|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#1
|
|||
|
|||
สมการซักข้อครับ (สพฐ.2555 รอบแรก)
ช่วยเสนอแนะวิธีทำข้อนี้หน่อยครับ ขอบคุณครับ
__________________
เรียวคุง |
#2
|
||||
|
||||
ต้องใช้อสมการช่วยทำนะครับ
|
#3
|
||||
|
||||
ลองจัดกำลังสองสมบูรณ์ดูครับสุดท้ายจะได้ว่า x+2=y+z-2 , y+4=z+x-4 และ z+6=y+x-6
|
#4
|
|||
|
|||
จัดกำลังสองสมบูรณ์ยังไงครับ เอาค.ร.น. คูณก่อนรึปล่าว รบกวนช่วยอธิบายอีกนิดครับ ผมยังมองไม่ออกเลย = =
__________________
เรียวคุง |
#5
|
||||
|
||||
นี่เป็นข้อสอบ สพฐ. รอบแรกข้อสุดท้ายฉบับภาษาไทยปีที่แล้วครับ ดูในกระทู้นี้ประกอบครับ.
ข้อสอบ สพฐ 2555 (รอบแรก) ผมเคยลองจัดกำลังสองสมบูรณ์ดูแล้วเหมือนกัน แต่จัดไม่ออก แต่ถ้าใช้อสมการโคชีที่อยู่ในรูปแบบของ Engel หรือ Engel form เหมือนในกระทู้ที่ว่าบอก ซึ่งพิสูจน์ได้ง่าย ๆ จากอสมการโคชี มีรูปแบบดังนี้ $$\frac{x_1^2}{a_1}+\frac{x_2^2}{a_2}+...+\frac{x_n^2}{a_n} \ge \frac{(x_1+x_2+...+x_n)^2}{(a_1+a_2+...+a_n)}$$ เมื่อ $x_1, x_2, ... x_n$ เป็นจำนวนจริงใด ๆ และ $a_1, a_2, ... , a_n$ เป็นจำนวนจริงบวก และจะเป็นสมการก็ต่อเมื่อ $\frac{x_1}{a_1} = \frac{x_2}{a_2} = ... = \frac{x_n}{a_n}$ ดังนั้น ถ้าประยุกต์อสมการโคชีในรูปแบบดังกล่าวจะได้ว่า $$\frac{(x+2)^2}{y+z-2} + \frac{(y+4)^2}{z+x-4}+\frac{(z+6)^2}{x+y-6} \ge \frac{(x+y+z+12)^2}{2(x+y+z)-12}$$ แต่โจทย์กำหนดให้ $\frac{(x+2)^2}{y+z-2} + \frac{(y+4)^2}{y+z-2}+\frac{(z+6)^2}{x+y-6} = 36$ ดังนั้นจะได้อสมการ $\frac{(x+y+z+12)^2}{2(x+y+z)-12} \le 36$ จากอสมการนี้ ถ้าจัดรูปจะได้ $(x+y+z)^2-48(x+y+z)+576 \le 0 \iff (x+y+z-24)^2 \le 0$ แต่ปกติแล้ว ค่าของ $(x+y+z-24)^2 \ge 0$ เสมอ ดังนั้นจะสรุปได้ว่า $x+y+z-24 = 0 \iff x+y+z=24$ เท่านั้น เมื่อแทนค่าในโจทย์ก็จะได้ว่า $$\frac{(x+2)^2}{22-x} + \frac{(y+4)^2}{20-y} + \frac{(z+6)^2}{18-z} = 36$$ ซึ่งจากเงื่อนไขการเป็นสมการ จะได้ว่า $\frac{x+2}{22-x} = \frac{y+4}{20-y} = \frac{z+6}{18-z}$ ถ้าลองจับ $\frac{x+2}{22-x} = \frac{y+4}{20-y}$ แล้วจัดรูป จะได้ $x-y=2 ... (1)$ และถ้าจับ $\frac{x+2}{22-x} = \frac{z+6}{18-z}$ จะได้ $x-z=4 ... (2)$ แต่เราทราบว่า $x+y+z=24 ... (3)$ ดังนั้นถ้านำสมการ (1)+(2)+(3) , จะได้ $3x = 30$ จึงได้ $x=10, y= 8, z = 6$ ดังนั้น $x^2+y^2+z^2 = 200$ มีได้ค่าเดียว
__________________
The Lost Emic <<-- หนังสือเฉลยข้อสอบระดับประถมนานาชาติ EMIC ครั้งที่ 1 - ครั้งที่ 8 ชุดสุดท้าย หลงมา 20 ธันวาคม 2012 22:09 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ gon เหตุผล: พิมพ์ผิด |
#6
|
|||
|
|||
ขอบคุณมากครับ กระจ่างแจ้งเลยครับ
__________________
เรียวคุง |
#7
|
||||
|
||||
แบบนี้ได้ป่าวครับ
$\frac{(x+2)^2}{(\sqrt{y+z-2})^2}+\frac{(y+4)^2}{(\sqrt{z+x-4})^2}+\frac{(z+6)^2}{(\sqrt{x+y-6})^2}$ $=\frac{(x+2)^2}{(\sqrt{y+z-2})^2}+\frac{(y+4)^2}{(\sqrt{z+x-4})^2}+\frac{(z+6)^2}{(\sqrt{x+y-6})^2}-2(x+2)-2(y+4)-2(z+6)+(\sqrt{y+z-2})^2+(\sqrt{z+x-4})^2+(\sqrt{x+y-6})^2+2(x+2)+2(y+4)+2(z+6)-(\sqrt{y+z-2})^2-(\sqrt{z+x-4})^2-(\sqrt{x+y-6})^2$ $=(\frac{(x+2)^2}{(\sqrt{y+z-2})^2}-2(x+2)+(\sqrt{y+z-2})^2)+(\frac{(y+4)^2}{(\sqrt{z+x-4})^2}-2(y+4)+(\sqrt{y+z-2})^2)+(\frac{(z+6)^2}{(\sqrt{x+y-6})^2}-2(z+6)+(\sqrt{y+z-2})^2)+2(x+2)+2(y+4)+2(z+6)-(\sqrt{y+z-2})^2-(\sqrt{z+x-4})^2-(\sqrt{x+y-6})^2$ $=(\frac{x+2}{\sqrt{y+z-2}}-\sqrt{y+z-2})^2+(\frac{y+4}{\sqrt{z+x-4}}-\sqrt{z+x-4})^2+(\frac{z+6}{\sqrt{x+y-6}}-\sqrt{x+y-6})^2+2(x+2)+2(y+4)+2(z+6)-(\sqrt{y+z-2})^2-(\sqrt{z+x-4})^2-(\sqrt{x+y-6})^2$ $=(\frac{x+2}{\sqrt{y+z-2}}-\sqrt{y+z-2})^2+(\frac{y+4}{\sqrt{z+x-4}}-\sqrt{z+x-4})^2+(\frac{z+6}{\sqrt{x+y-6}}-\sqrt{x+y-6})^2+36 =36$ ดังนั้น $(\frac{x+2}{\sqrt{y+z-2}}-\sqrt{y+z-2})^2+(\frac{y+4}{\sqrt{z+x-4}}-\sqrt{z+x-4})^2+(\frac{z+6}{\sqrt{x+y-6}}-\sqrt{x+y-6})^2=0$ จะได้ต่อว่า $(\frac{x+2}{\sqrt{y+z-2}}-\sqrt{y+z-2})^2=0$ $(\frac{y+4}{\sqrt{z+x-4}}-\sqrt{z+x-4})^2=0$ $(\frac{z+6}{\sqrt{x+y-6}}-\sqrt{x+y-6})^2=0$ แก้ไปมาจะได้ $x^2+y^2+z^2=200$ ครับ 19 ธันวาคม 2012 16:50 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ TacH |
#8
|
||||
|
||||
สุดยอดครับ = =
|
#9
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
__________________
ขอปลอบใจตัวเองหน่อยนะครับ: เอาน่า..นี่แค่สนามเดียว,ถือว่าฟาดเคราะห์ละกัน สนามหน้าต้องดีแน่[เคราะห์โดนฟาดไปเกลี้ยงแล้วนี่นา] สู้ๆ |
#10
|
||||
|
||||
a1/b1=a2/b2=........
__________________
I'm god of mathematics. |
#11
|
||||
|
||||
เงื่อนไขการเป็นสมการ หมายความว่า
$$\frac{x_1^2}{a_1}+\frac{x_2^2}{a_2}+...+\frac{x_n^2}{a_n} = \frac{(x_1+x_2+...+x_n)^2}{(a_1+a_2+...+a_n)}$$ เมื่อ $\frac{x_1}{a_1} = \frac{x_2}{a_2} = ... = \frac{x_n}{a_n} (= k)$ (ซึ่งพิสูจน์มาจาก อสมการโคชี รูปแบบปกติครับ) |
#12
|
||||
|
||||
วิธีแบบม.ต้นที่ไม่ใช่คิดง่ายๆของคุณTacH....สุดยอดครับ ขอจำไปใช้ครับ
__________________
"ถ้าเราล้มบ่อยๆ ในที่สุดเราจะรู้ว่าถ้าจะล้ม ล้มท่าไหนจะเจ็บน้อยที่สุด และรู้อีกว่าต่อไปทำยังไงจะไม่ให้ล้มอีก ดังนั้นจงอย่ากลัวที่จะล้ม"...อาจารย์อำนวย ขนันไทย ครั้งแรกในชีวิตที่สอบคณิตสมาคมคณิตศาสตร์เมื่อปี2533...ผมได้แค่24คะแนน(จากร้อยคะแนน) |
#13
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
__________________
ขอปลอบใจตัวเองหน่อยนะครับ: เอาน่า..นี่แค่สนามเดียว,ถือว่าฟาดเคราะห์ละกัน สนามหน้าต้องดีแน่[เคราะห์โดนฟาดไปเกลี้ยงแล้วนี่นา] สู้ๆ |
#14
|
||||
|
||||
บรรทัด สามไปสี่ ก็การบวกเข้าหักออกธรรมดานี่ครับ ลองกระจายพวกรูทยกกำลังสองออกแล้วได้พจน์กำลังหนึ่ง เช็คเครื่องหมายดีๆ แล้วมันตัดกันหมดเหลือแค่ $36$ เขียนช้าๆทีละตัว ผมเพิ่งเอาโจทย์ข้อนี้ไปให้ลูกทำ เกือบงงตอนบวกเข้าหักออกเหมือนกัน
__________________
"ถ้าเราล้มบ่อยๆ ในที่สุดเราจะรู้ว่าถ้าจะล้ม ล้มท่าไหนจะเจ็บน้อยที่สุด และรู้อีกว่าต่อไปทำยังไงจะไม่ให้ล้มอีก ดังนั้นจงอย่ากลัวที่จะล้ม"...อาจารย์อำนวย ขนันไทย ครั้งแรกในชีวิตที่สอบคณิตสมาคมคณิตศาสตร์เมื่อปี2533...ผมได้แค่24คะแนน(จากร้อยคะแนน) |
#15
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
ต้องเป็นบรรทัด4ไป5สิ ผมคงเบลอนับเลขผิด ยังไงก็ขอคำแนะนำด้วยครับ
__________________
ขอปลอบใจตัวเองหน่อยนะครับ: เอาน่า..นี่แค่สนามเดียว,ถือว่าฟาดเคราะห์ละกัน สนามหน้าต้องดีแน่[เคราะห์โดนฟาดไปเกลี้ยงแล้วนี่นา] สู้ๆ |
หัวข้อคล้ายคลึงกัน | ||||
หัวข้อ | ผู้ตั้งหัวข้อ | ห้อง | คำตอบ | ข้อความล่าสุด |
ข้อสอบ TME ม.3 2555 | Euler-Fermat | ข้อสอบในโรงเรียน ม.ต้น | 72 | 30 กันยายน 2013 13:59 |
ข้อสอบ TME ม.2 2555 | judi | ข้อสอบในโรงเรียน ม.ต้น | 67 | 18 สิงหาคม 2013 13:19 |
ข้อสอบ TME ป.6 2555 | judi | ข้อสอบในโรงเรียน ประถมปลาย | 45 | 06 ตุลาคม 2012 22:25 |
ข้อสอบ TME ม.1 2555 | lekb | ข้อสอบในโรงเรียน ม.ต้น | 48 | 09 กันยายน 2012 18:22 |
ประกาศรายชื่อผู้แทนประเทศไทยไปแข่งขันโอลิมปิกวิชาการ ปี พ.ศ. 2555 | geophysics | ข่าวคราวแวดวง ม.ปลาย | 0 | 13 มิถุนายน 2012 10:21 |
|
|