#1
|
||||
|
||||
trigonometry
จงแสดงว่า $\tan\dfrac{2\pi}{13}+4\sin\dfrac{6\pi}{13}=\sqrt{13+2\sqrt{13}}$
|
#2
|
||||
|
||||
ให้ $w=\cos\frac{2\pi }{13}+i\sin\frac{2\pi}{13} $
จะได้ว่า $w^{12}+w^{11}+w^{10}+...+w+1=0---------------------(1)$ พิจารณา $i\tan\frac{2\pi}{13}=\frac{2i\sin\frac{2\pi}{13}}{\cos\frac{2\pi}{13}}$ $=\frac{w-\frac{1}{w}}{w+\frac{1}{w}}$ $=\frac{w^2-1}{w^2+1}$ พิจารณา $4i\sin\frac{6\pi}{13}=2(w^3-\frac{1}{w^3})$ ดังนั้น $i(\tan\frac{2\pi}{13}+4\sin\frac{6\pi}{13})=\frac{w^2-1}{w^2+1}+2(w^3-\frac{1}{w^3})$ เมื่อจัดรูปแล้วจะได้ว่า $$i(\tan\frac{2\pi}{13}+4\sin\frac{6\pi}{13})=(w+w^2+w^3+w^5+w^6+w^9)-(w^4+w^7+w^8+w^{10}+w^{11}+w^{12})------(2)$$ ให้ $A=w+w^2+w^3+w^5+w^6+w^9$ และ $B=w^4+w^7+w^8+w^{10}+w^{11}+w^{12}$ พบว่า $A+B=-1$ (จากสมการ $(1)$) พิจารณาค่า $AB$ พบว่า $AB=4+(w+w^3+w^4+w^9+w^{10}+w^{12})$ (กระจาย+จัดรูป) $2AB-7=1+2(w+w^3+w^4+w^9+w^{10}+w^{12})$ $(2AB-7)^2=1+4(w+w^3+w^4+w^9+w^{10}+w^{12})+4(w+w^3+w^4+w^9+w^{10}+w^{12})^2$ $(2AB-7)^2=25+12(w+w^2+...+w^{12})$ (กระจาย+จัดรูป) $\therefore (2AB-7)^2=13$ นั่นคือ $2AB-7=\pm \sqrt{13} $ จาก $A+B=-1 และ (A-B)^2+4AB=(A+B)^2$ ได้ว่า $(A-B)^2=(-1)^2-2(7\pm \sqrt{13} )$ ดังนั้น $A-B=\pm i\sqrt{13\pm 2\sqrt{13} } $ แทนใน $(2)$ ได้ว่า $i(\tan\frac{2\pi}{13}+4\sin\frac{6\pi}{13})=\pm i\sqrt{13\pm 2\sqrt{13} } $ $\tan\frac{2\pi}{13}+4\sin\frac{6\pi}{13}=\pm \sqrt{13\pm 2\sqrt{13} }$ เนื่องจาก $\tan\frac{2\pi}{13}+4\sin\frac{6\pi}{13}>0 (\because 0<\frac{2\pi}{13},\frac{6\pi}{13}<\frac{\pi}{2})$ นั่นคือ $\tan\frac{2\pi}{13}+4\sin\frac{6\pi}{13}=\sqrt{13\pm 2\sqrt{13} }$ และจาก $4\sin\frac{6\pi}{13}>4\sin\frac{\pi}{3}>\sqrt{13-2\sqrt{13}}$ ดังนั้นเลยได้ว่า $$\tan\frac{2\pi}{13}+4\sin\frac{6\pi}{13}=\sqrt{13+2\sqrt{13} }$$ |
#3
|
||||
|
||||
ขอยกตัวอย่างโจทย์ที่คล้ายกับโจทย์ของคุณ Amankris นะครับ แต่จะง่ายกว่า เผื่อคนที่สนใจครับ
จงแสดงว่า $$\tan\frac{3\pi}{11}+4\sin\frac{2\pi}{11}=\sqrt{11} $$ |
#4
|
|||
|
|||
ไปเจอมา เลยเอามาให้ดู (ยังไม่ได้เชคนะ)
$\tan \frac{\pi}{13}+4\sin \frac{4\pi}{13}=\tan \frac{3\pi}{13}+4\sin \frac{3\pi}{13}$ $\tan \frac{2\pi}{13}+4\sin \frac{6\pi}{13}=\tan \frac{5\pi}{13}+4\sin \frac{2\pi}{13}$ ว่าแต่โจทย์คุณ Amankris มีวิธีไม่เชิงซ้อนโหดๆเหมือนข้างบนไหมครับ |
หัวข้อคล้ายคลึงกัน | ||||
หัวข้อ | ผู้ตั้งหัวข้อ | ห้อง | คำตอบ | ข้อความล่าสุด |
Trigonometry | powerboom | ปัญหาคณิตศาสตร์ ม.ปลาย | 3 | 08 กันยายน 2012 21:55 |
Trigonometry 1 ข้อครับ | หัดเดินบนโลกคณิตศาสตร์ | ปัญหาคณิตศาสตร์ ม.ปลาย | 3 | 06 สิงหาคม 2012 05:32 |
Trigonometry | Amankris | ปัญหาคณิตศาสตร์ ม.ปลาย | 2 | 29 กรกฎาคม 2011 02:49 |
Trigonometry | Amankris | ปัญหาคณิตศาสตร์ ม.ปลาย | 10 | 30 มิถุนายน 2011 10:03 |
max min trigonometry | Suwiwat B | ปัญหาคณิตศาสตร์ ม.ปลาย | 2 | 02 สิงหาคม 2010 00:06 |
|
|