#1
|
|||
|
|||
โจทย์ใหม่
จงหา x,y ที่เป็นจำนวนเต็มทั้งหมดซึ่ง
สอดคล้องกับ x^2-61y^2=1 ลองทำดูละกัน |
#2
|
||||
|
||||
สำหรับคำถามแนว Pell's Equation คุณ Catt ได้เคยตอบไว้แล้วในปัญหา โจทย์ของคนมีระดับ สำหรับผู้ที่สนใจรายละเอียดลึกๆหาอ่านได้จาก หนังสือเกี่ยวกับทฤษฎีจำนวน อย่างไรก็ตามหากใครมีแนวความคิดในการแก้ ที่ไม่เหมือนใครลองเสนอมาครับ
Pell's Equation จัดอยู่ในรูป x2 - Dy2 = 1 โดย D เป็นจำนวนเต็มที่ไม่ใช่ค่ากำลังสอง ปัญหา Pell's Equation มีมาตั้งแต่สมัยของอาร์คิมิดิส ได้แก่สมการ x2 - 4729494y2 = 1 ซึ่งกว่าจะแก้ปัญหานี้ได้ก็ล่วงเลยมาถึงปี ค.ศ. 1880 พบว่า ผลเฉลยที่น้อยที่สุด มีค่า y เป็นตัวเลข 41 หลัก ส่วนค่า x เป็นตัวเลขนับแสนหลัก !! สมมติว่า (x1 , y1) เป็นผลเฉลยหนึ่งของ Pell's Equation x2 - Dy2 = 1 เราสามารถหาผลเฉลย เพิ่มเติมได้จากผลเฉลยเดิมดังนี้ 1 = x12 - Dy12 = (x1 + y1sqrt(D)) (x1 - y1sqrt(D)) 12 = (x1 + y1sqrt(D))2 (x1 - y1sqrt(D))2 = ((x12 + y12D) + 2x1y1sqrt(D)) ((x12 + y12D) - 2x1y1sqrt(D)) = (x12 + y12D)2 - (2x1y1)2D \ (x12 + y12D , 2x1y1) เป็นผลเฉลยใหม่ ในทำนองเดียวกับการทำ 13 , 14 , 15 , ... จะได้ผลเฉลยของสมการนี้เช่นกัน หากนำมาเขียนเป็นทฤษฎีบทจะได้ออกมาดังนี้ Pell's Equation Theorem กำหนดให้ D เป็นจำนวนเต็มที่ไม่ใช่ค่ากำลังสอง แล้วสำหรับสมการ x2 - Dy2 = 1 จะมีผลเฉลยที่เป็น จำนวนเต็มบวกเสมอ ถ้า (x1 , y1) เป็นผลเฉลยที่มีค่า x1 เป็นจำนวนเต็มบวกที่น้อยที่สุดที่เป็นไปได้ แล้วจะได้ว่า ทุกผลเฉลย (xk , yk) สามารถหาได้จากการยกกำลังดังนี้ xk + yksqrt(D) = (x1 + y1sqrt(D))k โดยที่ k = 1,2,3,... ยกตัวอย่างเช่น ผลเฉลยที่น้อยที่สุดของ x2 - 47y2 = 1 คือ (48,7) จะสามารถหาผลเฉลยทั้งหมดจากการ ยกกำลังของ 48 + 7sqrt(47) จึงได้ผลเฉลยตัวที่สองและสามดังนี้ (4607 , 672) จาก (48 + 7sqrt(47))2 = 4607 + 672sqrt(47) (442224 , 64505) จาก (48 + 7sqrt(47))2 = 442224 + 64505sqrt(47) ปัญหาที่สำคัญกว่าตอนนี้คือ จะมีวิธีหาผลเฉลยที่น้อยที่สุดได้อย่างไร ? ยกตัวอย่างเช่นจาก ปัญหาข้อนี้ x2 - 61y2 = 1 มีผลเฉลยที่น้อยที่สุดคือ (1766319049 , 226153980) !!
__________________
The difference between school and life? In school, you're taught a lesson and then given a test. In life, you're given a test that teaches you a lesson. 05 ธันวาคม 2001 15:21 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ TOP |
#3
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
x = 109931986732829734979866232821433543901088049 (45 หลัก - ยังไม่ถึงแสนหลักครับ) y = 50549485234315033074477819735540408986340 (41 หลัก) 01 กุมภาพันธ์ 2006 16:44 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ warut |
|
|