โจทย์ ตรีโกณ ครับ

[EMINEMs]

ช่วยด้วยคับ

[luffy2539]

5. เนื่องจาก cos(3pi/7) = -cos(4pi/7)
cos(5pi/7) = -cos(2pi/7)
ฉะนั้น cos(pi/7)cos(3pi/7)cos(5pi/7) = cos(pi/7)cos(2pi/7)cos(4pi/7)

(*2sin(pi/7)ทั้งบนและล่าง);
= [2sin(pi/7)cos(pi/7)cos(2pi/7)cos(4pi/7)]/2sin(pi/7)
= [sin(2pi/7)cos(2pi/7)cos(4pi/7)]/2sin(pi/7)

(*2 ทั้งบนและล่าง);
= [2sin(2pi/7)cos(2pi/7)cos(4pi/7)]/2*2sin(pi/7)
= [sin(4pi/7)cos(4pi/7)]/2*2sin(pi/7)

(*2 ทั้งบนและล่าง);
= [2sin(4pi/7)cos(4pi/7)]/2*2*2sin(pi/7)
= sin(8pi/7)/8sin(pi/7)

เนื่องจาก sin(8pi/7) = -sin(pi/7)
ฉะนั้น sin(8pi/7)/8sin(pi/7) = -1/8 ครับ
อ่านละอาจจะงงนิดๆนะครับ พอดีใช้สัญลักษณ์ไม่เป็น ขอโทษด้วยครับ

[กิตติ]

3.$3\sin^2 x+4\sin x+\frac{7}{4} $
$=3(\sin^2 x+\frac{4}{3}(\sin x)+\frac{4}{9})+\frac{7}{4}-\frac{4}{3} $
$=3(\sin x+\frac{2}{3})^2+\frac{5}{12} $
จาก $-1 \leqslant \sin x \leqslant 1$
ค่าสูงสุด เกิดเมื่อ $\sin x=1$ เท่ากับ $\frac{35}{4} $
ค่าต่ำสุด เกิดเมื่อ $\sin x=-\frac{2}{3} $ เท่ากับ $\frac{5}{12} $

[กิตติ]

ข้อ 5และ 6 มีวิธีทำที่น่าสนใจในบทความเสริมประสบการณ์ที่คุณgonเขียนไว้ ลองอ่านได้เป็นอีกวิธีที่น่าสนใจ เดี๋ยวผมทำวิธีปกติให้ดูครับ
เสริมประสบการณ์คณิตศาสตร์ ชุดที่ 32 ทฤษฎีสมการและตรีโกณมิติ
สำหรับไอเดียแก้โจทย์แนวอนุกรมตรีโกณผมแนะนำอ่านบทนี้ก่อน จะได้ร้องอ้อพร้อมๆกัน เสริมประสบการณ์คณิตศาสตร์ ชุดที่ 1 อนุกรมตรีโกณมิติ

ข้อ 6. $\cos \frac{2\pi}{7}+\cos \frac{4\pi}{7}+\cos \frac{8\pi}{7} $
จะเห็นว่า ผลต่างระหว่างเทอม มันไม่เท่ากัน แปลงพจน์ท้ายคือ $\cos \frac{8\pi}{7} =\cos (2\pi-\frac{6\pi}{7})=\cos \frac{6\pi}{7}$
$\cos \frac{2\pi}{7}+\cos \frac{4\pi}{7}+\cos \frac{8\pi}{7}=\cos \frac{2\pi}{7}+\cos \frac{4\pi}{7}+\cos \frac{6\pi}{7}$
คูณด้วย $\frac{2\sin \frac{\pi}{7} }{2\sin \frac{\pi}{7}} $
$=\frac{2\sin \frac{\pi}{7} }{2\sin \frac{\pi}{7}}\times (\cos \frac{2\pi}{7}+\cos \frac{4\pi}{7}+\cos \frac{6\pi}{7})$
$=\frac{1}{2\sin \frac{\pi}{7}}\times (2\sin \frac{\pi}{7}\cos \frac{2\pi}{7}+2\sin \frac{\pi}{7}\cos \frac{4\pi}{7}+2\sin \frac{\pi}{7}\cos \frac{6\pi}{7})$
$=\frac{1}{2\sin \frac{\pi}{7}}\times((\sin \frac{3\pi}{7}-\sin \frac{\pi}{7})+(\sin \frac{5\pi}{7}-\sin \frac{3\pi}{7})+(\sin \pi +\sin \frac{5\pi}{7}))$
$=\frac{-\sin \frac{\pi}{7}}{2\sin \frac{\pi}{7}}$
$=-\frac{1}{2} $

[กิตติ]

ข้อ 6. $\cos \frac{\pi}{7}\cos \frac{3\pi}{7}\cos \frac{5\pi}{7} $
ผมก็ทำวิธีเดียวกับที่คุณluffy2539ทำ เพราะเราแปลงได้ว่า $ \frac{3\pi}{7}=\pi-\frac{4\pi}{7},\frac{5\pi}{7}=\pi-\frac{2\pi}{7}$ ซึ่งจะได้ว่า
$\cos \frac{\pi}{7}\cos \frac{3\pi}{7}\cos \frac{5\pi}{7} =\cos \frac{\pi}{7}\cos \frac{2\pi}{7}\cos \frac{4\pi}{7} $
ซึ่งเราจะได้ใช้ $\sin 2x$ ช่วย เราเดาได้ว่า $\sin \frac{8\pi}{7}$ จะเป็นพจน์สุดท้าย $\sin \frac{8\pi}{7}=\sin (\pi+\frac{\pi}{7})=-\sin (\frac{\pi}{7})$
ซึ่งน่าจะตัดกับการคูณเข้าไปในตอนแรก
ผมคิดได้ $-\frac{1}{8} $ เท่ากันครับ

[กิตติ]

ข้อ 1.$\sin^2 2x+\sin 2x \sin x+\cos 2x=1$
$(2\sin x \cos x)^2+2\sin^2 x \cos x+1-2\sin^2 x=1$
$4\sin^2 x \cos^2 x+2\sin^2 x \cos x-2\sin^2 x=0$
$2\sin^2 x(2\cos^2 x+\cos x-1)=0$
$\sin x=0$ หรือ $2\cos^2 x+ \cos x-1=0 $
$\sin x=0$ จะได้ $x=0,\pi,2\pi$
$(2\cos x-1)( \cos x+1)=0 $
$\cos x=-1,\frac{1}{2} $ จะได้ $x=\pi,\frac{\pi}{3},\frac{5\pi}{3}$
เลือกค่า $x \in (0,\frac{\pi}{2}) $ ดูค่าเฉพาะ $\cos x \in (0,1) $
ใช้ได้คือ $\cos x=\frac{1}{2} $ ได้ $x=\frac{\pi}{3}$

$\tan(\frac{\pi}{2}+x)= \tan(\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{3})=-\cot (\frac{\pi}{3})$
$\tan (\frac{\pi}{3})=\sqrt{3} $
$\tan(\frac{\pi}{2}+x)=-\frac{1}{\sqrt{3}}$

[lek2554]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

3.$3\sin^2 x+4\sin x+\frac{7}{4} $
$=3(\sin^2 x+\frac{4}{3}(\sin x)+\frac{4}{9})+\frac{7}{4}-\frac{4}{3} $
$=3(\sin x+\frac{2}{3})^2+\frac{5}{12} $
จาก $-1 \leqslant \sin x \leqslant 1$
ค่าสูงสุด เกิดเมื่อ $\sin x=1$ เท่ากับ $\frac{35}{4} $
ค่าต่ำสุด เกิดเมื่อ $\sin x=-1$ เท่ากับ $\frac{3}{4} $

เผลอเป็นประจำครับ

[กิตติ]

ใช่ครับพี่เล็ก ขอบคุณครับเดี๋ยวแก้ครับ

[lek2554]

อนุญาตให้แก้ครั้งที่ 2 ครับ

[กิตติ]

มัวแต่แก้ค่าsin ลืมค่าต่ำสุด....ผมนี่แย่จริงๆเลย ชักหลงๆลืมๆแล้ว ขอบคุณอีกครั้งครับพี่เล็ก

[กิตติ]

ข้อ 2. จะใช้การวาดกราฟก็ได้ครับ ผมถนัดแก้อสมการ $x \in (0,2\pi)$
$2\sin^2 x+\cos x < 2$
$2(1-\cos^2x)+\cos x < 2$
$2-2\cos^2x+\cos x < 2$
$2\cos^2 x-\cos x>0$
$\cos x(2\cos x-1)>0$
มอง $y=\cos x$
$y>\frac{1}{2} $ หรือ $y< 0$
$\cos x >\frac{1}{2}$ หรือ $\cos x < 0$
$x \in (\frac{5\pi}{3},2\pi) \cup (0,\frac{\pi}{3})$ หรือ $x \in (\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}) $

[กิตติ]

ข้อ 7.จากสูตรผลบวกมุม sine จะมีมุมบวกลบหารสอง มันพอดีที่ว่า $ \frac{3+5}{2}=4 $
ลองจับคู่ดูทั้งเศษและส่วน
$\frac{\sin 3A+\sin 4A +\sin 5A}{\cos 3A+\cos 4A +\cos 5A}=\frac{(\sin 3A+\sin 5A )+\sin 4A}{(\cos 3A+\cos 5A) +\cos 4A } $
$=\frac{2\sin 4A \cos A+\sin 4A}{2\cos 4A \cos A +\cos 4A} $
$=\frac{\sin 4A(2 \cos A+1)}{\cos 4A(2 \cos A +1)}$
$=\tan 4A$
$\tan 2A=\frac{1}{2} $
$\tan 4A=\frac{2\tan 2A}{1-\tan^2 2A}=\frac{4}{3} $