ม $m,n \not = 0$ ให้ $s=\dfrac{m}{n}$ แล้วพิจารณา $$f(m)=f(ns)=f(n)f(s)-f(n+s)+1$$
แต่ $n$ เป็นจำนวนเต็ม, $$m+1=(n+1)f(s)-(n+f(s))+1$$
$$m+n=nf(s)$$
$$f(s)=s+1$$
ดังนั้น $f(x)=x+1$ ทุกจำนวนตรรกยะ $x$ เป็นอีกคำตอบหนึ่ง



รวมสองกรณีแล้วได้สองคำตอบคือ $f \equiv 1$ และ $f(x)=x+1$ ทุกจำนวนตรรกยะ $x$ #

[~ArT_Ty~]

เติมๆ

(Austria-Poland 1985) สี่เหลี่ยมนูน $ABCD$ มีพื้นที่เท่ากับ 1 ตารางหน่วย จงแสดงว่า

$$AB+BC+CD+DA+AC+BD \geqslant 4+\sqrt{8}$$

[AnDroMeDa]

#341
สังเกตว่ามันเหมือนอสมการของNesbitt แล้วก็ใช้อสมการที่เกี่ยวกับสี่เหลี่ยม
#344
ควรแสดงว่า $AB+BC+CD+DA\geqslant 4,AC+BD\geqslant \sqrt{8} $ โดยAM-GM