|
|
#1
13 มกราคม 2014, 16:09
|
|||
|
|||
จำนวนจุดตัด
1. วาดเส้นตรง 10 เส้น และวงกลม 10 วงบนระนาบ จะเกิดจุดตัดได้มากที่สุดกี่จุด
2. หาจำนวนเฉพาะ P ที่น้อยที่สุด ที่ทำให้ 2002-P และ 2002+P เป็นจำนวนเฉพาะด้วย ยังนึกไม่ออกว่าจะทำอย่างไร กรุณาช่วยชี้แนะแนวทางด้วยค่ะ 
|
|
#2
13 มกราคม 2014, 20:44
|
||||
|
||||
|
เส้นตรง 2เส้นตัดกันได้มากสุด 1จุด
วงกลม 2วงตัดกันได้มากสุด 2จุด วงกลม1วง เส้นตรง 1เส้นตัดกันได้มากสุด 2จุด ลองคิดดูนะครับ
__________________
You may face some difficulties in your ways But its Good right ? 
|
|
#3
13 มกราคม 2014, 21:58
|
||||
|
||||
|
2. ลองดู modulo 3 ครับ
__________________
----/---~Alice~ จงรับรู้ไว้ ชื่อแห่งสีสันหนึ่งเดียวที่แสดงผล ---/---- ~Blue~ นี่คือ สีแห่งความหลังอันกว้างใหญ่ของเว็บบอร์ดนี้
|
|
#4
16 มกราคม 2014, 00:12
|
|||
|
|||
|
ให้ $a_{n}$ เป็นจำนวนจุดตัดสำหรับเส้นตรงเส้นที่ $n$ ก็แล้วกัน มันจะได้ $a_{n}=n-1+a_{n-1}$
มายังไง?? ก็ดูว่า จำนวนจุดมากสุดเกิดจาก เส้นตรงเส้นที่ $n$ มันต้องตัดพวกเส้นตรง $n-1$ เส้นที่วาดลงไปก่อนหน้าได้อย่างมาก $n-1$ จุด แล้วบวกด้วยจำนวนจุดตัดของพวกเส้นตรง $n-1$ ที่ตัดกันเอง ก็เลยได้สมการข้างบน กรณีวงกลมกับวงกลมก็อาศัยหลักการเดียวกัน ส่วนวงกลมกับเส้นตรงให้โฟกัสไปที่การตัดกันของวงกลมกับเส้นตรงเท่านั้น ลองวาดรูปออกมาก็จะรู้ว่า มีวงกลม 1 วงก็ตัด 2 จุด 2 วงก็ 4 จุด มีวงกลม $n$ วงเส้นตรง $k$ เส้นก็ได้ $2nk$ จุด ใช่มั๊ยเคอะ  แถมเฉลยให้อีกข้อตามไอเดียของคห.3 เอาจำนวนเฉพาะมาเขียนดูว่ามันเหลือเศษเท่าไรในมอดุโล 3 ก็จะได้เป็นแค่ $1,2$ เท่านั้น $p_{k}=2002-p \equiv 1-p \pmod{3}$ $p_{m}=2002+p \equiv 1+p \pmod{3}$ แบ่งออกเป็น 2 กรณี กรณีแรก $p \equiv 1 \pmod{3}$ จะได้ $p_{k} \equiv 0 \pmod{3}$ จะได้ว่ามี $p_{k}=3$ เอาไปเชคกับโจทย์ ได้ $1999$ กับ $4001$ เป็นจำนวนเฉพาะทั้งคู่ อีกกรณีนึง $p \equiv 2 \pmod{3}$ มันจะเหมือนกรณีแรก สรุป $p=3$ น้อยสุด ใช้มั้ยคร๊ะ
|
|
#5
16 มกราคม 2014, 15:18
|
|||
|
|||
|
ขอบคุณ คุณAquila มาก ที่ช่วยอธิบายอย่างละเอียด
ข้อแรก เข้าใจแล้วค่ะ จำนวนจุดตัดที่มากที่สุดของเส้นตรง 10 เส้น = 45 จุด จำนวนจุดตัดที่มากที่สุดของวงกลม 10 วง = 90 จุด จำนวนจุดตัดที่มากที่สุดของเส้นตรง 10 เส้นกับวงกลม 10 วง = 200 จุด รวม 45+90+200 = 335 จุด ข้อที่แถมให้  อ่านแล้วเข้าใจบางส่วน แต่ถ้า p = 3, 2002+p จะไม่เป็น prime นะจ๊ะ
|
|
#7
17 มกราคม 2014, 14:37
|
|||
|
|||
|
กรณีที่2 : p congruent to 2 (mod3) ที่คุณ Aquila บอกว่ามันจะเหมือนกรณีแรก
ไม่เข้าใจว่า เหมือนกรณีแรกที่ตรงไหนคะ ลองคิดเอง จะได้ Pk congruent to -1 (mod3) จะได้ว่า Pk = 2 นำไปหา p ได้ p = 2000 กรณีนี้ใช้ไม่ได้ ไม่ทราบว่าผิดตรงไหน ช่วยบอกหน่อยได้ไหมคะ
|
|
#8
17 มกราคม 2014, 18:28
|
|||
|
|||
|
โทษทีครับ มันต้องเชคทั้งหมด 4 กรณี
 กรณี $p \equiv 1 \pmod{3}$ ต้องเอาไปแทนทั้ง $p_k$ และ $p_m$ กรณี $p \equiv 2 \pmod{3}$ ต้องเอาไปแทนทั้ง $p_k$ และ $p_m$ ยกตัวอย่างกรณีที่คุณทำมานะครับ กรณี $p \equiv 2 \pmod{3}$ แทนใน $p_k$ มันจะได้ $p_k \equiv 2 \pmod{3}$ ซึ่งไม่ได้มีแค่ 2 ตัวเดียวที่สอดคล้อง หมายความว่ามี $2,5,11,17,23,... $ พวกที่โดน 3 หารแล้วเหลือเศษ 2 ทั้งหลาย พูดง่ายๆคือ จำนวนเฉพาะในรูป $3n+2$ ซึ่งมีบานเบิก แต่โจทย์ต้องการน้อยสุด ทีนี้เราก็มาดูว่า $p=2002-p_k$ เราต้องการ $p$ น้อยสุด $p_k$ ต้องใหญ่สุด เราก็ไปดูจำนวนเฉพาะในรูป $3n+2$ ที่ใกล้ๆ $2002$ (เพื่อให้ $p$ น้อยสุด) และเอาไปเชคกับ $2002+p$ ในทางทฤษฎีทำได้ แต่ปฏิบัติทำยาก ลองมองเป็นแบบนี้ครับ จาก $p_k=3n+2$ จะได้ $p=2002-p_k=2000-3n$ $p_m=2002+p=2002+(2000-3n)=4002-3n$ จะเห็นว่า $p_m$ ไม่เป็นจำนวนเฉพาะ เพราะว่า $3$ หารลง 4002 มี 3 เป็นตัวประกอบ ถ้าแทนใน $p_k$ มันต้องวิเคราะห์เยอะ เพราะมีจำนวนเฉพาะในรูป $3n+2$ อยู่เยอะ แต่ถ้าแทนใน $p_m$ มันจะได้จำนวนเฉพาะแค่ค่าเดียวคือ $3$ ครับ จะเห็นว่าง่ายกว่าเยอะ เพราะงั้นถ้าเชคเศษ 1 ให้แทนที่ $p_k$ เศษ 2 ให้แทนที่ $p_m$ เพราะมันจะได้ 3 เหมือนกัน
|
  |
|
|
