FFTMO9

[~ArT_Ty~]

C.R.T ส่วนใหญ่จะใช้ในโจทย์แนวไหนเหรอครับ

[win1234]

#359
ถูกแล้วครับ แต่รบกวนช่วบแสดงวิธีทำมาหน่อยได้มั้ยครับ

[AnDroMeDa]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ win1234

คราวนี้มาลองดูข้อง่ายๆกันครับ
Let $P$ be a point inside $\Delta ABC$, and $AP,BP,CP$ meet $BC,CA,AB$ at $L,M,N$ respectively.
Find the position of $P$ for which$(\frac{AP}{AL} )^2+(\frac{BP}{BM} )^2+(\frac{CP}{CN} )^2$ is minimum.

Solution

กำหนดสัญลักษณ์$[ABC]$คือพื้นที่ของ$\triangle ABC$
พิจารณา $$\frac{AP}{AL} +\frac{BP}{BM} +\frac{CP}{CN}=\frac{AL-PL}{AL} +\frac{BM-MP}{BM} +\frac{CN-PN}{CN}=3-(\frac{PL}{AL}+\frac{PM}{BM} +\frac{PN}{CN} )=3-(\frac{[BPC]}{[ABC]}+\frac{[APC]}{[ABC]} +\frac{[ABP]}{[ABC]} )=3-1=2 $$
โดยอสมการโคชี-ซวาร์ซเราได้ว่า
$$((\frac{AP}{AL} )^2+(\frac{BP}{BM} )^2+(\frac{CP}{CN} )^2)(1+1+1)\geqslant (\frac{AP}{AL} +\frac{BP}{BM} +\frac{CP}{CN})^2=4 \Rightarrow (\frac{AP}{AL} )^2+(\frac{BP}{BM} )^2+(\frac{CP}{CN} )^2\geqslant \frac{4}{3} $$
ซึ่งอสมการจะเป็นสมการเมื่อ$\frac{AP}{AL} =\frac{BP}{BM} =\frac{CP}{CN} =\frac{2}{3} $ (โดยการพิจารณาจุดเท่ากันของอสมการโคชี-ซวาร์ซ)
ดังนั้นจุด $P$ ที่ทำให้เกิค่าต่ำสุดก็คือ จุด Centroid ของ$\triangle ABC \square$

[Beatmania]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ passer-by

# 357 (Beatmania)

สิ่งที่คุณ Beatmania ทำไว้ มีแต่อ้าง Dirichlet theorem ว่ามี จำนวนเฉพาะ $ p_i \equiv 1 \pmod m $

กับใช้ C.R.T. เพื่อบอกว่า มี a เป็นอนันต์ที่ $ p_i | a+i $

แต่ไม่ได้เชื่อมโยงกับ $ \phi$ ให้ดูเลยครับ

ผมทำหยาบไปจริงด้วยครับผม

พิจารณา $a+i , \forall i \in (0,1,...,n)$

จะได้ว่า $p_i | a+i$ ส่งผลให้ $\phi (p_i )| \phi (a+i)$

$mk_i+1-1 | \phi (a+i) ,[\exists k_i \in \unicode{8469} ]$

$mk_i | \phi (a+i)$

$m | \phi (a+i) , \forall i \in (0,1,...,n)$

[Beatmania]

เห็นว่าโจทย์คอมบินาทอริกในกระทู้น้อยมากกก เลยเอามาเติมครับ
คงจะง่ายสำหรับคนในบอร์ดนี้นะครับ

1. มีคนอยู่ทั้งหมด 1600 คน ทำข้อสอบกาถูก-ผิดทั้งหมด 15 ข้อ โดยไม่มีนักเรียนคนใดทำถูกสองข้อติดกัน

จงพิสูจน์ว่า มีอย่างน้อย 2 คน ที่รูปแบบการตอบเหมือนกัน

2.มีคนทั้งหมด 2012 คน แต่ละคนมีเพื่อนอย่างน้อย 1509 คน จงพิสูจน์ว่ามีกลุ่มคน 4 คน ที่ 2 คนใดๆในกลุ่มนี้รู้จักกัน

3.มีจุดเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาด $10\times 10$ จงหาจำนวนสี่เหลี่ยมจัตุรัสทั้งหมดที่สามารถสร้างได้โดยจุด 100 จุดดังกล่าว (ข้อนี้เคยเป็นแบบฝึกหัดค่าย 1 ของศูนย์ผมเมื่อปีที่แล้วด้วยครับ T.T)

4.(ข้อนี้มาแปลกครับ)
ถ้า $(p+r\sqrt{q} )^n = a+b\sqrt{c} $ แล้ว $(p-r\sqrt{q} )^n = a-b\sqrt{c} $
โดย c เป็น Square Free Integer

5.จงหาค่าของ $\binom{3n}{0} +\binom{3n}{3} +...+\binom{3n}{3n} $

Credit : คอมบินาทอริก สอวน. + Lecture note Kim Y. Li

[~ArT_Ty~]

ข้อ 1 ผมว่าน่าจะเริ่มจาก การหาจำนวนเลขฐาน 2 ความยาว 16 หลัก ที่ไม่มีเลข 1 ติดกัน

มันจะเท่ากับวิธีในการกาข้อสอบถูกผิดอย่างที่โจทย์บอกอ่ะครับ

[กระบี่ทะลวงด่าน]

ข้อสาม. 385 รูป. ใช่รึเปล่าครับ
ปล.ไม่เเน่ใจมากๆ

[Beatmania]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กระบี่ทะลวงด่าน

ข้อสาม. 385 รูป. ใช่รึเปล่าครับ
ปล.ไม่เเน่ใจมากๆ

ยังไม่ใช่ครับ

ข้อนี้ผมถึกนิดนึงครับ อยากเห็นวิธีของคนอื่นจัง

[win1234]

#263

ข้อที่ 5 มี $f:\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} $ หรือไม่ที่สอคล้องคล้องกับ $f(f(n-1))=f(n+1)-

f(n),\forall n\in \mathbb{N},n\geqslant 2 $

วิธีทำ(ไม่รู้ว่าถูกต้องหรือเปล่านะครับช่วยตรวจสอบให้ด้วยครับ)

สมมติให้มีฟังก์ชัน $f$ ที่สอดคล้องกับโจทย์

จากโจทย์ได้ว่า $f(f(n-1))=f(n+1)-f(n)>0$ ทำให้ $f(1)<f(2)<f(3)<...<f(n-1)<f(n)$ โดยที่ $n\in \mathbb{N} $

จัดรูปสมการโจทย์ได้ว่า $f(f(n-1))+f(n)=f(n+1)$ ดังนั้น $f(f(n-1))<f(n+1)$ เนื่องจาก $f$ เป็นฟังกชันเพิ่มโดยแท้

ทำให้เราได้ว่า $f(n-1)<n+1$ หรือนั่นคือ $f(n)<n+2$

และจากการที่ $f$ นั้นเป็นฟังก์ชันเพิ่มโดยแท้ทำให้เราได้ว่า $f(n)\geqslant n$

ดังนั้น $f(n)$ ที่เป็นไปได้คือ $f(n)=n$ หรือ $f(n)=n+1$ ตรวจสอบแล้วพบว่าเป็นเท็จ เกิดข้อขัดแย้ง

สรุปได้ว่าไม่มีฟังก์ชัน $f$ ที่สอดคล้องกับโจทย์

[จูกัดเหลียง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ~ArT_Ty~

เติมๆ

(Austria-Poland 1985) สี่เหลี่ยมนูน $ABCD$ มีพื้นที่เท่ากับ 1 ตารางหน่วย จงแสดงว่า

$$AB+BC+CD+DA+AC+BD \geqslant 4+\sqrt{8}$$

ไม่มั่นใจเลยครับ
พิจารณาจาก ในสี่เหลี่ยม ABCD ลาก $D,B$ ตั้งฉาก $AC$ ที่ $F,E$ ตามลำดับ ได้ว่า พท.$=1=\dfrac{1}{2}AC(DF+BE)\le\dfrac{1}{2}AC\cdot BD\leftrightarrow AC\cdot BD\ge 2$
ดังนั้น $AC+BD\ge \sqrt{8}$
ส่วนอีกอันนึง โดย Ptolemy $$2\le AC\cdot BD\le AB\cdot CD+BC\cdot AD\le\frac{AB^2+BC^2+CD^2+DA^2}{2}\leftrightarrow AB^2+BC^2+CD^2+DA^2\ge 4$$
ซึ่งพิสูจน์ได้(ไม่)ง่ายว่า $AB+BC+CD+DA\ge 4$

[Beatmania]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ~ArT_Ty~

มาอีกข้อฮะ

$a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},a_{5}$ เป็นความยาวด้านของรูปห้าเหลี่ยมนูนรูปหนึ่ง และมี $d_{1},d_{2},d_{3},d_{4},d_{5}$ เป็นความยาวเส้นทแยงมุมทั้งห้าเส้นของรูปห้าเหลี่ยมรูปเดียวกัน

จงแสดงว่า $$\frac{1}{2}<\frac{a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}}{d_{1}+d_{2}+d_{3}+d_{4}+d_{5}}<2$$

ป.ล. ผมไม่แน่ใจว่าทางขวามันต้องน้อยกว่า 2 หรือน้อยกว่า 1 อ่ะครับ .__. ผมเอามาจากในหนังสืออ่ะครับ

ข้อนี้อสมการสามเหลี่ยมออกครับ จับคู่ดีๆหน่อยนึง

#369 อาจจะเกิดกรณีแบบที่ f(1)=1 f(2)=2 f(3)=4 ได้หนิครับ

[win1234]

#371

ลองใช้สมบัติของฟังก์ชันโจทย์+สมบัติของฟังก์ชันเพิ่มโดยแท้ ดูครับ

มันจะได้ว่า f(1)=1 หรือ 2 ครับ แล้วลองทำต่อไปดูซักพักมันจะขัดแย้งครับ(ไม่ยากหรอกครับลองทำดูเองได้แน่นอน)

[win1234]

#370

ผมมาขอลองทำส่วนที่ $AB+BC+CD+DA\geqslant 4$

จาก พื้นที่สี่เหลี่ยม ABCD= พื้นที่สามเหลี่ยม ACD+พื้นที่สามเหลี่ยม ABC

$1=\frac{1}{2}(AD)(DC)sinADC+\frac{1}{2}(AB)(BC)sinABC$

$1\leqslant\frac{1}{2}(AD)(DC)(1)+\frac{1}{2}(AB)(BC)(1) $

ได้ว่า $(AB)(BC)+(AD)(DC)\geqslant 2$ ในทำนองเดียวกันได้ว่า $(AB)(AD)+(BC)(DC)\geqslant 2$

นำทั้งสองอสมการมารวมกันได้ว่า $(AB+CD)(BC+AD)\geqslant4$

โดยอสมการ AM-GM

$(AB+CD)+(BC+AD)\geqslant2\sqrt{(AB+CD)(BC+AD)}\geqslant4 $

[passer-by]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Beatmania

ผมทำหยาบไปจริงด้วยครับผม

พิจารณา $a+i , \forall i \in (0,1,...,n)$

จะได้ว่า $p_i | a+i$ ส่งผลให้ $\phi (p_i )| \phi (a+i)$

$mk_i+1-1 | \phi (a+i) ,[\exists k_i \in \unicode{8469} ]$

$mk_i | \phi (a+i)$

$m | \phi (a+i) , \forall i \in (0,1,...,n)$

บรรทัดนี้ : $p_i | a+i$ ส่งผลให้ $\phi (p_i )| \phi (a+i)$ ก็ไม่ได้ผิดอะไรร้ายแรงหรอกครับ

แต่น่าจะเขียนเป็น

จาก $p_i | a+i$ ดังนั้นให้ $ p_i^{\alpha}|| a+i $ สำหรับบาง $ \alpha \in \mathbb{N}$

เพราะ $ \phi $ เป็นฟังก์ชันแยกคูณ (multiplicative function) ดังนั้น $\phi (p_i^{\alpha} )| \phi (a+i)$

แต่ $ p_i-1 | \phi (p_i^{\alpha}) \Rightarrow m |\phi (p_i^{\alpha}) \Rightarrow m |\phi (a+i) $

--------------------------------------------------------------------------

แถมข้อ Q7 (Algebra)

a,b,c เป็นจำนวนเชิงซ้อนต่างกัน และ $ |a|= |b|= |c|$
ถ้า $ a^2 + \frac{bc}{a} \,\, ,b^2 + \frac{ac}{b} \,\, ,c^2 + \frac{ab}{c} \in \mathbb{R} $

พิสูจน์ $ abc =1$

[Beatmania]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ passer-by

แถมข้อ Q7 (Algebra)

a,b,c เป็นจำนวนเชิงซ้อนต่างกัน และ $ |a|= |b|= |c|$
ถ้า $ a^2 + \frac{bc}{a} \,\, ,b^2 + \frac{ac}{b} \,\, ,c^2 + \frac{ab}{c} \in \mathbb{R} $

พิสูจน์ $ abc =1$

ข้อนี้ถึกดีครับผม ผมชอบ 555

ให้ $|a|=|b|=|c|=r $

และ $a=r cis \theta _A,b=r cis \theta _B,c=r cis \theta _C , 0 \leqslant \theta _A, \theta _B, \theta _C < 2\pi $

เงื่อนไที่สอง จะได้ว่า

$r^2 sin (2 \theta _A)+rsin ( \theta _B +\theta _C -\theta _A) =0$
$r^2 sin (2 \theta _B)+rsin ( \theta _C +\theta _A -\theta _B) =0$
$r^2 sin (2 \theta _C)+rsin ( \theta _A +\theta _B -\theta _C) =0$

เนื่องจาก $r > 0$ ดังนั้น

$r sin (2 \theta _A)= -sin ( \theta _B +\theta _C -\theta _A) (1)$
$r sin (2 \theta _B)= -sin ( \theta _C +\theta _A -\theta _B) (2)$
$r sin (2 \theta _C)= -sin ( \theta _A +\theta _B -\theta _C) (3)$

$(1)+(2) \rightarrow 2r sin ( \theta _A+ \theta _B)cos( \theta _A- \theta _B) = -2 sin ( \theta _C) cos ( \theta _A- \theta _B)$
$r sin ( \theta _A+ \theta _B)= - sin ( \theta _C) (4)$
$(1)-(2) \rightarrow 2r cos ( \theta _A+ \theta _B) sin ( \theta _A- \theta _B) = -2 cos( \theta _C) sin ( \theta _B- \theta _A)$
$r cos ( \theta _A+ \theta _B)= cos( \theta _C) (5)$
$(4)^2+(5)^2 \rightarrow r^2=1$
แต่ $r>0$ ดังนั้น $r=1$
ที่เหลือก็น่าจะต่อได้นะครับ ^^