#1
|
||||
|
||||
จำนวนเชิงซ้อน
ให้ $z_1,z_2$ เป็นจำนวนเชิงซ้อนซึ่ง $z_1^2-4z_2=12+16i$ และกำหนดให้ $a,b$ เป็นรากของสมการ
$x^2+z_1x+z_2+m=0$ สำหรับบางจำนวนเชิงซ้อน $m$ และ $|a-b|=2\sqrt7$ แล้วจงหาค่าสูงสุดของ $|m|$ |
#2
|
||||
|
||||
ตอบ $\sqrt{32}$ ครับ วิธีทำกำลังจะตามมา แต่ขอโปะไว้ก่อนละกัน 555+
|
#3
|
||||
|
||||
จากที่โจทย์กำหนด จะได้ว่า $a^2-2ab+b^2=28$ ......(1)
ให้ $x^2+z_1x+z_2+m=(x-a)(x-b)=x^2-(a+b)+ab$ จะได้ $a+b=-z_1$ และ $ab=z_2+m$ จะได้ $a^2+2ab+b^2=z^2_1$ และ $4ab=4z_2+4m$ เอาอันแรกลบอันที่สองจากบรรทัดที่แล้ว แล้วแทนค่า $4z_2=z_1^2-12-16i$ จะได้ค่าของ $a^2-2ab-b^2$ มา จับเท่ากับ (1) จะได้ $12+16i-4m=28 \rightarrow 4m=-16+16i$ $m=-4+4i$ หาขนาดก็ต่อเองนะครับ |
#4
|
||||
|
||||
#3
สมบัติที่ว่า $|z|=a$ แล้ว $z^2=a^2$ เป็นจริงสำหรับจำนวนจริง $z$ เท่านั้นครับ เช่น $|1+i|=\sqrt{2}$ แต่ $(1+i)^2 \not= 2$
__________________
keep your way.
|
#5
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
จากที่ $a,b$ เป็นรากสมการ $x^2+z_1x+z_2+m=0$ ดังนั้น $$a+b=-z_1$$ $$ab=z_2+m$$ ทำให้ $$12+16i=z_1^2-4z_2=(a+b)^2-4ab+4m$$ $$(a-b)^2=12+16i-4m$$ $$|a-b|^2=|12+16i-4m|$$ $$28=|12+16i-4m|$$ $$7=|3+4i-m|$$ $$7=|m-(3+4i)|$$ เมื่อพิจารณาในเชิงของเรขาคณิตวิเคราะห์มันก็คือสมการวงกลม ดังนั้นเซตคำตอบของ $m$ บนระนาบเชิงซ้อนก็คือจุดบนวงกลมรัศมี $7$ ที่มี $(3,4)$ เป็นจุดศูนย์กลาง โดยเราต้องการหาว่าจุดใดที่ห่างจากจุด $(0,0)$ มากที่สุด ซึ่งก็คือจุดที่อยู่บนเส้นที่ลากจาก $(0,0)$ ผ่าน $(3,4)$ ไปตัดเส้นรอบวง โดยจุดนั้นอยู่ตรงข้ามกับ $(0,0)$ เทียบกับ $(3,4)$ (ในควอตแรนท์ที่ 1) จะได้ระยะทางเป็น $\sqrt{3^2+4^2}+7=12$ #
__________________
keep your way.
11 พฤษภาคม 2012 20:24 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 4 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ PP_nine |
#6
|
||||
|
||||
งงอะครับ ช่วยบอกหน่อยครับว่าผมผิดยังไง งงๆมองไม่ออก
แล้วก็ สมการ $7=\mid m-(3+4i)\mid$ มันเป็นวงกลมยังไงเหรอครับ ช่วยสอนผมที |
#7
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
คือโจทย์บอกว่า $|a-b|=2\sqrt{7} $ จะต้องได้ว่า $|a-b|^2=28$ แต่ของคุณ~ToucHUp~ ได้ว่า $|a-b|=2\sqrt{7} \Rightarrow (a-b)^2=28$ ซึ่งไม่จริงเพราะว่า $ (a-b)^2$ อาจเป็นจำนวนเชิงซ้อนก็ได้ (ตามที่คุณ PP_nine บอก) อ้างอิง:
$7=\mid (a-3)+(b+4)i\mid \Rightarrow 7=\sqrt{(a-3)^2+(b+4)^2} \Rightarrow 7^2=(a-3)^2+(b-4)^2$ จะได้ว่า $(a,b)$ เป็นจุดบนวงกลมรัศมี $7$ ที่มี $(3,4)$ เป็นจุดศูนย์กลาง |
#8
|
||||
|
||||
ช่วยบอกที่มาหน่อยครับ
|
#9
|
||||
|
||||
$$|a-b|=2\sqrt{7} \Rightarrow 28=|a-b|^2=|(a-b)^2|=|(a+b)^2-4ab|=|z_1^2-4z_2-4m|=|12+16i-4m|$$
30 เมษายน 2012 11:32 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ AnDroMeDa |
#10
|
||||
|
||||
ขอบคุณมากครับ
|
#11
|
||||
|
||||
ขอโทษนะครับ รีบตอบไปหน่อย
__________________
keep your way.
|
#12
|
||||
|
||||
ขอบคุณครับเจอครั้งใรกก็ในค่ายเลยเรื่องนี้
จึงมีปัญหาบ้าง ปล.คุณพีพีรู้ทันผมอีก555 |
|
|