ช่วยพิสูจน์หน่อยค่ะ

[WBformic]

1. กำหนดให้ G เป็นกรุปจำกัด และ H เป็นกรุปย่อยของ G โดยที่ [G : H] = 2 จงพิสูจน์ว่า aH = Ha สาหรับทุก ๆ
$a \in G$
2. กำหนดให้ G เป็นกรุปจำกัด และ $a \in G$ จงพิสูจน์ว่า o(a) | |G|
3. กำหนดให้ G เป็นกรุปจำกัด โดยที่ |G| = p จงพิสูจน์ว่า ถ้า p เป็นจานวนเฉพาะแล้ว G จะเป็นกรุปวัฏจักร และกรุปย่อยของ G จะมีเพียงสองกรุปย่อยเท่านั้น คือ G และ {e}

ปล.ไม่ค่อยเข้าใจเรื่องนี้สักเท่าไหร่ค่ะ รบกวนด้วยนะคะ

[nooonuii]

1. สมมติ $G=H\cup gH=H\cup Hg$ บาง $g\in G$

ให้ $a\in G$

ถ้า $a\in H$ จะได้ $aH=H=Ha$

ถ้า $a\not\in H$ จะได้ $aH=gH=Hg=Ha$

2. ให้ $H=\{a^0,a^1,...,a^{o(a)-1}\}$ จะได้ว่า $H$ เป็น subgroup ของ $G$

และ $|H|=o(a)$ โดยทฤษฎีบทของ Lagrange จะได้ว่า $|H|\mid |G|$

3. เนื่องจาก $|G|=p$ เป็นจำนวนเฉพาะ จะมีสมาชิก $a\in G$ ซึ่ง $o(a)>1$

จากข้อ 2 จะได้ว่า $o(a)\mid p$ แต่ $p$ เป็นจำนวนเฉพาะจะต้องได้ว่า $o(a)=1,p$

ดังนั้น $o(a)=p$ จึงได้ว่า $G=<a>$ เป็น cyclic group

โดยทฤษฎีบทของ Lagrange subgroup ของ $G$ จะต้องมีสมาชิก $1$ หรือ $p$ ตัวเท่านั้น

จึงได้ตามที่ต้องการ

[WBformic]

ขอบคุณคุณ noonuii มากค่ะ เริ่มเข้าใจขึ้นมาบ้างแล้วค่ะ ขอบคุณมากๆ ค่ะ