โจทย์ตรีโกณ ครับ

[Sumet Ratthanaburi]

[กิตติ]

$arc\cos \left(\,\frac{4}{5}\right) +arc\sin \left(\,\frac{12}{13}\right) +x=\frac{\pi}{2} $
$arc\cos \left(\,\frac{4}{5}\right)=arc\sin \left(\,\frac{3}{5}\right)$
$arc\sin \left(\,\frac{3}{5}\right) +arc\sin \left(\,\frac{12}{13}\right) +x=\frac{\pi}{2} $
$A=arc\sin \left(\,\frac{3}{5}\right),B=arc\sin \left(\,\frac{12}{13}\right)$
$A+B=\frac{\pi}{2}-x$
$\sin(A+B)=\sin(\frac{\pi}{2}-x)=\cos x$
$\sin A=\frac{3}{5},\cos A=\frac{4}{5}$
$\sin B=\frac{12}{13},\cos B=\frac{5}{13}$
$\sin A \cos B+\cos A \sin B=\cos x$
$(\frac{3}{5})(\frac{5}{13})+(\frac{4}{5})(\frac{12}{13})=\cos x$
$\cos x=\frac{63}{65} $
$x=arc\cos (\frac{63}{65})$


$arc\cos \left(\,\frac{5}{13}\right)=arc\sin \left(\,\frac{12}{13}\right)$
$arc\cos \left(\,\frac{4}{5}\right) +arc\cos \left(\,\frac{5}{13}\right)+x=\frac{\pi}{2} $
$arc\cos \left(\,\frac{4}{5}\right) +arc\cos \left(\,\frac{5}{13}\right)=\frac{\pi}{2}-x $
$\cos \left(\,arc\cos \left(\,\frac{4}{5}\right) +arc\cos \left(\,\frac{5}{13}\right)\right) =\cos \left(\,\frac{\pi}{2}-x\right) $
$A=arc\cos \left(\,\frac{4}{5}\right),B= arc\cos \left(\,\frac{5}{13}\right)$
$\sin A=\frac{3}{5},\cos A=\frac{4}{5}$
$\sin B=\frac{12}{13},\cos B=\frac{5}{13}$
$\sin x=\cos(A+B)$
$=\cos A \cos B-\sin A \sin B$
$=(\frac{4}{5})(\frac{5}{13})-(\frac{3}{5})(\frac{12}{13})$
$=-\frac{16}{65} $
$x=arc\sin(-\frac{16}{65})$

[กิตติ]

อีกวิธีหนึ่ง ใช้ $arc\sin x+arc\cos x=\frac{\pi}{2} $
$arc\cos \left(\,\frac{4}{5}\right) +arc\sin \left(\,\frac{12}{13}\right) +x=\frac{\pi}{2} $
$(\frac{\pi}{2}-arc\sin \left(\,\frac{4}{5}\right)) +arc\sin \left(\,\frac{12}{13}\right) +x=\frac{\pi}{2}$
$x=arc\sin \left(\,\frac{4}{5}\right)-arc\sin \left(\,\frac{12}{13}\right)$
$\sin x =\sin \left(\,arc\sin \left(\,\frac{4}{5}\right)-arc\sin \left(\,\frac{12}{13}\right)\right) $
ให้ $A=arc\sin \left(\,\frac{4}{5}\right),B=arc\sin \left(\,\frac{12}{13}\right)$
$\sin A=\frac{4}{5},\cos A=\frac{3}{5}$
$\sin B=\frac{12}{13},\cos B=\frac{5}{13}$
$\sin x=\sin(A-B)=\sin A \cos B-\cos A \sin B$
$=(\frac{4}{5})(\frac{5}{13})-(\frac{3}{5})(\frac{12}{13})$
$=-\frac{16}{65} $
$x=arc\sin (-\frac{16}{65})$

$arc\cos \left(\,\frac{4}{5}\right) +arc\sin \left(\,\frac{12}{13}\right) +x=\frac{\pi}{2} $
$arc\cos \left(\,\frac{4}{5}\right) +(\frac{\pi}{2}-arc\cos \left(\,\frac{12}{13}\right) )+x=\frac{\pi}{2} $
$x=arc\cos \left(\,\frac{12}{13}\right)-arc\cos \left(\,\frac{4}{5}\right)$
ให้ $A=arc\cos \left(\,\frac{12}{13}\right),B=arc\cos \left(\,\frac{4}{5}\right)$
$\sin A=\frac{5}{13},\cos A=\frac{12}{13}$
$\sin B=\frac{3}{5},\cos B=\frac{4}{5}$
$\cos x=\cos (A-B)= \cos A \cos B-\sin A\sin B$
$=(\frac{12}{13})(\frac{4}{5})+(\frac{5}{13})(\frac{3}{5})$
$=\frac{63}{65} $
$x=arc\cos (\frac{63}{65})$

ขอเช็ควิธีทำก่อนว่าทำไมไม่ได้ไม่ตรงกัน

[Sumet Ratthanaburi]

ขอบคุณครับคุณ กิตติ

[กิตติ]

เดี๋ยวครับคุณsumet ผมว่าคำตอบมันแปร่งๆ ขอแก้ประโยคสุดท้ายก่อน บ่ายนี้ขอเช็ควิธีทำอีกที ทานข้าวเที่ยงก่อนครับ

[gon]

$\arctan (3/4) + \arctan (12/5) + x = \pi/2$

$\pi + \arctan(63/(-16)) + x = \pi/2$

$x = -\pi/2 + \arctan(63/16)$

$\tan x = -\cot(\arctan(63/16)) = -\cot(arccot(16/63)) = -16/63$

[กิตติ]

$arc\cos \left(\,\frac{4}{5}\right) +arc\sin \left(\,\frac{12}{13}\right) +x=\frac{\pi}{2} $
ให้ $A=arc\cos \left(\,\frac{4}{5}\right),B=arc\sin \left(\,\frac{12}{13}\right)$
$\sin A =\frac{3}{5},\cos A=\frac{4}{5}$
$\sin B=\frac{12}{13},\cos B=\frac{5}{13}$
$A+B=\frac{\pi}{2}-x$
$\sin (A+B)=\sin (\frac{\pi}{2}-x)=\cos x$
$\sin A \cos B+\cos A \sin B=\cos x$
$\cos x=(\frac{3}{5})(\frac{5}{13})+(\frac{4}{5})(\frac{12}{13})=\frac{63}{65} $

$ \cos A\cos B- \sin A\sin B=\sin x$
$\sin x=(\frac{4}{5})(\frac{5}{13})-(\frac{3}{5})(\frac{12}{13})=-\frac{16}{65} $

$\tan x=\frac{\sin x}{\cos x} =\frac{-\frac{16}{65}}{\frac{63}{65}} =-\frac{16}{63} $

ได้ล่ะครับ หา $\tan x$ โดยการหาค่า $\sin x,\cos x$ ทีละตัวเอาครับ
ได้เท่ากันทุกวิธีแล้ว
สำหรับวิธีของคุณgon สั้นกว่าเยอะเลยครับ

[กิตติ]

$arc\cos \left(\,\frac{4}{5}\right) +arc\sin \left(\,\frac{12}{13}\right) +x=\frac{\pi}{2} $
ให้ $A=arc\cos \left(\,\frac{4}{5}\right),B=arc\sin \left(\,\frac{12}{13}\right)$
$\sin A =\frac{3}{5},\cos A=\frac{4}{5},\cot A=\frac{4}{3} $
$\sin B=\frac{12}{13},\cos B=\frac{5}{13},\cot B=\frac{5}{12} $
$A+B=\frac{\pi}{2}-x$........take cotangent
$\cot (A+B)=\cot (\frac{\pi}{2}-x)=\tan x$
$\frac{\cot A \cot B-1}{\cot A +\cot B}=\tan x$
$\tan x=\frac{(\frac{4}{3})(\frac{5}{12})-1}{(\frac{4}{3}) +(\frac{5}{12})} $
$=\frac{-\frac{16}{36} }{\frac{21}{12} }$
$=-\frac{16}{63} $

$\tan x=-\frac{16}{63}$