ช่วยหน่อยค่ะ abstract algebra

[cakeko]

1หากรุปย่อยทั้งหมดของ $(z_{18},+)$ ที่มีอันดับ6
2 หากรุปย่อยที่เล็กที่สุดของ $(z_{18},+)$ ที่มี [4] ,[6] เป็นสมาชิก

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ cakeko

1หากรุปย่อยทั้งหมดของ $(z_{18},+)$ ที่มีอันดับ6
2 หากรุปย่อยที่เล็กที่สุดของ $(z_{18},+)$ ที่มี [4] ,[6] เป็นสมาชิก

1. $(\mathbb{Z}_{18},+)$ เป็น cyclic group ครับ กรุปย่อยก็จะเป็น cyclic group ด้วย

แต่ cyclic subgroup จะมีหน้าตาแบบนี้ $\left<a^k\right>$ เสมอ เมื่อ $a$ เป็นตัวก่อกำเนิดของกรุปตัวใหญ่

ขนาดของกรุป $\left<a^k\right>$ จะเท่ากับขนาดของ $a^k$ ซึ่งเท่ากับ $\dfrac{18}{(18,k)}$ (มีทฤษฎีบทบอกไว้) ถ้าเราอยากได้กรุปย่อยขนาด $6$ ก็แก้สมการ
$$
\dfrac{18}{(18,k)} = 6
$$
จะได้ $k=3,15$ แต่ในกรุป $(\mathbb{Z}_{18},+)$ จะมี $a=\overline{1}$ จึงได้กรุปย่อยขนาด $6$ คือ

$\left<\overline{3}\right>=\{\overline{0},\overline{3},\overline{6},\overline{9},\overline{12},\overline{15}\}$

$\left<\overline{15}\right>=\{\overline{0},\overline{3},\overline{6},\overline{9},\overline{12},\overline{15}\}$

จะเห็นว่าทั้งสองกรุปเท่ากันเป๊ะซึ่งก็ไม่ใช่เรื่องแปลกอะไรเพราะว่าเรามีทฤษฎีบทยืนยันว่ากรุปย่อยขนาด $k$ ของ cyclic group จะมีเพียงตัวเดียวเท่านั้น !

2. $\left<\overline{4}\right>\cap \left<\overline{6}\right> = \left<\overline{?}\right>$

ถ้ารู้ว่า $?$ คืออะไรนั่นแหละคำตอบครับ

[cakeko]

ขอบคุณมากค่ะ