หาจำนวนสมาชิกของฟังก์ชัน

[PerSEiiZ]

ผมงง ว่าวิธีไหนถูกครับ ทำเป็น 4x3 หรือทำเป็นแบ่งกลุ่มของต่าง TT

[gon]

วิธีที่ 1.

ขั้นที่ 1. แบ่งสมาชิกใน {1, 2, 3, 4} ออกเป็น 3 กลุ่ม คือกลุ่มละ 1, 1, 2 ตัว (แต่ละกลุ่ม มีสมาชิกอย่างน้อย 1 ตัว)

จะแบ่งได้ $\frac{4!}{1!1!2!} \times \frac{1}{2!}$ วิธี

(สมมติว่าแบ่งเป็น {1, 3}, {2}, {4})

ขั้นที่ 2. กลุ่มแรกคือ {1, 3} เลือกว่าจะจับ a หรือ b หรือ c จะจับได้ 3 วิธี (สมมติจับกับ c)

ขั้นที่ 3. กลุ่มที่สองคือ {2} เลือกว่าจะจับ a หรือ b จะจับได้ 2 วิธี (สมมติจับกับ a)

ขั้นที่ 4. กลุ่มที่สามคือ {4} เลือกว่าจะจับ b จะจับได้ 1 วิธี

ดังนั้นคำตอบคือ $\frac{4!}{1!1!2!} \times \frac{1}{2!} \times 3 \times 2 \times 1 = 36$

วิธีที่ 2.

ปัญหาจะสมมูลกับ มีคน 4 คน จัดเข้าพักห้อง 3 ห้อง โดยแต่ละห้องจะต้องมีคนอยู่อย่างน้อย 1 คน

ซึ่งมีฟังก์ชันก่อกำเนิดชี้กำลัง (exponential generating function) เป็น $(x/1!+x^2/2! + x^3/3! + ...)^3 $

$= (e^x - 1)^3 = e^{3x} - 3e^{2x} + 3e^x -1 = \Sigma_{r=0}^\infty \frac{(3^r - 3(2^r) + 3(1^r))x^r}{r!} - 1$

สัมประสิทธิ์ของ $\frac{x^4}{4!}$ คือ $3^4 - 3(2^4) + 3(1^4) = 36$