|
สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ข้อความวันนี้ | ค้นหา |
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
#1
|
||||
|
||||
Functional Equation for POSN camp.
เป็นโจทย์เกี่ยวกับฟังก์ชัน ใครมีโจทย์เจ๋งๆ หรือทำข้อไหนได้รบกวนโพสต์ด้วยนะครับ แล้วจะลงกี่ข้อก็ตามแต่ใจท่านเป็นโจทย์ตั้งแต่ค่าย 1 ถึง TMO หรือ ค่ายสูงกว่านั้นก็ได้ครับ
============================================================ 1.จงหาฟังก์ชัน $f:\mathbf{Z} \rightarrow \mathbf{Z}$ ซึ่ง $ f(m+n-mn)=f(m)+f(n)-f(mn) $ 2.จงหาฟังก์ชัน $f:\mathbf{Q} \rightarrow \mathbf{Q}$ ซึ่ง $ f(x+f(x)+2y)=2x+2f(f(y)) $ 3.กำหนด $f:\mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$ และ $f(3x+y)+f(3x-y)=f(x+y)+f(x-y)+16f(x)$ จงแสดงว่า $f$ เป็นฟังก์ชันคู่ 07 มีนาคม 2013 14:47 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ ความรู้ยังอ่อนด้อย |
#2
|
||||
|
||||
3. ให้ $P(x,y)$ แทนข้อความดังกล่าว
$P(0,0)$; $f(0)=0$ $P(x,x)$; $f(4x)=16f(x)$ $P(x,0)$; $f(3x)=9f(x)$ $P(x,3x)$; $f(6x)+f(0)=f(4x)+f(-2x)+16f(x)$ จัดรูปโดยใช้ที่พิสูจน์ไว้ข้างต้นจะได้ $9f(2x)-f(-2x)=32f(x)$ แทน $x$ ด้วย $2x$ จะได้ $9f(4x)-f(-4x)=32f(2x)$ แทนค่า $f(4x)=16f(x), f(-4x)=16f(-x)$ $9\cdot 16f(x) - 16f(-x) = 32f(2x)$ $9f(x)-f(-x)=2f(2x)$ $f(2x) = \dfrac{9f(x)-f(-x)}{2}$ แทนค่า $x$ ด้วย $-x;$ $f(-2x) = \dfrac{9f(-x)-f(x)}{2}$ จากสมการ $9f(2x)-f(-2x)=32f(x)$ แทนค่า $f(2x),f(-2x)$ $9(\dfrac{9f(x)-f(-x)}{2})-\dfrac{9f(-x)-f(x)}{2}=32f(x)$ $41f(x)-9f(-x) = 32f(x)$ จะได้ $f(x)=f(-x)$ ดังนั้น $f$ เป็นฟังก์ชันคู่
__________________
----/---~Alice~ จงรับรู้ไว้ ชื่อแห่งสีสันหนึ่งเดียวที่แสดงผล ---/---- ~Blue~ นี่คือ สีแห่งความหลังอันกว้างใหญ่ของเว็บบอร์ดนี้ 09 มีนาคม 2013 14:55 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Thgx0312555 |
#3
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
$P(0,0); f(f(0))=2\cdot 0 +2f(f(0))$ $f(f(0))=0$ $P(x,0); f(x+f(x)) = 2x+2f(f(0)) = 2x$ สำหรับทุกจำนวนตรรกยะ $k$ จะมี $a = \dfrac{k}{2}+f(\dfrac{k}{2})$ ซึ่ง $f(a)=k$ $\therefore f: onto$ $P(x+f(x),0); f(x+f(x)+f(x+f(x))) = 2x+2f(x)$ $f(x+f(x)+2x) = 2x+2f(x)$ แต่จาก $P(x,x); f(x+f(x)+2x) = 2x+2f(f(x))$ $f(f(x)) = f(x)$ แต่ $f$ เป็นฟังก์ชัน onto แทนค่า $f(x)$ ด้วย $x$ $f(x)=x$
__________________
----/---~Alice~ จงรับรู้ไว้ ชื่อแห่งสีสันหนึ่งเดียวที่แสดงผล ---/---- ~Blue~ นี่คือ สีแห่งความหลังอันกว้างใหญ่ของเว็บบอร์ดนี้ 09 มีนาคม 2013 14:42 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Thgx0312555 |
#4
|
||||
|
||||
มี 1 ฟังก์ชันแล้วครับ
$f(x)=x$ |
#5
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
|
#6
|
||||
|
||||
3.
แทน $$P(0,0): f(0)=0$$ $$p(x,0): f(3x)=9f(x)$$ $$p(x,x): f(4x)=16f(x)$$ $$p(x,2x): f(5x)+f(x)=f(3x)+f(-x)+16f(x)$$ ได้ $$f(5x)=24f(x)+f(-x)$$ $$p(x,6x): f(9x)+f(-3x)=f(7x)+f(-5x)+16f(x)$$ แทนลงไปได้ $$81f(x)+9f(-x)=f(7x)+24f(-x)+f(x)+16f(x)$$ ได้ $$f(7x)=64f(x)-15f(-x)$$ $$p(4x,3x): f(15x)+f(9x)=f(7x)+f(x)+16f(4x)$$ แทนลงไปได้ $$9f(5x)+81f(x)=64f(x)-15f(-x)+257f(x)$$ $$216f(x)+9f(-x)+81f(x)=321f(x)-15f(-x)$$ $$24f(-x)=24f(x)$$ 09 มีนาคม 2013 03:30 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ polsk133 |
#7
|
||||
|
||||
แก้+อธิบายเพิ่มแล้วครับ
__________________
----/---~Alice~ จงรับรู้ไว้ ชื่อแห่งสีสันหนึ่งเดียวที่แสดงผล ---/---- ~Blue~ นี่คือ สีแห่งความหลังอันกว้างใหญ่ของเว็บบอร์ดนี้ |
#8
|
||||
|
||||
__________________
16.7356 S 0 E 18:17:48 14/07/15 |
#9
|
||||
|
||||
4.จงหาฟังก์ชัน $f:\mathbf{N} \rightarrow \mathbf{N}$ ซึ่ง $3f(f(f(n)))+2f(f(n))+f(n)=6n$
5.จงหาฟังก์ชัน $f:\mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$ ซึ่ง $f(x)=f(x^2+\dfrac{x}{3}+\dfrac{1}{9})$ 6.จงหาฟังก์ชัน $f: (0,1) \rightarrow \mathbf{R}$ ซึ่ง $f(xyz)=xf(x)+yf(y)+zf(z)$ 7.จงหาฟังก์ชัน $f:\mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}$ ซึ่ง $(x-y)f(x+y)=(x+y)f(x-y)$ |
หัวข้อคล้ายคลึงกัน | ||||
หัวข้อ | ผู้ตั้งหัวข้อ | ห้อง | คำตอบ | ข้อความล่าสุด |
Warm Up for POSN Camp#2 | Thgx0312555 | ข้อสอบโอลิมปิก | 116 | 13 เมษายน 2013 22:04 |
functional equation(Cauchy's equation) and composition function | tukkaa | ปัญหาคณิตศาสตร์ทั่วไป | 0 | 25 พฤษภาคม 2011 10:53 |
Functional Equation | Spotanus | พีชคณิต | 1 | 03 ตุลาคม 2008 21:58 |
IMO;Functional Equation | The jumpers | พีชคณิต | 4 | 12 พฤษภาคม 2008 14:43 |
Functional Equation | dektep | พีชคณิต | 14 | 14 มีนาคม 2008 11:35 |
|
|