#1
|
||||
|
||||
รวมโจทย์
1.กำหนดให้ $g(x)=\frac{x-5}{x-3} $
นิยาม $g^n(x)=(g\circ g\circ g\circ...\circ g)(x)$ จงหา $g^{2012}(2012)$ 2.กำหนดให้ $x,y$ เป็นจำนวนเต็มบวก สมการ $xy-2556x-2012y=0$ มีกี่คำตอบ โดย $x>y+543$ 3.ถ้า $f(x)=x^3+2x-3$ และ $g=f^{-1}(x)$ จงหา $ \lim_{x \to 1} \frac{f(g(x^2+x)-2)}{x-1} $ 4.กำหนด $A$ คือ $\bmatrix{2 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 &1 & 2}$ และ $A^{-1}=aA^2+bA+cI$ โดยที่ $a,b,c$ เป็นค่าคงตัว จงหา $a^2+b^2+c^2$ 5.จงหาค่าของ $cos\frac{\pi}{2555}+ cos\frac{3\pi}{2555}+...+ cos\frac{2553\pi}{2556}$ 6.$B$ เป็นเมตริกซ์เอกฐาน และ $0<x<\frac{\pi}{2}$ ถ้า $B=\bmatrix{8+4sinx & 2+sinx \\ \sqrt{7}& cosA} $ จงแสดงวิธีหา $4(cosA-sin\frac{A}{2})$ โดยไม่แทนค่า x 7.กำหนด $f(x)= \frac{1+sinx}{5+4cosx}$ จงหาค่าต่ำสุดและค่าสูงสุดของ $f(x)$ 10 สิงหาคม 2013 18:50 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ lnพwsะบุ๑sสุ๑xล่o |
#2
|
||||
|
||||
7. ใช้สูตร $sin2A = \frac{2tanA}{1+tan^2A}$ เเละ $cos2A = \frac{1-tan^2A}{1+tan^2A}$
เเทนค่าลงไปเเล้วจัดรูปฟังก์ชันของโจทย์ จะได้ $1+\frac{2tanA-8}{tan^2A+9}$ โดยที่ $A=\frac{x}{2}$ เนื่องจาก $tan\frac{x}{2} = tanA$ เป็นฟังก์ชัน Surjective (ทั่วถึง) จาก R ไป R สามารถกำหนดให้ $tanA = a$ ได้ กำหนดให้ $f(a) = \frac{2a-8}{a^2+9}$ $f'(a) = \frac{-2a^2+16a+18}{(a^2+9)^2}$ หาค่าวิกฤตโดยให้ $f'(a)=0$ จะได้ $a=9,-1$ เมื่อตรวจสอบด้วย $f''(a)$ พบว่า $f(-1)=-1$ เป็นค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ เเละ $f(9)=\frac{1}{9}$ เป็นค่าสูงสุดสัมพัทธ์ เมื่อ x มีค่ามากๆ หรือมีค่าน้อยมากๆ พบว่า f(a) มีค่าเข้าใกล้ 0 ดังนั้นค่าต่ำสุดของโจทย์คือ $1-1 = 0$ เเละค่าสูงสุดคือ $1+\frac{1}{9} = \frac{10}{9}$
__________________
ต้องสู้ถึงจะชนะ CCC Mathematic Fighting เครียด เลย |
#3
|
||||
|
||||
เก็บข้อไม่ยากไปก่อน
ข้อ 1. พบว่า $g^2(x) = \frac{2x-5}{x-2}$ $g^3(x) = \frac{3x-5}{x-1}$ $g^4(x) = x$ เป็นเเบบนี้ไปเรื่อยๆ จะได้ว่า $g^{2012}(x) = x$ ดังนั้น $g^{2012}(2012) = 2012$
__________________
ต้องสู้ถึงจะชนะ CCC Mathematic Fighting เครียด เลย |
#4
|
||||
|
||||
ข้อ 4 ก่อนเเล้วกันนะครับ
ผมลองเอา $A$ คูณทั้งสองข้างของสมการเลยได้ $I = aA^3 + bA^2 + cA $ เเล้วก็คูณหา $A^3 , A^2$ ออกมาตั้งสมการ เลือกหยิบมาสามสมการจะเห็นว่า $20a+5b+c=0$ $15a+4b+c=0$ $21a+6b+2c=1$ เเก้สมการทั้งสาม จะได้ว่า $a=1 , b=-5 , c=5$ ดังนั้น $a^2 + b^2 + c^2 = 51$
__________________
ต้องสู้ถึงจะชนะ CCC Mathematic Fighting เครียด เลย |
#5
|
||||
|
||||
ข้อ 5. ถ้าเเก้ตัวส่วยของพจน์สุดท้ายเป็น 2555 น่าจะทำให้คิดได้นะครับ ??
ให้ $S = cos\frac{\pi}{2555} + cos\frac{3\pi}{2555} + ... + cos\frac{2553\pi}{2555}$ $2sin\frac{\pi}{2555}S = 2sin\frac{\pi}{2555}cos\frac{\pi}{2555} + 2sin\frac{\pi}{2555}cos\frac{3\pi}{2555} + ... + 2sin\frac{\pi}{2555}cos\frac{2553\pi}{2555}$ $2sin\frac{\pi}{2555}S = sin\frac{2554\pi}{2555} = sin\frac{\pi}{2555}$ $S = \frac{1}{2}$ ข้อ 6 นี่ ... A เป็น matrix เเล้วจะหาค่าของ cosA ได้เหรอครับ ??
__________________
ต้องสู้ถึงจะชนะ CCC Mathematic Fighting เครียด เลย |
#6
|
||||
|
||||
แก้ไขแล้วครับ ข้อ 6
|
#7
|
||||
|
||||
OK ครับขอบคุณครับ
ข้อ 6. $detB = 0$ จะได้ $(8+4sinx)cosA - \sqrt{7}(2+sinx)=0$ $cosA = \frac{\sqrt{7}}{4}$ จากสูตร $cosA = 1-2sin^2 \frac{A}{2} = \frac{\sqrt{7}}{4}$ $sin\frac{A}{2} = \sqrt{\frac{4-\sqrt{7}}{8}} = \sqrt{\frac{8-2\sqrt{7}}{16}} = \sqrt{\frac{(\sqrt{7}-1)^2}{16}} = \frac{\sqrt{7}-1}{4}$ ดังนั้น $4(cosA-sin\frac{A}{2})$ $= 4(\frac{\sqrt{7}}{4}-\frac{\sqrt{7}-1}{4}) = 1$
__________________
ต้องสู้ถึงจะชนะ CCC Mathematic Fighting เครียด เลย 10 สิงหาคม 2013 19:26 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Suwiwat B |
#8
|
|||||
|
|||||
โจทย์ผิดเยอะแยะเลย
อ้างอิง:
อ้างอิง:
อ้างอิง:
อ้างอิง:
อ้างอิง:
จาก $9\sin x-40\cos x\le41$ และ $5+4\cos x>0$ จะได้ว่า $f(x)=\dfrac{1+\sin x}{5+4\cos x}\le\dfrac{10}{9}$ และ $f(\pi-\arcsin\dfrac{9}{41})=\dfrac{10}{9}$ ดังนั้น ค่าสูงสุดของ $f(x)$ คือ $\dfrac{10}{9}$ จาก $1+\sin x\ge0$ และ $5+4\cos x>0$ จะได้ว่า $f(x)=\dfrac{1+\sin x}{5+4\cos x}\ge0$ และ $f(-\dfrac{\pi}{2})=0$ ดังนั้น ค่าต่ำสุดของ $f(x)$ คือ $0$ |
#9
|
||||
|
||||
ขอบคุณคุณ Suwiwat B และคุณ Amankris มากครับ
เพิ่มโจทย์อีกครับ 1.$f(x)=(x-1)(x-2)...(x-11)$ จงหา $f'(7)$ 2.ให้ $21A=\pi$ จงหาค่าของ $cos2A+cos4A+cos6A+...$ |
#10
|
||||
|
||||
งั้นเริ่มข้อเเรกก่อนเลย
$f(x) = (x-7){(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)(x-6)(x-8)(x-9)(x-10)(x-11)}$ $f'(x) = (x-7)'{(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)(x-6)(x-8)(x-9)(x-10)(x-11)} + {(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)(x-6)(x-8)(x-9)(x-10)(x-11)}'(x-7)$ $f'(x) = {(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)(x-6)(x-8)(x-9)(x-10)(x-11)} + {(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)(x-6)(x-8)(x-9)(x-10)(x-11)}'(x-7)$ $f'(7) = (6)(5)(4)(3)(2)(1)(-1)(-2)(-3)(-4) + {(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)(x-6)(x-8)(x-9)(x-10)(x-11)}'(0)$ $f'(7) = 17,280$
__________________
ต้องสู้ถึงจะชนะ CCC Mathematic Fighting เครียด เลย 11 สิงหาคม 2013 18:42 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Suwiwat B |
#11
|
||||
|
||||
อ้างอิง:
__________________
...สีชมพูจะไม่จางด้วยเหงื่อ แต่จะจางด้วยนํ้าลาย... |
#12
|
||||
|
||||
ลองคูณไขว้ดูนะครับ
__________________
ต้องสู้ถึงจะชนะ CCC Mathematic Fighting เครียด เลย |
#13
|
||||
|
||||
เพิ่มอีกครับ
1.$x,y,z $ เป็นจำนวนเชิงซ้อน $x+y+z=0$ $x^3+y^3+z^3=3$ $x^5+y^5+z^5=0$ จงหา $x^{2012}+y^{2012}+z^{2012}$ 2.$f(x)$ เป็นพหุนามดีกรี 8 โดย $ f(m)=\frac{1}{m} $ สำหรับ $m=1,2,...,9$ จงหา $ f(10)$ |
#14
|
||||
|
||||
เริ่มขี้เกียจพิมพ์ ...
เอาเเค่ outline เเล้วกันนะครับ .. ข้อ 1. ผมจำได้ว่ามีเอกลักษณ์บางอย่างที่สามารถใช้ได้ .. เเต่ผมไม่เคยใช้เลยเพราะว่าจะใช้หลักการหา $x+y+z , xy+yz+zx$ กับ $xyz$ มาใช้ตลอด (ขี้เกียจอีก ) จาก $x+y+z = 0$ จะได้ว่า $x^3 +y^3+z^3 = 3xyz = 3$ ทำให้ $xyz=1$ พิจารณา $(x^2+y^2+z^2)(x^3+y^3+z^3)=x^5+y^5+z^5-xyz(xy+yz+zx)$ ทำให้ได้ $xy+yz+zx=0$ จาก $x+y+z = 0 , xy+yz+zx=0 , xyz=1$ นั่นคือ $x,y,z$ เป็นรากของสมการ $t^3-1=0$ เเก้สมการออกมา ให้เป็น $x , y ,z$ เเล้วจัดเข้าเชิงขั้วยกกำลังหาคำตอบไป ข้อ 2 เเนวนี้ปีหลังๆเจอเหลือเกินเนื่องจากข้อสอบ PAT1 จะชอบไปไหนก็ไม่รู้ กำหนดให้ $p(m) = mf(m) - 1$ จะได้ว่า $p(m) = 0$ เมื่อ $m=1,2,3,4,5,6,7,8,9$ เเละจาก $f$ เป็นพหุนามดีกรี $8$ ทำให้ $p$ เป็นพหุนามดีกรี $9$ $p(m) = a(m-1)(m-2)(m-3)...(m-9)$ $mf(m)-1 = a(m-1)(m-2)(m-3)...(m-9)$ $f(m) = \frac{{a(m-1)(m-2)(m-3)...(m-9)+1}}{m}$ เเต่เนื่องจาก $f(m)$ เป็นพหุนาม ดังนั้นถ้าหารออกมา มันจะต้องไม่มี พจน์ $\frac{1}{m}$ นี้อยู่ ดังนั้นจะได้ว่า $a = \frac{1}{9!} $ เอาไปเเทนค่าหาคำตอบ
__________________
ต้องสู้ถึงจะชนะ CCC Mathematic Fighting เครียด เลย |
|
|