ช่วยพิสูจน์หน่อยครับ

[ReborN402]

ช่วยพิสูจน์หน่อยครับhttp://mathhelpforum.com/calculus/19...s-problem.html

[nooonuii]

ตัวหนังสือเล็กมากจนอ่านไม่ออก เอาตัวโจทย์มาลงที่นี่ได้มั้ยครับ

[ReborN402]

ผมืำไม่เปนอ่าครับ TAT ประมานว่า
f=$\frac{xy(x^2-y^2)}{x^2+y^2}$. เมื่อ $(x,y)ไม่เท่ากับ(0,0)$
=0 เมื่อ $(x,y)=(0,0)
จงพิสุจน์ว่า $f_xy$ ไม่เท่ากับ$ f_yx$ ผมทำไม่เปน หมายถึง second order partial derivativeอ่าครับ

[ReborN402]

$\frac{\partial^2{f}}{\partial x\partial y}$ ไม่เท่ากับ $\frac{\partial^2{f}}{\partial y\partial x}$
ผมพยายามแล้วครับทำไม่ได้ TTATT

[nooonuii]

ถ้า $(x,y)\neq (0,0)$ จะได้

$f_x=\dfrac{(x^2+y^2)(3x^2y-y^3)-xy(x^2-y^2)(2x)}{(x^2+y^2)^2}$

$f_y=\dfrac{(x^2+y^2)(x^3-3xy^2)-xy(x^2-y^2)(2y)}{(x^2+y^2)^2}$

ต่อไปหา

$f_x(0,0)=\lim_{h\to 0}\dfrac{f(0+h,0)-f(0,0)}{h}$

$=\lim_{h\to 0}\dfrac{f(h,0)}{h}$

$=0$

$f_y(0,0)=\lim_{h\to 0}\dfrac{f(0,0+h)-f(0,0)}{h}$

$=\lim_{h\to 0}\dfrac{f(0,h)}{h}$

$=0$

ดังนั้น

$f_{xy}(0,0)=\lim_{h\to 0}\dfrac{f_x(0,0+h)-f_x(0,0)}{h}$

$=\lim_{h\to 0}\dfrac{f_x(0,h)}{h}$

$=\lim_{h\to 0}\dfrac{-h^5/h^4}{h}$

$=-1$

$f_{yx}(0,0)=\lim_{h\to 0}\dfrac{f_y(0+h,0)-f_y(0,0)}{h}$

$=\lim_{h\to 0}\dfrac{f_y(h,0)}{h}$

$=\lim_{h\to 0}\dfrac{h^5/h^4}{h}$

$=1$

ซึ่งจะเห็นว่าไม่เท่ากัน

[ReborN402]

ขอบคุณมากครับ ผมสงสัยอีกนิดอะครับว่าทำไมไม่เท่ากัน เหมือนอาจารย์ในห้องจะบอกว่ามันเท่ากัน หรือเปล่า ยังไงก็ขอบคุณมากครับ

[nooonuii]

มันจะเท่ากันที่จุดอื่น ยกเว้นที่ $(0,0)$ ครับ

[ReborN402]

อ๋อออ ขอบคุณมากๆครับ

[Anarist]

Partial Derivative สลับกันได้ถ้า Partial Derivative มัน continuous น่ะครับ
ข้อนี้เลยเป็นตัวอย่างค้านให้ดู

จัดรูป $ \frac{xy(x^2-y^2)}{x^2 + y^2} = xy - \frac{2 x y^3}{x^2 + y^2}$
เทอมหลังคือส่วนแย่ของฟังก์ชันนี้ y มีดีกรี 1 แต่ x มีดีกรี -1 เลยเริ่มไม่สมมาตร

แต่ตัว $f , f_x , f_y $ ยัง continuous ที่ (0,0) อยู่เพราะดีกรีของเศษมันยังเกินตัวส่วนอยู่
แต่พอดู second order derivative มันจะมีเทอมที่ดีกรีเศษกับส่วนเท่ากัน ทำให้ $f_{xy} , f_{yx}$ ไม่ continuous ที่ (0,0)
f อาจจะดูยากหน่อย แต่ตัวอย่างที่คล้ายๆกันก็ $\frac{ x y}{x^2 + y^2}$ ซี่งไม่ continous ที่ (0,0)